Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,749

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА АККУМУЛЯЦИИ ТЕПЛОВОЙ ЭНЕРГИИ В СТАЦИОНАРНОМ ПЕРЕКЛЮЧАЮЩЕМСЯ РЕГЕНЕРАТИВНОМ ТЕПЛОУТИЛИЗАТОРЕ

Монаркин Н.Н. 1 Наимов А.Н. 1 Синицын А.А. 1 Рогулина Т.В. 1
1 ФГБОУ ВПО «Вологодский государственный университет»
Исследуется процесс теплообмена между воздухом и насадкой в стационарном переключающемся регенеративном теплоутилизаторе. Процесс работы теплоутилизатора характеризуется режимами аккумуляции и регенерации тепловой энергии. В статье построена математическая модель процесса аккумуляции тепловой энергии в термодинамической системе «воздух – насадка». Математическая модель представлена в виде смешанной (начально-краевой) задачи для системы двух дифференциальных уравнений в частных производных с двумя неизвестными функциями. Доказана единственность решения смешанной задачи методом энергетических равенств и неравенств и построена формула приближенного решения смешанной задачи методом последовательных приближений. Формула приближенного решения позволяет количественно и качественно исследовать процесс теплообмена между воздухом и насадкой и разработать компьютерную виртуальную модель процесса аккумуляции тепловой энергии. Приведены графики искомых функций.
аккумуляция и регенерация тепловой энергии
смешанная задача
единственность решения
приближенное решение
1. Васильев В.А. Методы расчета тепловых процессов в стационарном переключающемся регенеративном теплоутилизаторе: дис. ... канд. техн. наук: 05.04.03. – СПб., 2010. – 136 с.
2. Кирсанов Ю.А., Волченко К.М., Низамова А.Ш. Математическая модель регенеративного воздухоподогревателя для исследования теплоотдачи пакета параллельных твердых тел // Известия высших учебных заведений. Проблемы энергетики. – Казань, 1999. – № 9–10. – С. 3–10.
3. Олейник, О.А. Лекции об уравнениях с частными производными. – М.: БИНОМ, 2005. – 260 с.
4. Регенеративные вращающиеся воздухоподогреватели / В.К. Мигай, В.С. Назаренко, И.Ф. Новожилов, Т.С. Добряков. – Л.: Энергия, 1971. – 168 с.
5. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1977. – 736 с.

В статье рассматривается математическая модель процесса аккумуляции тепловой энергии в стационарном переключающемся регенеративном теплоутилизаторе (СПРТ) [1]. Под СПРТ понимается автономное вентиляционное устройство, имеющее в своем составе регенеративный теплообменник, устанавливаемое в конструкцию стены или окна и обслуживающее одно или два смежных помещения. В статье рассматривается регенеративный теплоутилизатор типа УВРК-50, в котором в качестве теплообменника используется регенеративная насадка из полиэтилена. Принцип работы теплоутилизатора типа УВРК-50 характеризуется двумя режимами работы: режим аккумуляции и режим регенерации. В режиме аккумуляции устройство работает на вытяжку и происходит нагрев регенеративной насадки внутренним вытяжным воздухом. В режиме регенерации устройство работает на приток и происходит нагрев приточного воздуха насадкой. В данной статье рассматривается процесс аккумуляции тепловой энергии.

Для точного анализа термодинамических процессов, происходящих в регенеративной насадке устройства, требуется составление математической модели.

На данный момент недостаточно внимания уделяется теплообменникам типа СПРТ. Существующие математические модели разработаны либо для регенеративных теплоутилизаторов, работающих при высокой температуре теплоносителя [2], либо регенеративных теплоутилизаторов с роторной (вращающейся) насадкой [4]. Единственная математическая модель, разработанная для СПРТ, приведена в источнике [1]. Данная модель построена и численно исследована с помощью разностной схемы. Но такие вопросы, как существование и единственность решения, а также аналитические способы нахождения решения, пока не исследованы. Аналитический способ нахождения решения задачи актуален с точки зрения разработки алгоритмов расчета тепловых характеристик процесса и оптимального управления работой теплоутилизатора.

Целью настоящей статьи является разработка математической модели процесса аккумуляции тепловой энергии в виде смешанной задачи, состоящей из системы двух дифференциальных уравнений; доказательство существования единственного решения смешанной задачи; составление приближенного решения смешанной задачи.

