Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,749

МЕРЫ НЕЧЕТКОСТИ МНОЖЕСТВ, ПОРОЖДАЕМЫХ МОДЕЛЬЮ АЛЬТМАНА

Бамадио Б. 1 Семенчин Е.А. 1
1 ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный университет»
Предложена методика построения оценки кредитоспособности предприятия, основанная на результатах анализа известной модели Альтмана и использующая понятия и результаты теории нечетких множеств. В этой методике при анализе показателей, влияющих на платежеспособности рассматриваемых предприятий, впервые используется способ оценки меры нечеткости рассматриваемых подмножеств. Предполагается, что нечеткие множества порождены самой моделью. Меры принадлежности элементов нечетким множествам порождаются апостериорными вероятностями банкротства предприятия. Мера нечеткости определяется как расстояние от данного множества до ближайшего к нему обычного четко заданного множества. Методика позволяет провести ранжирование рассматриваемых нечетких подмножеств, что вносит определенную ясность при анализе возможности банкротства предприятия. На основе методики, предложенной в данной работе, могут быть построены другие методики оценки кредитоспособности предприятия, использующие результаты теории нечетких множеств и основанные на хорошо зарекомендовавших себя в прикладных исследования методиках: методике оценки кредитоспособности Сбербанка России, методике кредитного скоринга, американской методике, методике Бивера и других.
нечеткие множества
оценка кредитоспособности предприятия
банкротство предприятия
лингвистическая переменяя
платежеспособность предприятия
1. Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. – М.: Мир, 1976. – 167 с.
2. Козлов В.Н. Математика и информатика. – СПб.: Питер, 2004. – 266 с.
3. Конышева Л.К., Назаров Д.М. Основы теории нечетких множеств / Л.К. Конышева, Д.М. Назаров. – СПб.: Питер, 2011– 192 с.
4. Уоссерман Ф. Нейрокомпьютерная техника: теория и практика. – М.: Мир, 1992. – 184 с.
5. Altmanm E.I. Financial Ratios, Discriminant Analysis and the Prediction of Corporate Bankruptcy // The Journal of Finance. – September 1968. – Р. 589 – 609.

Наиболее распространенной моделью, позволяющей оценить возможность банкротства предприятия, является модель Альтмана ( – модель) которая применительно к экономике США имеет вид [5]:

Eqn123.wmf (1)

где k1 = собственный оборотный капитал/сумма активов; k2 = нераспределенная прибыль/сумма активов; k3 = прибыль до уплаты процентов/сумма активов; k4 = рыночная стоимость собственного капитала/заемный капитал; k5 = объем продаж/сумма активов:

• при 0 ≤ z ≤ 1,8 вероятность банкротства предприятия p ∈ [0,8; 1],

• при 1,81 ≤ z ≤ 2,77 p ∈ [0,35; 0,5],

• при 2,8 ≤ z ≤ 2,99 p ∈ [0,15; 0,2],

• при z ≥ 3 вероятность банкротства предприятия p незначительна (достаточно мала) и p → 0 при z → ∞.

В модели (1) параметры k1, ..., k5 не могут быть измерены точно. Поэтому в оценке значений z неизбежно появляются оценки возможности банкротства: «очень высокая», «средняя», «возможна», «маленькая». Следовательно, модель (1) порождает нечеткие множества, которым принадлежат значения величины z, а значения функций принадлежности этих множеств совпадают с вероятностями банкротства предприятия.

Цель данной работы – используя аппарат теории нечетких множеств и модель Альтмана (1) разработать методику оценки возможности банкротства предприятия.

В настоящее время нечеткие множества активно используются на практике при анализе рисков банкротства предприятий [3]. Новизна данной работы – впервые методика оценки меры нечеткости множеств использована при анализе показателей, влияющих (согласно модели Альтмана) на платежеспособность рассматриваемых предприятий.

Лингвистическая переменная

Лингвистическая переменная Ω определяется набором [1, 3]:

Eqn124.wmf (2)

где ω – название переменной; T(ω) – терм-множество, т.е. множество имен значений ω. При этом каждому имени соответствует нечеткое подмножество X, определенное на универсальном множестве U, на котором задана переменная u, G – синтаксическое правило, порождающее T, M – семантическое правило, ставящее в соответствие каждому элементу T(ω) нечеткое подмножество X ∈ U.

