Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,749

MATHEMATICAL MODEL OF PROCESS OF HEAT ACCUMULATION IN THE STATIONARY SWITCHES REGENERATIVE HEAT EXCHANGER

Monarkin N.N. 1 Naimov А.N. 1 Sinitsyn A.A. 1 Rogulina T.V. 1
1 Vologda State University
1154 KB
Is investigated the process of heat exchange between the air and the adapter in the stationary switches regenerative heat exchanger. The process of heat exchanger is characterized by the accumulation and recovering of the heat energy. In this paper a mathematical model of the process of accumulation of heat energy in a thermodynamic system «air-adapter» is constructed. A mathematical model is presented in the form of the initial-boundary value problem for a system of two differential equations with two unknown functions. The uniqueness of the solution of the initial-boundary value problem is proved by energy equalities and inequalities and then is constructed the formula of approximate solution by method of successive approximations. The formula of approximate solution allows to investigate the process of heat exchange between the air and the adapter quantitatively and qualitatively and to develop a computer virtual model of accumulation of heat. Graphics shows the desired functions.
accumulation and recovering of the heat energy
initial-boundary value problem
uniqueness of the solution
approximate solution
1. Vasil’ev, V.A. Metody rascheta teplovyh processov v stacionarnom perekljuchajushhemsja regenerativnom teploutilizatore [Methods for calculating thermal processes in a stationary switches regenerative heat exchanger]. Dissertation of the candidate of technical sciences: 05.04.03. St. Petersburg, 2010. 136 p.
2. Kirsanov Ju.A., Volchenko K.M., Nizamova A.Sh. Izvestija vysshih uchebnyh zavedenij. Problemy jenergetiki. Kazan’. 1999, no. 9–10, pp. 3–10.
3. Olejnik O.A. Lekcii ob uravnenijah s chastnymi proizvodnymi [Lectures on partial differential equations]. Moscow, BINOM, 2005. 260 p.
4. Regenerativnye vrashhajushhiesja vozduhopodogrevateli [Regenerative rotary air heaters]/ Migaj V.K., Nazarenko V.S., Novozhilov I.F., Dobrjakov T.S. Leningrad, Energy, 1971. 168 p.
5. Tihonov A.N., Samarskij A.A. Uravnenija matematicheskoj fiziki [Equations of mathematical physics]. Moscow, Science, 1977. 736 p.

В статье рассматривается математическая модель процесса аккумуляции тепловой энергии в стационарном переключающемся регенеративном теплоутилизаторе (СПРТ) [1]. Под СПРТ понимается автономное вентиляционное устройство, имеющее в своем составе регенеративный теплообменник, устанавливаемое в конструкцию стены или окна и обслуживающее одно или два смежных помещения. В статье рассматривается регенеративный теплоутилизатор типа УВРК-50, в котором в качестве теплообменника используется регенеративная насадка из полиэтилена. Принцип работы теплоутилизатора типа УВРК-50 характеризуется двумя режимами работы: режим аккумуляции и режим регенерации. В режиме аккумуляции устройство работает на вытяжку и происходит нагрев регенеративной насадки внутренним вытяжным воздухом. В режиме регенерации устройство работает на приток и происходит нагрев приточного воздуха насадкой. В данной статье рассматривается процесс аккумуляции тепловой энергии.

Для точного анализа термодинамических процессов, происходящих в регенеративной насадке устройства, требуется составление математической модели.

На данный момент недостаточно внимания уделяется теплообменникам типа СПРТ. Существующие математические модели разработаны либо для регенеративных теплоутилизаторов, работающих при высокой температуре теплоносителя [2], либо регенеративных теплоутилизаторов с роторной (вращающейся) насадкой [4]. Единственная математическая модель, разработанная для СПРТ, приведена в источнике [1]. Данная модель построена и численно исследована с помощью разностной схемы. Но такие вопросы, как существование и единственность решения, а также аналитические способы нахождения решения, пока не исследованы. Аналитический способ нахождения решения задачи актуален с точки зрения разработки алгоритмов расчета тепловых характеристик процесса и оптимального управления работой теплоутилизатора.

Целью настоящей статьи является разработка математической модели процесса аккумуляции тепловой энергии в виде смешанной задачи, состоящей из системы двух дифференциальных уравнений; доказательство существования единственного решения смешанной задачи; составление приближенного решения смешанной задачи.