Разработка математической модели

Введем следующие обозначения: ТВ(τ, z) – температура воздуха в момент времени τ в точке z, где τ ≥ 0, 0 ≤ z ≤ L, °С; ТН(τ, z) – температура насадки в момент времени τ в точке z, где τ ≥ 0, 0 ≤ z ≤ L, °С; Gак – расход воздуха на этапе аккумуляции, м3/ч; сВ – теплоемкость воздуха, кДж/кг·°С; ρВ – плотность воздуха, кг/м3; SВ – площадь сечения канала, по которому проходит воздух, м2; П – периметр сечения канала, по которому проходит воздух, м; α – коэффициент теплоотдачи воздуха, Вт/м2·°С; Тin – температура помещения, откуда поступает тепловая энергия,·°С; Тout – температура внешней среды, куда поступает часть тепловой энергии,·°С; λН – теплопроводность материала насадки, Вт/ м·°С.

Построим математическую модель процесса нагрева воздуха в проходном канале. Для этого отметим, что monarkin01.wmf – количество тепла, поступающего в проходное сечение в точке z в момент времени τ; monarkin02.wmf – количество тепла, затрачиваемое на нагревание проходного сечения в точке z в момент времени τ; monarkin03.wmf – количество тепла, передаваемого от воздуха насадке в проходном сечении в точке z в момент времени τ.

Уравнение баланса тепловой энергии в проходном сечении в точке z в момент времени τ:

monarkin04.wmf τ > 0, 0 < z < L. (1)

Уравнение (1) представляет собой математическую модель процесса нагрева воздуха в проходном канале. При этом необходимо учитывать начальное условие

monarkin05.wmf 0 ≤ z ≤ L, (2)

т.е. в начальный момент времени температура в проходном канале распределена линейно между Тin и Тout, а также граничное (краевое) условие

ТB(τ, 0) = Тin, τ ≥ 0, (3)

т.е. на левом конце проходного канала температура все время постоянна и равна комнатной Тin.

Таким образом, получаем начально-краевую (смешанную) задачу (1), (2), (3) для неизвестной функции ТВ(τ, z).

Теперь построим математическую модель процесса нагрева насадки. В процессе нагрева насадки monarkin06.wmf – количество тепловой энергии, поступающее от воздуха насадке в проходном сечении в точке z в момент времени τ; monarkin07.wmf – количество тепловой энергии, расходуемое на нагревание насадки в точке z в момент времени τ; monarkin08.wmf – количество тепловой энергии, перемещаемое внутри насадки по закону Фурье.

Уравнение баланса тепловой энергии в поперечном сечении насадки в точке z в момент времени τ:

monarkin09.wmf (4)

Уравнение (4) представляет собой математическую модель процесса нагрева насадки. Необходимо учитывать начальное условие

monarkin10.wmf, (5)

т.е. в начальный момент времени температура в насадке распределена линейно между Тin и Тout и граничные (краевые) условия

monarkin11.wmf (6)

т.е. концы насадки изолированы все время. Таким образом, получаем начально-краевую (смешанную) задачу (4), (5), (6) для неизвестной функции ТH(τ, z).

Смешанная задача (1)–(6) есть математическая модель процесса аккумуляции тепловой энергии в термодинамической системе «воздух – насадка».

Единственность решения

Решением начально-краевой задачи (1)–(6) назовем пару функций monarkin12.wmf, monarkin13.wmf, являющуюся решением системы уравнений (1), (4), и удовлетворяющую начальным условиям (2), (5) и краевым условиям (3), (6). Общеизвестным методом энергетических равенств и неравенств ([3]) докажем, что решение (ТВ(τ, z), ТH(τ, z)) смешанной задачи (1)–(6) единственно. Для этого достаточно показать, что если начальные значения ТВ(0, z), ТH(0, z) и граничное значение ТВ(0, z) тождественно равны нулю, то функции ТВ(τ, z) и ТH(τ, z) также тождественно равны нулю.

В силу уравнений (1) и (4) имеем

monarkin14.wmf

monarkin15.wmf

Первое равенство умножим на ТВ(τ, z), второе – на ТH(τ, z), затем сложим их и проинтегрируем по z в пределах от 0 до L:

monarkin16.wmf

Заметим, что

1) monarkin17.wmf

2) monarkin18.wmf

3) monarkin19.wmf в силу граничных условий (6);

4) monarkin20.wmf

Следовательно, имеем

monarkin21.wmf

Отсюда следует, что если ТВ(τ, 0) ≡ 0, то

monarkin22.wmf при τ > 0,

monarkin23.wmf при τ > 0.

