Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,749

PARAMETRIC INTERACTION OF ELECTROMAGNETIC WAVES WITH ANISOTROPIC MAGNETO DIELECTRIC PLATE, PLACED IN A WAVEGUIDE

Gevorkyan E.A. 1 Steshkin V.I. 1
1 Moscow State University of Economics Statistics and Informatics
1769 KB
The propagation of the transverse-electric (TE) and transverse-magnetic (TM) electromagnetic waves in a waveguide with arbitrary cross-section, which contains the anisotropic magneto dielectric plate of a finite length, is considered. The wave equations in different regions of the waveguide are obtained from Maxwell equations. These wave equations are solved by the method developed in [1]. From boundary conditions taking into account the solutions of the wave equations the generalized Fresnel formulas are obtained, that enable to calculate the power reflection and transmission coefficients for the plate. The diagrams of dependence of the reflection coefficients on the thickness of the plate at different values of the parameters characterizing the interaction between TE and TM waves with anisotropic magneto dielectric plate in the waveguide are resulted. They show oscillatory nature of indicated dependencies. Envelopes of maxima of dependencies on thickness of the plate are decreasing functions. In the article the case of «thin» plate is considered too. Analytical expressions for the power reflection coefficients of TE and TM waves, obtained in this case, show that they are proportional to the thickness of the plate in the square.
electromagnetic waves
waveguide
anisotropic magneto dielectric plate
reflection and transmission coefficients
1. Gevorkyan E.A. On the Electrodynamics of space-Time Periodic Mediums in the Waveguides of Arbitrary Cross Section. Uspekhi Sovremennoy Radioelektroniki [Progress of Modern Radioelectronics], 2006, no 1, pp. 3–29.
2. Gevorkyan E.A. Interaction of electromagnetic waves with periodically modulated anisotropic magneto dielectric filling in a waveguide. Elektromagnitnye Volny i Elektronnye Sistemy [Electromagnetic Waves and Electronic Systems], 2009, no 10, pp. 65–72.
3. Gevorkyan E.A. Propagation of electromagnetic waves in a waveguide with a anisotropic modulated anisotropic insert. Zhurnal Tekhnicheskoy Fiziki, 2006, vol. 76, no 5, pp. 134–137 [Technical Physics, 2006, vol. 51, no. 5, pp. 666–669].
4. Gevorkyan E.A. The theory of propagation of electromagnetic waves in a waveguide with a magnetoactive anisotropic modulated filling, Radiotekhnika i Elektronika, 2008, Vol. 53, no 5, pp. 565–569 [Journal of Communications Technology and Electronics, 2008, Vol. 53, no. 5, pp. 535–539].
5. Delicyn A.L., Troshina I.K. Complex waves in a waveguide with anisotropic insert. Radiotekhnika i Elektronika [Journal of Communications Technology and Electronics], 2005, Vol. 50, no 7, pp. 815-820.
6. Levich V.G. Kurs teoreticheskoy fiziki, 2012, Vol. 1, 911 р., YOYO Media, www.my-shop.ru/_files/product/pdf/127/1263257.pdf.
7. Tikhonov A.N., Samarskiy A.A. Uravneniya matematicheskoy fiziki [Equations of mathematical physics], Moscow, MGU, 2004, 798 p.
8. Yariv A., Yeh P. Opticheskie volny v kristallakh [Optical waves in crystals]. Translation from English, Moscow, Mir, 1987, 616 p.
9. Gevorkyan E.A. On the electrodynamics of space-time periodic mediums in a waveguide of arbitrary cross section. Wave propagation, chapter 13. Croatia: INTECH Open Access Publisher, 2011, pp. 267–284, available at: www.intechopen.com/books/wave-propagation,DOI: 10.5772/584.

Теоретические и экспериментальные исследования в области электродинамики анизотропных магнитодиэлектрических сред представляют большой интерес и с точки зрения развития теории, и с точки зрения возможностей широкого практического применения подобных сред в микроволновой электронике, в тонкопленочной и интегральной оптике, акустооптике и т.д. [5, 8]. В частности, представляет определенный интерес изучение отражения поперечно-электрических (ТЕ) и поперечно-магнитных (ТМ) электромагнитных волн от левой границы и прохождения от правой границы анизотропной магнитодиэлектрической пластины, помещенной в волновод.

