Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,749

RESEARCH OF THE GRAIN MATERIAL MOVEMENT MECHANICS IN A CROSS SECTION OF A TUMBLER MIXER

Volkov M.V. 1 Korolev L.V. 1 Tarshis M.Y. 1
1 Yaroslavl State Technical University
A description of the velocity field of the bulk material and the shape of its free surface in a tumbler mixer is done. Analysis of the motion of the particles in the mixer is made under assumption of existence of the two characteristic areas in bulk material, separated by the avalanche surface. The first one is transporting region where mixing does not occur and granular medium moves as a solid. The second one is the active mixing area where relative displacements of the particles take place. To describe the motion of particles near the avalanche surface, the structure of the boundary layer of a viscous liquid near a solid surface is used. Motion of the particles on the free surface of the bulk is described neglecting the effects of viscosity. The results obtained can be used for the mixing process modeling required for engineering design of tumbler mixers.
mixing
bulk material
tumbler mixer
velocity field
avalanche surface
1. Korolev L.V. Investigation of the processes of mixing and segregation of granular materials in devices gravitational action Overflow / L.V. Korolev, M.Ju. Tarshis // Izv. vuzov. Him. i him. tehnolog. 2008. T. 51, no. 8. рр. 70–71.
2. Pershin V.F., Odnolko V.G., Pershina S.V. Processing machines for bulk materials in the drum type. M.: Mashinostroenie, 2009. 220 р.
3. Tarshis M.Yu., Korolev L.V., Zajcev A.I. Theory and modeling principles of mixing bulk materials and creation of devices with flexible elements for its implementation: Monograph, Jaroslavl’: izd-vo YGTU, 2011. 100 p.
4. Korolev L.V., Tarshis M.Y. Prigotovlenie plotnyh sypuchih smesej v ustrojstve gravitacionno-peresypnogo dejstvija metodom prjamoj podachi melkoj frakcii v potok obrushenija // Sovremennye problemy nauki i obrazovanija. M.: ID «Akademija estestvoznanija», 2008. no. 3. pp. 116–121.
5. Selivanov Y.T., Pershin V.F. Calculation and design of circulation mixers bulk materials without internal mixing devices. M.: Izdatel’stvo «Mashinostroenie-1». 2004 120 p.
6. Prigozhin L. Radial mixing and segregation of a binary mixture in a rotating drum: Model and experiment / L. Prigozhin, H. Kalman // Phys. Rev. E 57. 1998. pp. 2073–2080.

Смесители гравитационно-пересыпного действия являются, пожалуй, наиболее распространенными устройствами, применяющимися для приготовления сыпучих смесей во многих отраслях химической, строительной, лакокрасочной промышленности, в металлургии и целом ряде других. За последние годы возможности таких устройств существенно расширились за счет разработки новых конструкций, содержащих эластичные рабочие элементы и отличающихся простотой обслуживания, малым энергопотреблением, технологичностью и низкой металлоемкостью [1–5].

Создание эффективных устройств, обеспечивающих получение сыпучих смесей высокого качества, требует разработки надежных инженерных методов проектирования и расчета, которые, в свою очередь, должны базироваться на адекватном математическом описании самого процесса смешивания. Такое описание требует изучения механики движения сыпучего материала в смесителе. Экспериментальные исследования механизмов процессов, происходящих в рабочих объемах смесительных аппаратов гравитационно-пересыпного действия, позволяют установить в объёме перерабатываемого материала наличие двух областей характерного поведения (рис. 1): транспортирования 1, где смешивания практически не происходит, и активного смешивания (обрушения) 2. Частицы, двигаясь из области транспортирования, пересекают поверхность раздела и попадают в область 2, после чего вновь возвращаются в область транспортирования.

