Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,749

ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН С АНИЗОТРОПНОЙ МАГНИТОДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПЛАСТИНОЙ, ПОМЕЩЕННОЙ В ВОЛНОВОД

Геворкян Э.А. 1 Стешкин В.И. 1
1 Московский государственный университет экономики статистики и информатики
Рассмотрено распространение поперечно-электрических (ТЕ) и поперечно-магнитных (ТМ) электромагнитных волн в волноводе произвольного поперечного сечения, где помещена анизотропная магнитодиэлектрическая пластина конечной длины. Получены волновые уравнения в различных областях волновода из уравнений Максвелла. Они решаются методом, развитым в работе [1]. На основе граничных условий с учетом решений волновых уравнений получены обобщенные формулы Френеля, которые позволяют вычислить коэффициенты отражения и прохождения по мощности для пластины. Приведены графики зависимости коэффициентов отражения от толщины пластины при различных значениях параметров, характеризующих взаимодействие ТЕ и ТМ волн с анизотропной магнитодиэлектрической пластиной в волноводе. Они показывают колебательный характер указанных зависимостей. Огибающие максимумов зависимости от толщины пластины являются убывающими функциями. В работе рассматривается также случай «тонкой» пластины. Полученные в этом случае аналитические выражения для коэффициентов отражения по мощности ТЕ и ТМ волн показывают, что они пропорциональны толщине пластины в квадрате.
электромагнитные волны
волновод
анизотропная магнитодиэлектрическая пластина
коэффициенты отражения и прохождения
1. Геворкян Э.А. К электродинамике периодически нестационарных и неоднородных сред в волноводах произвольного поперечного сечения // Успехи современной радиоэлектроники. – 2006. – № 1. – С. 3–29.
2. Геворкян Э.А. Взаимодействие электромагнитных волн с периодически модулированным анизотропным магнито-диэлектрияческим заполнением волновода // Электромагнитные волны и электронные системы. – 2009. – № 10. – С. 65–72.
3. Геворкян Э.А. Распространение электромагнитных волн в волноводе с анизотропным модулированным заполнением // Журнал технической физики. – 2006. – Т. 76, № 5. – С. 134–137.
4. Геворкян Э.А. К теории распространения электромагнитных волн в волноводе с магнитоактивным анизотропным модулированным заполнением // Радиотехника и электроника. – Т. 59, № 5. – С. 565–569.
5. Делицын А.Л., Трошина И.К. Комплексные волны в волноводе с анизотропным заполнением // Радиотехника и электроника. – 2005. – Т. 50, № 7. – С. 815-820.
6. Левич В.Г. Курс теоретической физики. – 2012. – Т. 1. – 911 с., YOYO Media, www.my-shop.ru/_files/product/pdf/127/1263257.pdf.
7. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.: МГУ, 2004. – 798с.
8. Ярив А., Юх П. Оптические волны в кристаллах: пер. с англ. – М.: Мир, 1987. – 616 с.
9. Gevorkyan E.A. On the electrodynamics of space-time periodic mediums in a waveguide of arbitrary cross section. Wave propagation, chapter 13. Croatia: INTECH Open Access Publisher, 2011. – P. 267–284, available at: www.intechopen.com/books/wave-propagation,DOI: 10.5772/584.

Теоретические и экспериментальные исследования в области электродинамики анизотропных магнитодиэлектрических сред представляют большой интерес и с точки зрения развития теории, и с точки зрения возможностей широкого практического применения подобных сред в микроволновой электронике, в тонкопленочной и интегральной оптике, акустооптике и т.д. [5, 8]. В частности, представляет определенный интерес изучение отражения поперечно-электрических (ТЕ) и поперечно-магнитных (ТМ) электромагнитных волн от левой границы и прохождения от правой границы анизотропной магнитодиэлектрической пластины, помещенной в волновод.

Постановка задачи и волновые уравнения

Пусть в регулярный волновод произвольного поперечного сечения, ось которого совпадает с осью oz некоторой декартовой системы координат, помещена анизотропная магнитодиэлектрическая пластина толщины 2d (–d ≥ z ≥ d). Рассмотрим распространение ТЕ и ТМ сигнальных волн с единичной амплитудой и частотой ω0 в подобном волноводе, предполагая, что они падают на пластину со стороны z ≤ –d (рис. 1).

