Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,749

ALGORITHM FOR THE EXTENSION OF A STRIP WITH A CONTINUOUS FIELD SPEED OF THE USING DEFORMATION AND ENERGY CONDITIONS OFPLASTICITY

Grigoreva A.L. 1 Grigorev Y.Y. 1
1 Komsmolsky-on-Amur State Technical University
1441 KB
This article describes a method for calculating the deformation fields and the definition of effort at stretching band, which has the initial dimensions: length – l0, width – a0, thickness – f0 for the condition of plasticity associated with the level curves of the surface deformations. We also give a comparative analysis of solutions in plane stress for a variety of available criteria of plasticity: Mises yield condition, the condition of plasticity associated with the level curves of the surface deformation and the plasticity condition of Tresca. The article describes an algorithm for determining the velocity field of the strain tensor for the new conditions of plasticity.Determine the forces required to stretch the band and determined the change in thickness of the plate over time. The calculations were graphically shows the efforts at various flow conditions of the strain tensor and the coefficients describing the change in the geometry of the plates, depending on the conditions of plasticity. These factors will determine experimentally the choice of the optimal flow conditions for a specific material of construction.
strain-energy criterion
the strain rate tensor
the stress
the surfacedeformations
the level lines
1. Grigorev Y.Y., Patlina O.V., Shatskiy A.N. On the calculation of the limit of plastic deformation in the zone corner cutout Herald SamSTU. A series of «Physics and mathematics». The periodical, magazine, Samara: Samara State Technical University, 2007, Vol. 14, no. 1, pp. 161–164.
2. Grigoreva A.L. The surface of loading connected to lines of level of a surface of deformation statuses of incompressible of a zhestkoplastichesky body. The messenger of ChGPU of Yakovlev a series: mechanics limit status, Periodical, log, Cheboksary, 2007, no. 1, pp. 33–36.
3. Khromov А.I., Bukhanko А.А., Grigoreva A.L. Deformation and energetic criterion of corrupting of zhestkoplastichesky bodies. Mechanics of a solid body. News of the Russian Academy of Sciences, 2009, no. 6, pp. 178–186.
4. Khromov А.I., Grigoreva A.L., Kocherov Е.P. Deformation and energetic criterion of stretching of zhestkoplastichesky bodies. Reports of the Russian Academy of Sciences, 2007, Vol. 413, no. 4, pp. 1–5.
5. Khromov А.I., Grigoreva A.L., Kocherov Е.Р. The surface of loading connected to lines of level of a surface of deformations of an incompressible zhestkoplastichesky body. Messenger of the Samara state technical university. Series: physical and mathematical sciences., Vol. 43, Samara, 2006, pp. 88–92.

В данной статье описан метод расчета полей деформаций и определения усилий при растяжении полосы, имеющей начальные размеры: длина – l0, ширина – a0, толщина – f0 для условия пластичности, связанного с линиями уровня поверхности деформаций [5]. Также дана сравнительная характеристика решений при плоском напряженном состоянии для различных имеющихся критериев пластичности на рис. 1: условие пластичности Мизеса (III), новое условие пластичности (IV), условие пластичности Треска (I, II).

Рассмотрим растяжение полосы с непрерывным полем скоростей перемещений. Также предположим, что захваты, обеспечивающие перемещение верхнего и нижнего концов образца, не препятствуют движению материала вдоль их оси.

Граничные условия: при y = 1, σyy = 2k; при y = –1, σyy = 2k, σxx = σxy = 0.

Данные граничные условия приводят к предположению, что весь образец находится в пластическом состоянии с однородным полем напряжений и прямолинейным полем линий скольжения, наклоненных к оси х под углом.

Поле скоростей при плоской деформации с учетом условия текучести, связанное с линиями уровня поверхности деформаций, которая имеет вид [2].

Eqn57.wmf

определяется системой уравнений:

Eqn58.wmf. (1)

Преобразуя (1) по законам

Eqn59.wmf и Eqn60.wmf,

получаем волновые уравнения:

Eqn61.wmf (2)

pic_52.wmf

Рис. 1. Полоса: длина – l0, ширина – a0, толщина – f0. Условие пластичности Мизеса (III), новое условие пластичности (IV), условие пластичности Треска (I, II). V – скорость растяжения полосы

Общее решение системы (2) имеет вид:

Eqn62.wmf (3)

где θ1, θ2, ψ1, ψ2 − произвольные дважды дифференцируемые функции.

Будем рассматривать симметричное пластическое течение с двумя осями симметрии x и y. Граничные условия для скоростей перемещений:

при x = 0 Vx = 0, при y = 0 Vy = 0,

при x = a Vx = const, при y = 1 Vy = V. (4)

Подставляя (4) в (3), имеем:

Eqn63.wmf

Откуда следует, что

Eqn64.wmf (5)

При дифференцировании уравнений (3) возможно приобретение новых решений. Подставим (5) в (2):

Eqn65.wmf (6)

Учитывая (6),

Eqn66.wmf, (7)

откуда следует, что ψ′ = θ′.