Постановка задачи и волновые уравнения

Пусть в регулярный волновод произвольного поперечного сечения, ось которого совпадает с осью oz некоторой декартовой системы координат, помещена анизотропная магнитодиэлектрическая пластина толщины 2d (–d ≥ z ≥ d). Рассмотрим распространение ТЕ и ТМ сигнальных волн с единичной амплитудой и частотой ω0 в подобном волноводе, предполагая, что они падают на пластину со стороны z ≤ –d (рис. 1).

Пусть диэлектрическая и магнитная проницаемости пластины имеют вид

gevor006.wmf gevor007.wmf (1)

где ε1, ε2, μ1, μ2 – постоянные. ТЕ и ТМ поля в волноводе, как и в работах [1–4] и [9], будем описывать с помощью продольных Фурье-компонент магнитного и электрического векторов gevor008.wmf и gevor009.wmf соответственно. Волновые уравнения для gevor010.wmf и gevor011.wmf получаются из уравнений Максвелла и в различных областях волновода представляются в следующем виде:

Для ТЕ поля:

в областях I и III (z ≤ –d и z ≥ d):

gevor012.wmf (2)

в области II (–d ≥ z ≥ d):

gevor013.wmf (3)

где gevor014.wmf

gevor015.wmf

gevor016.wmf – двумерный оператор Лапласа.

Для ТМ поля:

в областях I и III (z ≤ –d и z ≥ d):

gevor017.wmf (4)

в области II ((–d ≥ z ≥ d):

gevor018.wmf (5)

pic_27.wmf

Рис. 1. Геометрия поперечного сечения волновода

Решения волновых уравнений (2)–(5) будем искать в виде равномерно и абсолютно сходящихся рядов [7] (приложение к главе 7):

gevor019.wmf

gevor020.wmf (6)

В (6) gevor021.wmf и Ψn(x, y) представляют собственные функции второй и первой краевых задач для поперечного сечения волновода и соответствуют собственным значениям gevor022.wmf и λn. Эти функции удовлетворяют следующим уравнениям Гельмгольца с соответствующими граничными условиями:

gevor023.wmf (7)

gevor024.wmf (8)

где Σ – контур поперечного сечения волновода, gevor025.wmf – нормаль к Σ.

Поперечные составляющие gevor026.wmf и gevor027.wmf ТЕ и ТМ полей, как следует из уравнений Максвелла в случае отсутствия зарядов и токов в среде [6], будут выражаться формулами:

Для ТЕ поля:

в I и III областях (z ≤ –d и z ≥ d):

gevor028.wmf (9)

gevor029.wmf (10)

в области II ((–d ≥ z ≥ d):

gevor030.wmf (11)

gevor031.wmf (12)

где индекс τ означает поперечные составляющие, gevor032.wmf – орт оси oz, ∇ – оператор Набла.

Для ТМ поля:

в I и III областях (z ≤ –d и z ≥ d):

gevor033.wmf (13)

gevor034.wmf (14)

в области II ((–d ≥ z ≥ d):

gevor035.wmf (15)

gevor036.wmf (16)

Коэффициенты отражения и прохождения по мощности.

Подставляя (6) в уравнения (2)–(5) и учитывая (7) и (8), для определения Hn(z) и En(z) в различных областях волновода, получим следующие обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка:

Для ТЕ поля:

в I и III областях (z ≤ –d и z ≥ d):

gevor037.wmf (17)

где gevor038.wmf

в области II ((–d ≥ z ≥ d):

gevor039.wmf (18)

где gevor040.wmf

Для ТМ поля:

в I и III областях (z ≤ –d и z ≥ d):

gevor041.wmf (19)

где gevor042.wmf

в области II ((–d ≥ z ≥ d):

gevor043.wmf (20)

где gevor044.wmf

Решения уравнений (17)–(20) имеют вид:

Для ТЕ поля:

в I области (z ≤ –d):

gevor045.wmf (21)

в III области (z ≥ d):

gevor046.wmf (22)

в области II ((–d ≥ z ≥ d):

gevor047.wmf (23)

где gevor048.wmf gevor049.wmf gevor050.wmf и gevor051.wmf пока неизвестные коэффициенты.

Для ТМ поля:

в I области (z ≤ –d):

gevor052.wmf (24)

в III области (z ≥ d):

gevor053.wmf (25)

в области II ((–d ≥ z ≥ d):

gevor054.wmf (26)

где gevor055.wmf gevor056.wmf an и gevor057.wmf пока неизвестные коэффициенты.