Разработка математической модели

Введем следующие обозначения: ТВ(τ, z) – температура воздуха в момент времени τ в точке z, где τ ≥ 0, 0 ≤ z ≤ L, °С; ТН(τ, z) – температура насадки в момент времени τ в точке z, где τ ≥ 0, 0 ≤ z ≤ L, °С; Gак – расход воздуха на этапе аккумуляции, м3/ч; сВ – теплоемкость воздуха, кДж/кг·°С; ρВ – плотность воздуха, кг/м3; SВ – площадь сечения канала, по которому проходит воздух, м2; П – периметр сечения канала, по которому проходит воздух, м; α – коэффициент теплоотдачи воздуха, Вт/м2·°С; Тin – температура помещения, откуда поступает тепловая энергия,·°С; Тout – температура внешней среды, куда поступает часть тепловой энергии,·°С; λН – теплопроводность материала насадки, Вт/ м·°С.

Построим математическую модель процесса нагрева воздуха в проходном канале. Для этого отметим, что monarkin01.wmf – количество тепла, поступающего в проходное сечение в точке z в момент времени τ; monarkin02.wmf – количество тепла, затрачиваемое на нагревание проходного сечения в точке z в момент времени τ; monarkin03.wmf – количество тепла, передаваемого от воздуха насадке в проходном сечении в точке z в момент времени τ.

Уравнение баланса тепловой энергии в проходном сечении в точке z в момент времени τ:

monarkin04.wmf τ > 0, 0 < z < L. (1)

Уравнение (1) представляет собой математическую модель процесса нагрева воздуха в проходном канале. При этом необходимо учитывать начальное условие

monarkin05.wmf 0 ≤ z ≤ L, (2)

т.е. в начальный момент времени температура в проходном канале распределена линейно между Тin и Тout, а также граничное (краевое) условие

ТB(τ, 0) = Тin, τ ≥ 0, (3)

т.е. на левом конце проходного канала температура все время постоянна и равна комнатной Тin.

Таким образом, получаем начально-краевую (смешанную) задачу (1), (2), (3) для неизвестной функции ТВ(τ, z).

Теперь построим математическую модель процесса нагрева насадки. В процессе нагрева насадки monarkin06.wmf – количество тепловой энергии, поступающее от воздуха насадке в проходном сечении в точке z в момент времени τ; monarkin07.wmf – количество тепловой энергии, расходуемое на нагревание насадки в точке z в момент времени τ; monarkin08.wmf – количество тепловой энергии, перемещаемое внутри насадки по закону Фурье.

Уравнение баланса тепловой энергии в поперечном сечении насадки в точке z в момент времени τ:

monarkin09.wmf (4)

Уравнение (4) представляет собой математическую модель процесса нагрева насадки. Необходимо учитывать начальное условие

monarkin10.wmf, (5)

т.е. в начальный момент времени температура в насадке распределена линейно между Тin и Тout и граничные (краевые) условия

monarkin11.wmf (6)

т.е. концы насадки изолированы все время. Таким образом, получаем начально-краевую (смешанную) задачу (4), (5), (6) для неизвестной функции ТH(τ, z).

Смешанная задача (1)–(6) есть математическая модель процесса аккумуляции тепловой энергии в термодинамической системе «воздух – насадка».

Единственность решения

Решением начально-краевой задачи (1)–(6) назовем пару функций monarkin12.wmf, monarkin13.wmf, являющуюся решением системы уравнений (1), (4), и удовлетворяющую начальным условиям (2), (5) и краевым условиям (3), (6). Общеизвестным методом энергетических равенств и неравенств ([3]) докажем, что решение (ТВ(τ, z), ТH(τ, z)) смешанной задачи (1)–(6) единственно. Для этого достаточно показать, что если начальные значения ТВ(0, z), ТH(0, z) и граничное значение ТВ(0, z) тождественно равны нулю, то функции ТВ(τ, z) и ТH(τ, z) также тождественно равны нулю.