Пусть ψ′ = θ′ = A′, где А – некоторая дифференцируемая функция. Тогда А = θ = ψ + C, C – const. Из граничных условий (4) получим:

Eqn67.wmf (8)

Из первого равенства (8) следует, что функция A(t) нечетная, из второго – С = 0.

Общее решение системы уравнений (2) при данных граничных условиях определяется в виде

Eqn68.wmf (9)

где A(t) – нечетная дифференцируемая функция, удовлетворяющая граничным условиям.

Объемная плотность мощности энергии диссипации Eqn69.wmf, учитывая граничные условия, запишется в виде

Eqn70.wmf

Определим вид функции A = c∙t. Тогда общий вид решения будет иметь вид:

Eqn71.wmf (10)

при граничных условиях y = l, Vy = V из второго уравнения системы (9) следует, что

Eqn72.wmf Eqn73.wmf

получаем:

Eqn74.wmf (11)

Найдем:

Eqn75.wmf

Главные значения тензора скоростей деформаций вычисляются по формулам:

Eqn76.wmf

Компоненты тензоров Eij и εij связаны уравнениями

Eqn77.wmf (12)

В развернутом виде для случая плоского напряженного состояния [3] систему (12) можно записать в виде

Eqn78.wmf (13)

Сделаем замену переменных

Eqn79.wmf (14)

где ω(x, y), ω1(x, y) – неизвестные функции, характеризующие положение точки; γ, γ1 – углы между первым главным направление и осью х. В нашем случае при одноосном растяжении в плоском напряженном состоянии нормаль к свободному контуру совпадает с одним из главных направлений и γ = γ1 = 0.

Подставим (14) в (13), получим

Eqn80.wmf

Получаем общее решение системы:

Eqn81.wmf

Так как l = l0 + Vt, то

Eqn82.wmf (15)

Eqn83.wmf

Eqn84.wmf (16)

Так как при ω = 0, t = 0, то

Eqn85.wmf

то уравнение (16) будет иметь решение

Eqn86.wmf (17)

Получаем значения

Eqn87.wmf

Eqn88.wmf

Eqn89.wmf

Используя записи, приведенные выше, найдем главные значения Eij:

Eqn90.wmf (18)

Найдем связь между относительным удлинением образца и главными инвариантами Eij

Eqn91.wmf (19)

Определим изменение ширины полосы а с течением времени:

Eqn92.wmf

Дифференцируя по t, получим:

Eqn93.wmf

Eqn94.wmf

так как Eqn95.wmf, то Eqn96.wmf

Eqn97.wmf (20)

Определим усилие, необходимое для растяжения полосы:

Eqn98.wmf

Eqn99.wmf (21)

Определим изменение толщины пластины с течением времени:

Eqn100.wmf

Выше была рассмотрена задача по растяжению полосы при новом условии пластичности, связанном с линиями уровня поверхности деформаций и получено решение.

При условии текучести Мизеса решение подобной задачи имеет вид:

Eqn101.wmf

При новом условии текучести, связанном с линиями уровня тензора деформаций было получено решение (21). При решении этой задачи был найден угол между линией характеристик и осью х. Угол ψ = 50°57′[5]. В отличии от условия текучести Мизеса ψ = 54°44′

На рис. 2 представлены зависимости усилий при различных условиях текучести от деформаций Eqn102.wmf. Коэффициенты, описывающие изменение геометрии пластин, задаются формулами:

Eqn103.wmf – для условия пластичности Мизеса,

Eqn104.wmf – для нового условия пластичности.

pic_53.wmf

Рис. 2. Зависимости усилий от деформаций Eqn102.wmf (IV – условие пластичности Мизеса, III – новое условие пластичности, I, II – условие пластичности Треска)

При условии пластичности Треска изменяется лишь один линейный размер: либо а, либо f. Данные коэффициенты позволяют экспериментально определить выбор условия текучести для конкретного конструкционного материала. Аналогичным образом была рассмотрена задача о растяжении полосы с вырезом [1].

Рецензенты:

Амосов О.С., д.т.н., профессор, проректор по информатизации и инновациям Амурского гуманитарно-педагогического государственного университета, заведующий кафедрой информатики, г. Комсомольск-на-Амуре;

Одиноков В.И., д.т.н., профессор, директор, Институт машиноведения и металлургии Дальневосточного отделения Российской Академии наук, Хабаровский край, г. Комсомольск-на-Амуре;

Ильмушкин Г.М., д.п.н., заведующий кафедрой высшей математики, Димитровградский инженерно-технологический институт, филиал Национального исследовательского ядерного университета МИФИ.

Работа поступила в редакцию 18.06.2012.