Пусть диэлектрическая и магнитная проницаемости пластины имеют вид

gevor006.wmf gevor007.wmf (1)

где ε1, ε2, μ1, μ2 – постоянные. ТЕ и ТМ поля в волноводе, как и в работах [1–4] и [9], будем описывать с помощью продольных Фурье-компонент магнитного и электрического векторов gevor008.wmf и gevor009.wmf соответственно. Волновые уравнения для gevor010.wmf и gevor011.wmf получаются из уравнений Максвелла и в различных областях волновода представляются в следующем виде:

Для ТЕ поля:

в областях I и III (z ≤ –d и z ≥ d):

gevor012.wmf (2)

в области II (–d ≥ z ≥ d):

gevor013.wmf (3)

где gevor014.wmf

gevor015.wmf

gevor016.wmf – двумерный оператор Лапласа.

Для ТМ поля:

в областях I и III (z ≤ –d и z ≥ d):

gevor017.wmf (4)

в области II ((–d ≥ z ≥ d):

gevor018.wmf (5)

pic_27.wmf

Рис. 1. Геометрия поперечного сечения волновода

Решения волновых уравнений (2)–(5) будем искать в виде равномерно и абсолютно сходящихся рядов [7] (приложение к главе 7):

gevor019.wmf

gevor020.wmf (6)

В (6) gevor021.wmf и Ψn(x, y) представляют собственные функции второй и первой краевых задач для поперечного сечения волновода и соответствуют собственным значениям gevor022.wmf и λn. Эти функции удовлетворяют следующим уравнениям Гельмгольца с соответствующими граничными условиями:

gevor023.wmf (7)

gevor024.wmf (8)

где Σ – контур поперечного сечения волновода, gevor025.wmf – нормаль к Σ.

Поперечные составляющие gevor026.wmf и gevor027.wmf ТЕ и ТМ полей, как следует из уравнений Максвелла в случае отсутствия зарядов и токов в среде [6], будут выражаться формулами:

Для ТЕ поля:

в I и III областях (z ≤ –d и z ≥ d):

gevor028.wmf (9)

gevor029.wmf (10)

в области II ((–d ≥ z ≥ d):

gevor030.wmf (11)

gevor031.wmf (12)

где индекс τ означает поперечные составляющие, gevor032.wmf – орт оси oz, ∇ – оператор Набла.

Для ТМ поля:

в I и III областях (z ≤ –d и z ≥ d):

gevor033.wmf (13)

gevor034.wmf (14)

в области II ((–d ≥ z ≥ d):

gevor035.wmf (15)

gevor036.wmf (16)

Коэффициенты отражения и прохождения по мощности.

Подставляя (6) в уравнения (2)–(5) и учитывая (7) и (8), для определения Hn(z) и En(z) в различных областях волновода, получим следующие обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка:

Для ТЕ поля:

в I и III областях (z ≤ –d и z ≥ d):

gevor037.wmf (17)

где gevor038.wmf

в области II ((–d ≥ z ≥ d):

gevor039.wmf (18)

где gevor040.wmf

Для ТМ поля:

в I и III областях (z ≤ –d и z ≥ d):

gevor041.wmf (19)

где gevor042.wmf

в области II ((–d ≥ z ≥ d):

gevor043.wmf (20)

где gevor044.wmf

Решения уравнений (17)–(20) имеют вид:

Для ТЕ поля:

в I области (z ≤ –d):

gevor045.wmf (21)

в III области (z ≥ d):

gevor046.wmf (22)

в области II ((–d ≥ z ≥ d):

gevor047.wmf (23)

где gevor048.wmf gevor049.wmf gevor050.wmf и gevor051.wmf пока неизвестные коэффициенты.

Для ТМ поля:

в I области (z ≤ –d):

gevor052.wmf (24)

в III области (z ≥ d):

gevor053.wmf (25)

в области II ((–d ≥ z ≥ d):

gevor054.wmf (26)

где gevor055.wmf gevor056.wmf an и gevor057.wmf пока неизвестные коэффициенты.

