Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,749

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О РАСТЯЖЕНИИ ПОЛОСЫ С НЕПРЕРЫВНЫМ ПОЛЕМ СКОРОСТЕЙ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ДЕФОРМАЦИОННО-ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО УСЛОВИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ

Григорьева А.Л. 1 Григорьев Я.Ю. 1
1 ФГБОУ ВПО «Комсмольский-на-Амуре государственный технический университет»
В данной статье описан метод расчета полей деформаций и определения усилий при растяжении полосы, имеющей начальные размеры: длина – l0, ширина – a0, толщина – f0 для условия пластичности, связанного с линиями уровня поверхности деформаций. Также дана сравнительная характеристика решений при плоском напряженном состоянии для различных имеющихся критериев пластичности: условие пластичности Мизеса, условие пластичности, связанное с линиями уровня поверхности деформаций и условие пластичности Треска. В статье изложен алгоритм определения поля скоростей тензора деформаций для нового условия пластичности. Определено усилие необходимое для растяжения полосы и определено изменение толщины пластины с течением времени. В результате вычислений графически были представлены зависимости усилий при различных условиях текучести от тензора деформаций и определены коэффициенты, описывающие изменение геометрии пластин в зависимости от используемого условия пластичности. Данные коэффициенты позволят экспериментально определить выбор наиболее оптимального условия текучести для конкретного конструкционного материала.
деформационно-энергетический критерий
тензор скоростей деформаций
напряжение
поверхность деформаций
линии уровня
1. Григорьев Я.Ю., Патлина О.В., Шацкий А.Н. О расчете предельных пластических деформаций в зоне углового выреза // Вестник СамГТУ. Серия «Физико-математические науки». – Периодическое издание, журнал. – Самара: СамГТУ, 2007. – № 1(14). – С. 161–164.
2. Григорьева А.Л. Поверхность нагружения, связанная с линиями уровня поверхности деформационных состояний несжимаемых жесткопластического тела // Вестник ЧГПУ им. Яковлева серия: механика предельного состояние. – Периодическое издание, журнал. – Чебоксары: ЧПГУ. – 2007. – № 1. – С. 33–36.
3. Хромов А.И., Буханько А.А., Григорьева А.Л. Деформационно-энергетический критерий разрушения жесткопластических тел // Механика твердого тела. Известия российской академии наук. – 2009. – № 6. – С. 178–186.
4. Хромов А.И., Григорьева А.Л., Кочеров Е.П. Деформационно-энергетический критерий растяжения жесткопластических тел // Доклады Российской академии наук. – 2007. – Т. 413. – № 4. – С. 1–5.
5. Хромов А.И., Григорьева А.Л., Кочеров Е.П. Поверхность нагружения, связанная с линиями уровня поверхности деформаций несжимаемого жесткопластического тела // Вестник СамГТУ. Сер: физ.-мат.науки. – Вып. 43. – Самара: СамГТУ, 2006. – С. 88–92.

В данной статье описан метод расчета полей деформаций и определения усилий при растяжении полосы, имеющей начальные размеры: длина – l0, ширина – a0, толщина – f0 для условия пластичности, связанного с линиями уровня поверхности деформаций [5]. Также дана сравнительная характеристика решений при плоском напряженном состоянии для различных имеющихся критериев пластичности на рис. 1: условие пластичности Мизеса (III), новое условие пластичности (IV), условие пластичности Треска (I, II).

Рассмотрим растяжение полосы с непрерывным полем скоростей перемещений. Также предположим, что захваты, обеспечивающие перемещение верхнего и нижнего концов образца, не препятствуют движению материала вдоль их оси.

Граничные условия: при y = 1, σyy = 2k; при y = –1, σyy = 2k, σxx = σxy = 0.

Данные граничные условия приводят к предположению, что весь образец находится в пластическом состоянии с однородным полем напряжений и прямолинейным полем линий скольжения, наклоненных к оси х под углом.

Поле скоростей при плоской деформации с учетом условия текучести, связанное с линиями уровня поверхности деформаций, которая имеет вид [2].

Eqn57.wmf

определяется системой уравнений:

Eqn58.wmf. (1)

Преобразуя (1) по законам

Eqn59.wmf и Eqn60.wmf,

получаем волновые уравнения:

Eqn61.wmf (2)

pic_52.wmf

Рис. 1. Полоса: длина – l0, ширина – a0, толщина – f0. Условие пластичности Мизеса (III), новое условие пластичности (IV), условие пластичности Треска (I, II). V – скорость растяжения полосы

Общее решение системы (2) имеет вид:

Eqn62.wmf (3)

где θ1, θ2, ψ1, ψ2 − произвольные дважды дифференцируемые функции.

Будем рассматривать симметричное пластическое течение с двумя осями симметрии x и y. Граничные условия для скоростей перемещений:

при x = 0 Vx = 0, при y = 0 Vy = 0,

при x = a Vx = const, при y = 1 Vy = V. (4)

Подставляя (4) в (3), имеем:

Eqn63.wmf

Откуда следует, что

Eqn64.wmf (5)

При дифференцировании уравнений (3) возможно приобретение новых решений. Подставим (5) в (2):

Eqn65.wmf (6)

Учитывая (6),

Eqn66.wmf, (7)

откуда следует, что ψ′ = θ′.