Наибольшую сложность представляет моделирование движения материала в области активного смешивания. В работах [1, 4, 6] эта область рассматривалась как бесконечно тонкая, и анализ движения материала в ней сводился к изучению поверхностного потока. Такое упрощение уже при небольших скоростях движения частиц приводит к расхождению результатов расчета процесса смешивания с экспериментальными данными. В данной работе рассматривается механика движения сыпучего материала в слое активного смешивания, имеющего конечную толщину.

pic_4.tif

Рис. 1. Поперечное сечение барабана

Рассмотрим вращательное движение рабочей поверхности (барабана) радиуса R с угловой скоростью ω (рис. 1). Слой активного смешивания расположен над линией обрушения –а...а, расстояние до которой от центра окружности равно volkov01.wmf, h(x) – функция, определяющая форму области активного смешивания; α – угол обрушения, volkov02.wmf, volkov03.wmf – проекции скоростей частиц в области активного смешивания на оси x и y соответственно. Неизвестные h(x), volkov04.wmf, volkov05.wmf можно определить исходя из следующих рассуждений.

В транспортирующей области материал движется как твердое тело. В этой области проекции скоростей частиц на оси координат имеют вид:

volkov06.wmf (1)

volkov07.wmf (2)

На линии обрушения проекция скорости volkov08.wmf терпит разрыв, поэтому граничное условие для нее можно записать в виде:

volkov09.wmf (3)

Если плотность сыпучего материала при переходе из транспортирующей области в область активного смешивания меняется несущественно, то проекция скорости, перпендикулярная линии обрушения, должна быть непрерывной, т.е.

volkov10.wmf (4)

Рассмотрим элемент области активного смешивания на отрезке линии обрушения (x, x + Δx) (рис. 2) и, считая плотность сыпучего материала постоянной и равной единице, запишем уравнение, выражающее закон сохранения массы:

volkov11.wmf (5)

где J(x) – поток сыпучих компонентов через сечение х.

pic_5.tif

Рис. 2. Слой обрушения

Из выражения (5) при Δx → 0, следует дифференциальное уравнение:

volkov12.wmf (6)

Поток J(x) связан с компонентой скорости volkov13.wmf соотношением:

volkov14.wmf (7)

где интегрирование ведется по сечению области активного смешивания. Кроме того, в этой области должно выполняться уравнение непрерывности:

volkov15.wmf (8)

Законы сохранения (6), (7) и (8) позволяют выразить две из искомых величин h(x) и volkov16.wmf через volkov17.wmf. Сама же проекция скорости volkov18.wmf должна быть найдена из уравнений движения сыпучего материала в области активного смешивания, полученных методами механики сплошной среды. Поскольку запись и анализ этих уравнений для сыпучей среды представляют существенные трудности, воспользуемся для нахождения volkov19.wmf упрощенной моделью. Будем считать, что в тонком слое над линией обрушения движение сыпучей среды аналогично движению вязкой жидкости в пограничном слое у твердой поверхности, то есть скорость volkov20.wmf линейно растет по мере удаления от линии обрушения. Тогда, с учетом (3), скорость volkov21.wmf можно приближенно представить в виде:

volkov22.wmf (9)

где v(x) – проекция на ось x скорости частиц на свободной поверхности. На поверхности сыпучей среды влияние вязкости мало, и ускорение частицы вдоль оси x определяется только силой тяжести:

volkov23.wmf (10)

Интегрирование уравнения (10) с начальными условиями x(t = 0) = –a и v(t = 0) = 0 дает:

volkov24.wmf (11)

volkov25.wmf (12)

Исключая из (11), (12) время t, получаем выражение для скорости частицы на поверхности как функции координаты x:

volkov26.wmf (13)

Подстановка (13) в формулу (9) дает окончательное выражение для volkov27.wmf:

volkov28.wmf (14)

Для определения h(x) вычислим поток материала через сечение x (7) с учетом (14):

volkov29.wmf (15)

С другой стороны, решение уравнения (6) с граничным условием J(–a) = 0 дает следующее выражение для J(x) [6]:

volkov30.wmf (16)