Все неизвестные коэффициенты можно найти с помощью следующих граничных условий при z = ±d:

Для ТЕ поля:

z = –d; gevor058.wmf gevor059.wmf (27)

z = d; gevor060.wmf gevor061.wmf (28)

Для ТM поля:

z = –d; gevor062.wmf gevor063.wmf (29)

z = d; gevor064.wmf gevor065.wmf (30)

Подставляя (21)–(26) в граничные условия (27)–(30) и решая полученную систему уравнений, получим обобщенные формулы Френеля для анизотропной магнитодиэлектрической пластины в виде:

Для ТЕ поля:

gevor066.wmf gevor067.wmf (31)

gevor068.wmf gevor069.wmf (32)

где

gevor070.wmf gevor071.wmf (33)

Для ТМ поля:

gevor072.wmf gevor073.wmf (34)

gevor074.wmf gevor075.wmf (35)

где

gevor076.wmf gevor077.wmf (36)

Теперь с помощью (31) и (34) можно найти коэффициенты отражения и прохождения по мощности для ТЕ и ТМ полей. Вычисления приводят к следующим выражениям:

Для ТЕ поля:

gevor078.wmf gevor079.wmf (37)

где

gevor080.wmf (38)

gevor081.wmf (39)

Для ТМ поля:

gevor082.wmf gevor083.wmf (40)

где

gevor084.wmf (41)

gevor085.wmf (42)

Зависимости коэффициентов отражения по мощности gevor086.wmf и Rn от d приведены на рис. 2–5. Графики построены согласно формулам (37)–(42) с помощью программы Mathcad при различных значениях параметров, характеризующих взаимодействие ТЕ и ТМ волн с анизотропной магнитодиэлектрической пластиной в волноводе. Как видно из рисунков, коэффициенты отражения по мощности имеют колебательный характер в зависимости от d. При увеличении ε1 в случае ТЕ волны и μ1 в случае ТМ волны максимумы коэффициентов отражения перемещаются в сторону меньших d. Огибающие максимумов в зависимости от d являются убывающими функциями. Характер зависимости коэффициентов прохождения по мощности одинаков для ТЕ и ТМ волн. При увеличении d они стремятся к нулю.

pic_28.tif

Рис. 2. Зависимость gevor087.wmf от d при ε1 = 2,5; μ1 = 350; μ2 = 14; gevor088.wmf ωo = 1,2·106

pic_29.tif

Рис. 3. Зависимость gevor089.wmf от d при ε1 = 5; μ1 = 350; μ2 = 40; gevor091.wmf ωo = 1,2·106

pic_30.tif

Рис. 4. Зависимость Rn от d при ε1 = 2,5; ε2 = 3; μ1 = 60; gevor092.wmf ωo = 1,2·106

pic_31.tif

Рис. 5. Зависимость Rn от d при ε1 = 2,5; ε2 = 2; μ1 = 30; gevor093.wmf ωo = 1,2·106

Теперь рассмотрим частный случай, когда длина волны в пластине много больше толщины пластины (случай «тонкой» пластины), то есть

gevor094.wmf gevor095.wmf (43)

Считая, что одновременно с (43) выполняются и условия

gevor096.wmf gevor097.wmf

gevor098.wmf gevor099.wmf (44)

и разлагая выражения (37)–(40) в ряд Тейлора по степеням d, ограничиваясь членами, содержащими d2, получим

gevor100.wmf gevor101.wmf (45)

gevor102.wmf (46)

gevor103.wmf (47)

При d = 0 из (45)–(47) получим: gevor104.wmf Rn = 0; gevor105.wmf Tn = 1.

Заключение

В заключение отметим, что полученные в настоящей работе результаты дают возможность решить задачу излучения заряженной частицы, движущейся равномерно вдоль или перпендикулярно оси волновода, где помещена анизотропная магнитодиэлектрическая пластина толщины 2d. Отметим, что с математической точки зрения задача сводится к решению неоднородных дифференциальных уравнений.

Подобная постановка задачи представляет интерес и в плане развития теории, и в плане возможности практического применения излучения в различных областях электроники СВЧ.

Рецензенты:

Кюркчан А.Г., д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой теории вероятностей и прикладной математики Московского технического университета связи и информатики (МТУСИ), г. Москва;

Мазуров М.Е., д.ф.-м.н., доцент, профессор кафедры высшей математики Московского государственного университета экономики, статистики и информатики (МЭСИ), г. Москва.

Работа поступила в редакцию 04.06.2014.