Пусть ψ′ = θ′ = A′, где А – некоторая дифференцируемая функция. Тогда А = θ = ψ + C, C – const. Из граничных условий (4) получим:

Eqn67.wmf (8)

Из первого равенства (8) следует, что функция A(t) нечетная, из второго – С = 0.

Общее решение системы уравнений (2) при данных граничных условиях определяется в виде

Eqn68.wmf (9)

где A(t) – нечетная дифференцируемая функция, удовлетворяющая граничным условиям.

Объемная плотность мощности энергии диссипации Eqn69.wmf, учитывая граничные условия, запишется в виде

Eqn70.wmf

Определим вид функции A = c∙t. Тогда общий вид решения будет иметь вид:

Eqn71.wmf (10)

при граничных условиях y = l, Vy = V из второго уравнения системы (9) следует, что

Eqn72.wmf Eqn73.wmf

получаем:

Eqn74.wmf (11)

Найдем:

Eqn75.wmf

Главные значения тензора скоростей деформаций вычисляются по формулам:

Eqn76.wmf

Компоненты тензоров Eij и εij связаны уравнениями

Eqn77.wmf (12)

В развернутом виде для случая плоского напряженного состояния [3] систему (12) можно записать в виде

Eqn78.wmf (13)

Сделаем замену переменных

Eqn79.wmf (14)

где ω(x, y), ω1(x, y) – неизвестные функции, характеризующие положение точки; γ, γ1 – углы между первым главным направление и осью х. В нашем случае при одноосном растяжении в плоском напряженном состоянии нормаль к свободному контуру совпадает с одним из главных направлений и γ = γ1 = 0.

Подставим (14) в (13), получим

Eqn80.wmf

Получаем общее решение системы:

Eqn81.wmf

Так как l = l0 + Vt, то

Eqn82.wmf (15)

Eqn83.wmf

Eqn84.wmf (16)

Так как при ω = 0, t = 0, то

Eqn85.wmf

то уравнение (16) будет иметь решение

Eqn86.wmf (17)

Получаем значения

Eqn87.wmf

Eqn88.wmf

Eqn89.wmf

Используя записи, приведенные выше, найдем главные значения Eij:

Eqn90.wmf (18)

Найдем связь между относительным удлинением образца и главными инвариантами Eij

Eqn91.wmf (19)

Определим изменение ширины полосы а с течением времени:

Eqn92.wmf

Дифференцируя по t, получим:

Eqn93.wmf

Eqn94.wmf

так как Eqn95.wmf, то Eqn96.wmf

Eqn97.wmf (20)

Определим усилие, необходимое для растяжения полосы:

Eqn98.wmf

Eqn99.wmf (21)

Определим изменение толщины пластины с течением времени:

Eqn100.wmf

Выше была рассмотрена задача по растяжению полосы при новом условии пластичности, связанном с линиями уровня поверхности деформаций и получено решение.

При условии текучести Мизеса решение подобной задачи имеет вид:

Eqn101.wmf

При новом условии текучести, связанном с линиями уровня тензора деформаций было получено решение (21). При решении этой задачи был найден угол между линией характеристик и осью х. Угол ψ = 50°57′[5]. В отличии от условия текучести Мизеса ψ = 54°44′

На рис. 2 представлены зависимости усилий при различных условиях текучести от деформаций Eqn102.wmf. Коэффициенты, описывающие изменение геометрии пластин, задаются формулами:

Eqn103.wmf – для условия пластичности Мизеса,

Eqn104.wmf – для нового условия пластичности.

pic_53.wmf

Рис. 2. Зависимости усилий от деформаций Eqn102.wmf (IV – условие пластичности Мизеса, III – новое условие пластичности, I, II – условие пластичности Треска)

При условии пластичности Треска изменяется лишь один линейный размер: либо а, либо f. Данные коэффициенты позволяют экспериментально определить выбор условия текучести для конкретного конструкционного материала. Аналогичным образом была рассмотрена задача о растяжении полосы с вырезом [1].

Рецензенты:

Амосов О.С., д.т.н., профессор, проректор по информатизации и инновациям Амурского гуманитарно-педагогического государственного университета, заведующий кафедрой информатики, г. Комсомольск-на-Амуре;

Одиноков В.И., д.т.н., профессор, директор, Институт машиноведения и металлургии Дальневосточного отделения Российской Академии наук, Хабаровский край, г. Комсомольск-на-Амуре;

Ильмушкин Г.М., д.п.н., заведующий кафедрой высшей математики, Димитровградский инженерно-технологический институт, филиал Национального исследовательского ядерного университета МИФИ.

Работа поступила в редакцию 18.06.2012.


Библиографическая ссылка

Григорьева А.Л., Григорьев Я.Ю. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О РАСТЯЖЕНИИ ПОЛОСЫ С НЕПРЕРЫВНЫМ ПОЛЕМ СКОРОСТЕЙ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ДЕФОРМАЦИОННО-ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО УСЛОВИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ // Фундаментальные исследования. – 2013. – № 1-3. – С. 694-700;
URL: https://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=31012 (дата обращения: 21.09.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074