В силу уравнений (1) и (4) имеем

monarkin14.wmf

monarkin15.wmf

Первое равенство умножим на ТВ(τ, z), второе – на ТH(τ, z), затем сложим их и проинтегрируем по z в пределах от 0 до L:

monarkin16.wmf

Заметим, что

1) monarkin17.wmf

2) monarkin18.wmf

3) monarkin19.wmf в силу граничных условий (6);

4) monarkin20.wmf

Следовательно, имеем

monarkin21.wmf

Отсюда следует, что если ТВ(τ, 0) ≡ 0, то

monarkin22.wmf при τ > 0,

monarkin23.wmf при τ > 0.

Если к тому же ТВ(0, z) ≡ 0 и ТH(0, z) ≡ 0, то

monarkin24.wmf

Значит, ТВ(τ, z) ≡ 0 и ТH(τ, z) ≡ 0. Единственность решения доказана.

Приближенное решение

Смешанную задачу (1)–(6) перепишем в следующем виде:

monarkin25.wmf τ > 0, 0 < τ < L, (7)

monarkin26.wmf 0 ≤ τ ≤ L, ТB(τ, 0) = Тin, τ ≥ 0, (8)

monarkin27.wmf τ > 0, 0 < τ < L, (9)

monarkin28.wmf 0 ≤ τ ≤ L, monarkin29.wmf τ > 0, (10)

где monarkin30.wmf monarkin31.wmf monarkin32.wmf monarkin33.wmf

В силу (7) и (8) функцию ТВ(τ, z) можно выразить функцией ТH(τ, z):

ТВ(τ, z) = ΦВТH(τ, z), (11)

где monarkin34.wmf

В силу (9) и (10) функцию ТH(τ, z) можно выразить функцией ТВ(τ, z):

ТH(τ, z) = ΦHТВ(τ, z), (12)

где

monarkin35.wmf

monarkin36.wmf monarkin37.wmf k = 0, 1, 2, ...

Интегральные представления (11) и (12) выводятся из общеизвестных формул решения смешанных задач вида (7), (8) и (9), (10) (см., напр., [5]).

Таким образом, смешанная задача (7)–(10) равносильна системе интегральных уравнений (11), (12). Систему (11), (12) решим методом последовательных приближений ([5]). А именно построим следующие последовательности функций:

monarkin38.wmf

monarkin39.wmf

monarkin40.wmf (13)

Последовательность функций monarkin41.wmf n = 1, 2, ... сходится к решению (ТH(τ, z), ТВ(τ, z)) смешанной задачи (7)–(10):

monarkin42.wmf

monarkin43.wmf

Поэтому при больших номерах n пару функций monarkin44.wmf можно взять в качестве приближенного решения (ТH(τ, z), ТВ(τ, z)) смешанной задачи (7)–(10):

monarkin45.wmf

monarkin46.wmf

При больших номерах n и фиксированных моментах времени τ графики функций monarkin47.wmf представлены на рис. 1 и 2.

pic_19.wmf

Рис. 1. График зависимости изменения температуры воздуха от длины насадки при четырех фиксированных моментах времени τ

В итоге работы можно сделать вывод, что графические результаты по предложенной математической модели в определенной мере отвечают реальным процессам теплообмена в СПРТ.

pic_20.wmf

Рис. 2. График зависимости изменения температуры насадки от длины насадки при четырех фиксированных моментах времени τ

Необходимо отметить, что в рассмотренной модели коэффициент теплоотдачи воздуха α считается известной величиной. Но в реальности величина α существенно зависит от потока воздуха Gак и самого процесса нагрева, поэтому было бы естественным величину α также считать неизвестной. В этом случае математическую модель нужно скорректировать так, чтобы величину α можно было однозначно находить наряду с неизвестными функциями ТВ и ТН. Для этого необходимо ввести дополнительное условие, позволяющее находить α.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках выполнения государственного задания высшим учебным заведениям.

Рецензенты:

Горбунов В.А., д.ф.-м.н., профессор, главный специалист Общества с ограниченной ответственностью Научно-производственный центр «ЭнергоКИТ», г. Вологда;

Игонин В.И., д.т.н., профессор, главный конструктор Общества с ограниченной ответственностью Научно-производственный центр «Информационные и энергетические технологии» (малое инновационное предприятие ООО НПЦ «Инэнтех»), г. Вологда.

Работа поступила в редакцию 17.10.2014.