Из (15) и (16) получаем уравнение для определения h(x)

volkov31.wmf (17)

из которого, принимая во внимание (13), следует:

volkov32.wmf (18)

Зависимость формы свободной поверхности (18) от угловой скорости ω в безразмерных координатах показана на рис. 3. При x → –a зависимость h(x) имеет параболический вид. Как видно из (18), volkov33.wmf где volkov34.wmf – число Фруда для данной задачи.

pic_6.tif

Рис. 3. Изменение формы зоны смешивания в зависимости от окружной скорости

Подстановка в уравнение непрерывности (8) выражения для volkov35.wmf (14) приводит к дифференциальному уравнению для компоненты скорости volkov36.wmf

volkov37.wmf (19)

интегрирование которого дает:

volkov38.wmf (20)

где C(x) – произвольная функция, которая определяется из граничного условия (4). Окончательное выражение для проекции скорости частицы в слое обрушения volkov39.wmf имеет вид:

volkov40.wmf (21)

Для расчета поля скоростей в области активного смешивания по формулам (14), (18), (21) необходимо определить полудлину линии обрушения a. Ее можно найти из условия сохранения объема смеси, приходящегося на единицу длины барабана:

volkov41.wmf (22)

где VT(a) – объем области транспортирования; Vобр(a) – объем области активного смешивания. Величина VT(a) равна площади кругового сегмента

volkov42.wmf (23)

а Vобр(a) определяется интегралом:

volkov43.wmf (24)

При коэффициенте загрузки q объем смеси volkov44.wmf. Тогда уравнение (22) с учетом (23) и (24) принимает вид:

volkov45.wmf (25)

Уравнение (25) позволяет определить параметр а с помощью стандартных численных методов.

pic_7.tif

Рис. 4. Сравнение расчета и эксперимента

При экспериментальных исследованиях движения сыпучего материала осуществлялась фотосъемка смеси семян чечевицы и проса (средние диаметры частиц которых составляли 3,5 и 2,5 мм соответственно) в барабанном смесителе радиусом R = 115 мм. По фотографиям определялось положение свободной поверхности циркулирующих сыпучих компонентов, а также граница областей их характерного поведения. На рис. 4 показана фотография поперечного сечения барабанного смесителя, вращающегося с угловой скоростью ω = 4 рад/с. На нее нанесены экспериментальная (1) и расчетная (2) линии свободной поверхности, а также линии раздела областей характерного поведения (пунктиром). Сопоставление линий 1 и 2 свидетельствует об их удовлетворительном совпадении в верхней части зоны активного смешивания. Наблюдаемые расхождения объясняются тем, что в предлагаемой модели не учитываются характерные для сыпучих сред эффекты локальной неравновесности, приводящие к наличию в этих средах конечных касательных напряжений при отсутствии сдвига слоев, которые и обуславливают сложную форму линии обрушения. Вместе с тем, как показывают результаты натурных и численных экспериментов, описание процесса смешивания сыпучих материалов на основе данной простой модели движения оказывается более адекватным, чем описание этого процесса без учета структуры поля скоростей в области активного смешивания [1, 4, 6].

Таким образом, в работе проведено исследование движения сыпучего материала в смесителе гравитационно-пересыпного действия, определена форма его свободной поверхности и найдено поле скоростей частиц. Полученные результаты могут быть использованы для построения математических моделей процессов смешивания, необходимых для разработки надежных методов инженерного расчета смесителей гравитационно-пересыпного действия.

Рецензенты:

Бачурин В.И., д.ф.-м.н., профессор, Ярославский филиал Московского института инженеров транспорта (университет), г. Ярославль;

Мурашов А.А., д.т.н., профессор, Ярославский филиал Московской финансово-юридической академии, г. Ярославль.

Работа поступила в редакцию 21.03.2014.