Наиболее распространенной моделью, позволяющей оценить возможность банкротства предприятия, является модель Альтмана ( – модель) которая применительно к экономике США имеет вид [5]:
(1)
где k1 = собственный оборотный капитал/сумма активов; k2 = нераспределенная прибыль/сумма активов; k3 = прибыль до уплаты процентов/сумма активов; k4 = рыночная стоимость собственного капитала/заемный капитал; k5 = объем продаж/сумма активов:
• при 0 ≤ z ≤ 1,8 вероятность банкротства предприятия p ∈ [0,8; 1],
• при 1,81 ≤ z ≤ 2,77 p ∈ [0,35; 0,5],
• при 2,8 ≤ z ≤ 2,99 p ∈ [0,15; 0,2],
• при z ≥ 3 вероятность банкротства предприятия p незначительна (достаточно мала) и p → 0 при z → ∞.
В модели (1) параметры k1, ..., k5 не могут быть измерены точно. Поэтому в оценке значений z неизбежно появляются оценки возможности банкротства: «очень высокая», «средняя», «возможна», «маленькая». Следовательно, модель (1) порождает нечеткие множества, которым принадлежат значения величины z, а значения функций принадлежности этих множеств совпадают с вероятностями банкротства предприятия.
Цель данной работы – используя аппарат теории нечетких множеств и модель Альтмана (1) разработать методику оценки возможности банкротства предприятия.
В настоящее время нечеткие множества активно используются на практике при анализе рисков банкротства предприятий [3]. Новизна данной работы – впервые методика оценки меры нечеткости множеств использована при анализе показателей, влияющих (согласно модели Альтмана) на платежеспособность рассматриваемых предприятий.
Лингвистическая переменная
Лингвистическая переменная Ω определяется набором [1, 3]:
(2)
где ω – название переменной; T(ω) – терм-множество, т.е. множество имен значений ω. При этом каждому имени соответствует нечеткое подмножество X, определенное на универсальном множестве U, на котором задана переменная u, G – синтаксическое правило, порождающее T, M – семантическое правило, ставящее в соответствие каждому элементу T(ω) нечеткое подмножество X ∈ U.
При оценке кредитоспособности предприятия с помощью z-модели определим лингвистическую переменную Ω как «возможность банкротства предприятия». Синтаксическое правило G, налагаемое на переменную Ω, определим набором {высокая, средняя, небольшая, маленькая}. Тогда полное терм-множество значений T имеет вид:
Функция принадлежности
Функция принадлежности μA(u) – это функция, областью определения которой является носитель U, u ∈ U, а областью значений – единичный интервал [0; 1] [2, 3, 4]. Чем больше значение μA(u), тем выше оценивается степень принадлежности элемента носителя U нечеткому множеству A. В нашем случае в качестве носителя выберем U = {X, p, p ∈ R, 0 ≤ p ≤ 1}, где p – вероятность банкротства предприятия, соответствующая значению z, найденного с помощью уравнения (1). На этом носителе определим функции принадлежности: для значения p1 – , p2 – , p3 – , p4 – , причем первая из них отвечает нечеткому подмножеству X1, вторая – X2, третья – X3 а четвертая – X4, где X1– «возможность банкротства высокая»; X2– «возможность банкротства средняя»; X3 – «возможность банкротства небольшая»; X4– «возможность банкротства маленькая».
Будем предполагать, что функции принадлежности подмножеств X1, X2, X3, X4 имеют вид (см. также рисунок, на котором представлены функции принадлежности 
, 
, 
, 
нечетких подмножеств «возможность банкротства предприятия», соответствующих X1, X2, X3, X4):
(3)
(4)
(5)
(6)
Тогда
(7)
(8)
(9)
(10)
Графики функции принадлежности нечетких подмножеств X1, X2, X3, X4
Меры нечеткости множеств
Для определения степени нечёткости множества используется мера его нечёткости, сводящаяся к измерению уровня различия между нечетким множеством A и четким множеством A0, соответствующим A [3, 4].
Мера нечеткости множества A определяется как расстояние d(A) от этого множества до ближайшего к нему обычного четко заданного множества A0:
(11)
Обычным множеством, ближайшим к нечеткому A с функцией принадлежности μA(u) (μi ∈ U), называют подмножество A0 ∈ U, характеристическая функция которого имеет вид:
(12)
Основные обычные подмножества 
,
, 
, 
, соответственно ближайшие к X1, X2, X3 и X4, имеют вид:
§ 
§ 
§ 
§ 
Найдем меры нечеткости определенных выше подмножеств X1, X2, X3, X4.
Вычислим меры нечеткости по линейной метрике:
и по метрике Евклида:
Из этих вычислений следует, что подмножество X3 является более нечетко заданным по сравнению с подмножествами X1, X2 и X4, так как меры нечеткости X3 при любой метрике больше соответствующих мер нечеткости подмножеств X1, X2 и X4.
Совершенно аналогично: X2 – более нечетко задано по сравнению с X1, X4; X4 – более нечетко задано по сравнению с X1. Пусть X > Y означает, что X более нечетко задано, чем Y. Тогда X1, X2, X3, X4 можно ранжировать следующим образом:
X3 > X2 > X4 > X1.
Следовательно, из всей совокупности {X1, X2, X3, X4} наиболее нечетко заданным является X3 – «возможность банкротства небольшая», а наименее нечетко заданным является X1 – «возможность банкротства высокая».
Рецензенты:
Попова Е.В., д.э.н, к.ф.-м.н, профессор, заведующий кафедрой информационных систем, ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный аграрный университет», г. Краснодар;
Уртенов М.А.Х., д.ф.-м.н, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики, ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный университет», г. Краснодар.
Работа поступила в редакцию 11.01.2013.