Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,749

THE STRAIGHT ONE-DIMENSIONAL FINITE ELEMENT FOR CALCULATING OF COMPOSITE PIPELINES FOR WORKS BY HYDROMECHANIZATION FOR BETTERMENT OF FLOATING ROUTES

Loskutov Y.V. 1 Gizatullin R.G. 1
1 olga State University of Technology
In the article is presented the straight one-dimensional finite element for calculating of thin-walled pipes (or slurry pipelines) from polymer composite materials. It´s assumed that the wall of the pipeline is made by cross-spiral winding onto the mandrel two symmetrical systems of fibers. It´s obtained the calculated relations for the coefficients of the stiffness matrix and the vector of nodal forces of a finite element of a thin-walled pipe. The traditional methods of structural mechanics are used. It´s assumed that the «monolayer» works in the condition of a plane stress. The static loading includes the effect of temperature and internal pressure. The distribution of thermal and hydrodynamic effects are replaced by an equivalent system of concentrated nodal forces. It takes into account the layered structure of the material and the anisotropy of the thermoelastic properties. In the particular case of an isotropic body formulas are known form.
piping
straight one-dimensional finite element
floating route
strength
stiffness
polymer composite materials
FEM
1. Alfutov N.A., Zinov’ev P.A., Popov B.G. Raschet mnogoslojnyh plastin i obolochek iz kompozicionnyh materialov, Moscow: Izdatt. Mashinostroenie, 1984, рp. 263.
2. Birger I.A., Mavljutov R.R. Soprotivlenie materialov, Moscow: Akademizdattsentr «Nauka» RAN, 1986, рp. 560.
3. Bolotin V.V., Novichkov Ju.N. Mehanika mnogoslojnyh konstrukcij, Moscow: Izdatt. Mashinostroenie, 1980, рp. 376.
4. Vasil’ev V.V. Mehanika konstrukcij iz kompozicionnyh materialov, Moscow: Izdatt. Mashinostroenie, 1988, рp. 272.
5. Knojel A., Robinson E. Raschet ferm, balok, ram i tonkostennyh jelementov// Kompozicionnye materialy, Vol. 7 «Analiz i proektirovanie konstrukcij», Pod red. K.Chamisa,1978, p. 300.
6. Kulikov Yu.A., Loskutov Yu.V. Cylindrical pressure vessels and pipelines made from multilayer composites. The problem of stability of dimension, Journal on Composite Mechanics and Design, 2000, Vol. 6, No. 2, рр. 181–191.
7. Kulikov Yu.A. Zhidkostnye truboprovody: Chislennoe issledovanie naprjazhenno-deformirovannogo sostojanija, inducirovannogo stacionarnym vnutrennim potokom (Sbornik «Raschety na prochnost»), Moscow: Bauman Moscow State Technical Univ., Vol. 33, pp. 119–131.
8. Loskutov Yu. V. Journal «Vestnik Mari State Technical Universit», 2012, no. 1, рр. 35–43.
9. Popov B.G. Raschet mnogoslojnyh konstrukcij variacionno-matrichnymi metodami, Moscow: Bauman Moscow State Technical Univ., 1993, рp. 294.
10. Jaltanec I.M. Spravochnik po gidromehanizacii: Teorija i praktika otkrytyh gornyh i stroitel’nyh rabot, Moscow: Moscow State Mining Univ., 2011, рp. 737.

Пульпопровод – сооружение для размещения и поддержания на плаву трубопровода, по которому производится гидротранспорт пульпы от грунтового насоса на берег (рис. 1). При создании пульпопроводов (трубопроводов) для земснарядов применяют различные материалы. Металлические трубопроводы (пульпопроводы) используются с начала становления гидромеханизации и по настоящее время [10]. Однако, в связи с большим весом, низкой износостойкостью и сложностью при монтаже, им на замену все чаще приходят современные пульпопроводы из полимерных композитных материалов (ПКМ) [8]. Слоисто-волокнистая структура материала, армирование высокопрочными и высокомодульными волокнами и тонкие стенки обеспечивают достаточно эффективное сочетание прочности, жесткости и трещиностойкости с относительно малым удельным весом. При этом следует учитывать, что распространенными элементами современных силовых конструкций (ферм, рам, балок, валов, арок, труб, трубопроводов и т.д.) являются тонкостенные пространственные стержни.