При оценке кредитоспособности предприятия с помощью z-модели определим лингвистическую переменную Ω как «возможность банкротства предприятия». Синтаксическое правило G, налагаемое на переменную Ω, определим набором {высокая, средняя, небольшая, маленькая}. Тогда полное терм-множество значений T имеет вид:

Eqn125.wmf

Функция принадлежности

Функция принадлежности μA(u) – это функция, областью определения которой является носитель U, u ∈ U, а областью значений – единичный интервал [0; 1] [2, 3, 4]. Чем больше значение μA(u), тем выше оценивается степень принадлежности элемента носителя U нечеткому множеству A. В нашем случае в качестве носителя выберем U = {X, p, p ∈ R, 0 ≤ p ≤ 1}, где p – вероятность банкротства предприятия, соответствующая значению z, найденного с помощью уравнения (1). На этом носителе определим функции принадлежности: для значения p1 – , p2 – , p3 – , p4 – , причем первая из них отвечает нечеткому подмножеству X1, вторая – X2, третья – X3 а четвертая – X4, где X1– «возможность банкротства высокая»; X2– «возможность банкротства средняя»; X3 – «возможность банкротства небольшая»; X4– «возможность банкротства маленькая».

Будем предполагать, что функции принадлежности подмножеств X1, X2, X3, X4 имеют вид (см. также рисунок, на котором представлены функции принадлежности Eqn126.wmf, Eqn127.wmf, Eqn128.wmf, Eqn129.wmf нечетких подмножеств «возможность банкротства предприятия», соответствующих X1, X2, X3, X4):

Eqn130.wmf (3)

Eqn131.wmf (4)

Eqn132.wmf (5)

Eqn133.wmf (6)

Тогда

Eqn134.wmf (7)

Eqn135.wmf (8)

Eqn136.wmf (9)

Eqn137.wmf (10)

pic_82.tif

Графики функции принадлежности нечетких подмножеств X1, X2, X3, X4

Меры нечеткости множеств

Для определения степени нечёткости множества используется мера его нечёткости, сводящаяся к измерению уровня различия между нечетким множеством A и четким множеством A0, соответствующим A [3, 4].

Мера нечеткости множества A определяется как расстояние d(A) от этого множества до ближайшего к нему обычного четко заданного множества A0:

Eqn138.wmf (11)

Обычным множеством, ближайшим к нечеткому A с функцией принадлежности μA(u) (μi ∈ U), называют подмножество A0 ∈ U, характеристическая функция которого имеет вид:

Eqn139.wmf (12)

Основные обычные подмножества Eqn140.wmf,Eqn141.wmf, Eqn142.wmf, Eqn143.wmf, соответственно ближайшие к X1, X2, X3 и X4, имеют вид:

§ Eqn144.wmf

§ Eqn145.wmf

§ Eqn146.wmf

§ Eqn147.wmf

Найдем меры нечеткости определенных выше подмножеств X1, X2, X3, X4.

Вычислим меры нечеткости по линейной метрике:

Eqn148.wmf

Eqn149.wmf

Eqn150.wmf

Eqn151.wmf

и по метрике Евклида:

Eqn152.wmf

Eqn153.wmf

Eqn154.wmf

Eqn155.wmf

Из этих вычислений следует, что подмножество X3 является более нечетко заданным по сравнению с подмножествами X1, X2 и X4, так как меры нечеткости X3 при любой метрике больше соответствующих мер нечеткости подмножеств X1, X2 и X4.

Совершенно аналогично: X2 – более нечетко задано по сравнению с X1, X4; X4 – более нечетко задано по сравнению с X1. Пусть X > Y означает, что X более нечетко задано, чем Y. Тогда X1, X2, X3, X4 можно ранжировать следующим образом:

X3 > X2 > X4 > X1.

Следовательно, из всей совокупности {X1, X2, X3, X4} наиболее нечетко заданным является X3 – «возможность банкротства небольшая», а наименее нечетко заданным является X1 – «возможность банкротства высокая».

Рецензенты:

Попова Е.В., д.э.н, к.ф.-м.н, профессор, заведующий кафедрой информационных систем, ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный аграрный университет», г. Краснодар;

Уртенов М.А.Х., д.ф.-м.н, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики, ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный университет», г. Краснодар.

Работа поступила в редакцию 11.01.2013.


Библиографическая ссылка

Бамадио Б., Семенчин Е.А. МЕРЫ НЕЧЕТКОСТИ МНОЖЕСТВ, ПОРОЖДАЕМЫХ МОДЕЛЬЮ АЛЬТМАНА // Фундаментальные исследования. – 2013. – № 1-3. – С. 750-753;
URL: https://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=31022 (дата обращения: 21.09.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074