Если к тому же ТВ(0, z) ≡ 0 и ТH(0, z) ≡ 0, то

monarkin24.wmf

Значит, ТВ(τ, z) ≡ 0 и ТH(τ, z) ≡ 0. Единственность решения доказана.

Приближенное решение

Смешанную задачу (1)–(6) перепишем в следующем виде:

monarkin25.wmf τ > 0, 0 < τ < L, (7)

monarkin26.wmf 0 ≤ τ ≤ L, ТB(τ, 0) = Тin, τ ≥ 0, (8)

monarkin27.wmf τ > 0, 0 < τ < L, (9)

monarkin28.wmf 0 ≤ τ ≤ L, monarkin29.wmf τ > 0, (10)

где monarkin30.wmf monarkin31.wmf monarkin32.wmf monarkin33.wmf

В силу (7) и (8) функцию ТВ(τ, z) можно выразить функцией ТH(τ, z):

ТВ(τ, z) = ΦВТH(τ, z), (11)

где monarkin34.wmf

В силу (9) и (10) функцию ТH(τ, z) можно выразить функцией ТВ(τ, z):

ТH(τ, z) = ΦHТВ(τ, z), (12)

где

monarkin35.wmf

monarkin36.wmf monarkin37.wmf k = 0, 1, 2, ...

Интегральные представления (11) и (12) выводятся из общеизвестных формул решения смешанных задач вида (7), (8) и (9), (10) (см., напр., [5]).

Таким образом, смешанная задача (7)–(10) равносильна системе интегральных уравнений (11), (12). Систему (11), (12) решим методом последовательных приближений ([5]). А именно построим следующие последовательности функций:

monarkin38.wmf

monarkin39.wmf

monarkin40.wmf (13)

Последовательность функций monarkin41.wmf n = 1, 2, ... сходится к решению (ТH(τ, z), ТВ(τ, z)) смешанной задачи (7)–(10):

monarkin42.wmf

monarkin43.wmf

Поэтому при больших номерах n пару функций monarkin44.wmf можно взять в качестве приближенного решения (ТH(τ, z), ТВ(τ, z)) смешанной задачи (7)–(10):

monarkin45.wmf

monarkin46.wmf

При больших номерах n и фиксированных моментах времени τ графики функций monarkin47.wmf представлены на рис. 1 и 2.

pic_19.wmf

Рис. 1. График зависимости изменения температуры воздуха от длины насадки при четырех фиксированных моментах времени τ

В итоге работы можно сделать вывод, что графические результаты по предложенной математической модели в определенной мере отвечают реальным процессам теплообмена в СПРТ.

pic_20.wmf

Рис. 2. График зависимости изменения температуры насадки от длины насадки при четырех фиксированных моментах времени τ

Необходимо отметить, что в рассмотренной модели коэффициент теплоотдачи воздуха α считается известной величиной. Но в реальности величина α существенно зависит от потока воздуха Gак и самого процесса нагрева, поэтому было бы естественным величину α также считать неизвестной. В этом случае математическую модель нужно скорректировать так, чтобы величину α можно было однозначно находить наряду с неизвестными функциями ТВ и ТН. Для этого необходимо ввести дополнительное условие, позволяющее находить α.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках выполнения государственного задания высшим учебным заведениям.

Рецензенты:

Горбунов В.А., д.ф.-м.н., профессор, главный специалист Общества с ограниченной ответственностью Научно-производственный центр «ЭнергоКИТ», г. Вологда;

Игонин В.И., д.т.н., профессор, главный конструктор Общества с ограниченной ответственностью Научно-производственный центр «Информационные и энергетические технологии» (малое инновационное предприятие ООО НПЦ «Инэнтех»), г. Вологда.

Работа поступила в редакцию 17.10.2014.


Библиографическая ссылка

Монаркин Н.Н., Наимов А.Н., Синицын А.А., Рогулина Т.В. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА АККУМУЛЯЦИИ ТЕПЛОВОЙ ЭНЕРГИИ В СТАЦИОНАРНОМ ПЕРЕКЛЮЧАЮЩЕМСЯ РЕГЕНЕРАТИВНОМ ТЕПЛОУТИЛИЗАТОРЕ // Фундаментальные исследования. – 2014. – № 11-4. – С. 759-764;
URL: https://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=35629 (дата обращения: 05.12.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074