рис_112.wmf

Рис. 1

Разработке теории и методов расчета тонкостенных слоистых стержней посвящен ряд работ, например [4, 5, 9]. В [4] разрешающие уравнения строятся на базе общей теории многослойных анизотропных оболочек. В работе [9] для вывода расчетных соотношений применяются вариационно-матричные методы.

1. Стержневой конечный элемент. Рассмотрим конечно-элементную модель: расчетные соотношения (матрицу жесткости и вектор узловых сил) составим, используя традиционные подходы строительной механики стержневых систем.

На рис. 2 изображен прямолинейный конечный элемент (КЭ) как участок цилиндрической оболочки. Стенка оболочки образована путем перекрестной спиральной намотки на оправку двух симметричных систем волокон (нитей или прядей). Волокна составляют с образующей цилиндра углы ± q.

Число слоев принимаем 2k + 1. Внутренний слой (оправку) считаем однородным и изотропным, слои из ПКМ (монослои) – ортотропными и линейно упругими. Связи волокон и связующего, а также отдельных слоев друг с другом предполагаем идеальными.

рис_113.wmf

Рис. 2. Прямолинейная труба как многослойная цилиндрическая оболочка

Используем правые ортогональные системы осей координат. Координаты 1, 2, 3 (естественные координаты) связываем с осями упругой симметрии монослоя; координаты s, r, t – с его срединной поверхностью; координаты x, y, z – с осевой линией и поперечным сечением КЭ (см. рис. 2).

2. Соотношения упругости. Принимаем, что монослой «работает» в условиях плоского напряженного состояния. В этом случае зависимость между деформациями и напряжениями для однонаправленного слоя имеет вид:

Eqn79.wmf (1)

или в матричной форме:

{e12} = [S0]{s12} + {a12}DТ. (1′)

Здесь {e12}, {s12}, {a12} – соответственно векторы деформаций, напряжений и коэффициентов температурного расширения; [S0] – матрица податливости; DТ – изменение температуры; Е1, Е2, G12, n12, n21, a1,
a2 – технические постоянные термоупругости (эффективные термоупругие постоянные). При этом n12E2 = n21E1.

Эффективные упругие константы определяются формулами [3]:

E1 = yE′ + (1 – y)E″;

E2 = E′E″/[yE″ + (1 – y)E′];

G12 = G′G″/[yG″ + (1 – y)G′];

n12 = yn′ + (1 – y)n″;

n21 = n12E2/E1. (2)

Формулы для эффективных коэффициентов температурного расширения имеют вид:

a1 = ya′ + (1 – y)a″;

a2 = [ya′E′ + (1 – y)a″E″]/[yE′ + (1 – y)E″]. (3)

Здесь (*)′ и (*)″ – характеристики волокна и матрицы соответственно; y – коэффициент армирования.

Соотношения, обратные (1), имеют вид:

Eqn80.wmf (4)

или {s12} = [G0]{e12} – {b12}DТ,

где [G0] – матрица жесткости монослоя; {b12} – вектор температурных напряжений. Коэффициенты матрицы [G0] и вектора {b12} связаны с техническими постоянными термоупругости следующими соотношениями:

Eqn81.wmf Eqn82.wmf

Eqn83.wmf Eqn84.wmf Eqn85.wmf

b1 = (a1 + n21a2)Е1/(1 – n12n21),

b2 = (a2 + n12a1)Е2/(1 – n12n21).

Перепишем зависимости (1) и (4) из естественной системы координат 1, 2, 3 к цилиндрическим координатам s, r, t. Получим

{est} = [S]{sst} + {ast}DТ,

{sst} = [G]{est} – {bst}DТ. (5)

Преобразования поворота осей координат относительно нормали к поверхности имеют известный вид:

[S] = [L1][S0][L1]Т; [G] = [L2][G0][L2]Т; (6)

{ast} = [L1]{a12}; {bst} = [L2]{b12}.