Все неизвестные коэффициенты можно найти с помощью следующих граничных условий при z = ±d:

Для ТЕ поля:

z = –d; gevor058.wmf gevor059.wmf (27)

z = d; gevor060.wmf gevor061.wmf (28)

Для ТM поля:

z = –d; gevor062.wmf gevor063.wmf (29)

z = d; gevor064.wmf gevor065.wmf (30)

Подставляя (21)–(26) в граничные условия (27)–(30) и решая полученную систему уравнений, получим обобщенные формулы Френеля для анизотропной магнитодиэлектрической пластины в виде:

Для ТЕ поля:

gevor066.wmf gevor067.wmf (31)

gevor068.wmf gevor069.wmf (32)

где

gevor070.wmf gevor071.wmf (33)

Для ТМ поля:

gevor072.wmf gevor073.wmf (34)

gevor074.wmf gevor075.wmf (35)

где

gevor076.wmf gevor077.wmf (36)

Теперь с помощью (31) и (34) можно найти коэффициенты отражения и прохождения по мощности для ТЕ и ТМ полей. Вычисления приводят к следующим выражениям:

Для ТЕ поля:

gevor078.wmf gevor079.wmf (37)

где

gevor080.wmf (38)

gevor081.wmf (39)

Для ТМ поля:

gevor082.wmf gevor083.wmf (40)

где

gevor084.wmf (41)

gevor085.wmf (42)

Зависимости коэффициентов отражения по мощности gevor086.wmf и Rn от d приведены на рис. 2–5. Графики построены согласно формулам (37)–(42) с помощью программы Mathcad при различных значениях параметров, характеризующих взаимодействие ТЕ и ТМ волн с анизотропной магнитодиэлектрической пластиной в волноводе. Как видно из рисунков, коэффициенты отражения по мощности имеют колебательный характер в зависимости от d. При увеличении ε1 в случае ТЕ волны и μ1 в случае ТМ волны максимумы коэффициентов отражения перемещаются в сторону меньших d. Огибающие максимумов в зависимости от d являются убывающими функциями. Характер зависимости коэффициентов прохождения по мощности одинаков для ТЕ и ТМ волн. При увеличении d они стремятся к нулю.

pic_28.tif

Рис. 2. Зависимость gevor087.wmf от d при ε1 = 2,5; μ1 = 350; μ2 = 14; gevor088.wmf ωo = 1,2·106

pic_29.tif

Рис. 3. Зависимость gevor089.wmf от d при ε1 = 5; μ1 = 350; μ2 = 40; gevor091.wmf ωo = 1,2·106

pic_30.tif

Рис. 4. Зависимость Rn от d при ε1 = 2,5; ε2 = 3; μ1 = 60; gevor092.wmf ωo = 1,2·106

pic_31.tif

Рис. 5. Зависимость Rn от d при ε1 = 2,5; ε2 = 2; μ1 = 30; gevor093.wmf ωo = 1,2·106

Теперь рассмотрим частный случай, когда длина волны в пластине много больше толщины пластины (случай «тонкой» пластины), то есть

gevor094.wmf gevor095.wmf (43)

Считая, что одновременно с (43) выполняются и условия

gevor096.wmf gevor097.wmf

gevor098.wmf gevor099.wmf (44)

и разлагая выражения (37)–(40) в ряд Тейлора по степеням d, ограничиваясь членами, содержащими d2, получим

gevor100.wmf gevor101.wmf (45)

gevor102.wmf (46)

gevor103.wmf (47)

При d = 0 из (45)–(47) получим: gevor104.wmf Rn = 0; gevor105.wmf Tn = 1.

Заключение

В заключение отметим, что полученные в настоящей работе результаты дают возможность решить задачу излучения заряженной частицы, движущейся равномерно вдоль или перпендикулярно оси волновода, где помещена анизотропная магнитодиэлектрическая пластина толщины 2d. Отметим, что с математической точки зрения задача сводится к решению неоднородных дифференциальных уравнений.

Подобная постановка задачи представляет интерес и в плане развития теории, и в плане возможности практического применения излучения в различных областях электроники СВЧ.

Рецензенты:

Кюркчан А.Г., д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой теории вероятностей и прикладной математики Московского технического университета связи и информатики (МТУСИ), г. Москва;

Мазуров М.Е., д.ф.-м.н., доцент, профессор кафедры высшей математики Московского государственного университета экономики, статистики и информатики (МЭСИ), г. Москва.

Работа поступила в редакцию 04.06.2014.


Библиографическая ссылка

Геворкян Э.А., Стешкин В.И. ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН С АНИЗОТРОПНОЙ МАГНИТОДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПЛАСТИНОЙ, ПОМЕЩЕННОЙ В ВОЛНОВОД // Фундаментальные исследования. – 2014. – № 8-4. – С. 842-848;
URL: https://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=34681 (дата обращения: 20.10.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074