Здесь [L1] и [L2] – матрицы преобразований поворота:

Eqn86.wmf Eqn87.wmf (7)

При этом m = cos q, n = sin q. Индекс «т» обозначает операцию транспонирования матрицы.

Заметим, согласно (6), в произвольной системе координат s, r, t угловые деформации gst однонаправленного слоя получаются связанными с нормальными напряжениями ss и st, а линейные деформации es и et – с касательными напряжениями tst. В частном случае перекрестной спиральной симметричной намотки для системы, составленной из двух монослоев с углами ± q, коэффициенты s16 = s26 = 0, g16 = g26 = 0, ast = 0, bst = 0. В результате указанные связи исчезают.

При напряженном состоянии с компонентами: ss, tst, st = 0 технические постоянные термоупругости ортотропного композита будут равны [1]:

Eqn88.wmf Eqn89.wmf

Eqn90.wmf; Eqn91.wmf

Eqn92.wmf Eqn93.wmf (8)

3. Матрица жесткости. Матрицу жесткости КЭ представим в виде:

Eqn94.wmf (9)

где n – порядковый номер КЭ; i и j – номера узлов; Eqn95.wmf, Eqn96.wmf, Eqn97.wmf, Eqn98.wmf – подматрицы жесткости КЭ размера (6×6).

Подматрицу жесткости Eqn95.wmf определяем через подматрицу податливости КЭ – Eqn99.wmf. Компоненты симметричной матрицы Eqn100.wmf находим при помощи интегралов Мора. Тогда, для консольного КЭ (считаем узел j защемлен) получим [2]:

Eqn101.wmf (10)

Оставшиеся коэффициенты матрицы Eqn100.wmf равняются нулю. В этом случае деформированное состояние КЭ определяется шестью независимыми обобщенными координатами, образующими вектор обобщенных перемещений узла (i),

{qi} = {ui vi wi jxi jyi jzi}Т.

В формулах (10) Ax, Ay, Az, Bx, By, Bz – это жесткости поперечного сечения стержня на растяжение-сжатие, сдвиг, кручение и изгиб соответственно. Причем,

Eqn102.wmf

Eqn103.wmf (11)

Eqn104.wmf

Eqn105.wmf

где безразмерные коэффициенты

Eqn106.wmf (12)

учитывают неравномерное распределение по поперечному сечению касательных напряжений изгиба (определяются согласно [2] в результате осреднения энергий деформации сдвига). Здесь Eqn107.wmf – упруго-статический момент части поперечного сечения A*; i – порядковый номер слоя;
ri, hi – средний радиус и толщина слоя; l – длина КЭ.

Подматрицы жесткости КЭ Eqn97.wmf и Eqn98.wmfнаходятся при помощи преобразований вида:

Eqn108.wmf

и

Eqn109.wmf (13)

где [Z(n)] – матрица линейных преобразований [6].

4. Вектор узловых сил. Распределенные температурные и гидродинамические воздействия заменяем эквивалентной системой сосредоточенных узловых сил. Для этого используем основную систему метода перемещений: узловые силы в системе координат x, y, z (рис. 2) находим как реакции узловых связей, взятые с обратным знаком,

Eqn110.wmf (14)

где Eqn111.wmf и Eqn112.wmf – шестикомпонентные векторы узловых сил; Eqn113.wmf – вектор упругих перемещений узла i:

Eqn114.wmf

Eqn114.wmf (15)

Для трубы с тонкими стенками:

Eqn115.wmf

Eqn115.wmf (16)

Здесь рm и vm – стационарные составляющие давления и скорости внутреннего потока; rж – плотность; tо – интенсивность сил трения жидкости о стенки трубы [7];
R – радиус отверстия трубы; g11, g12, g22 – элементы матрицы (6).

Вектор Eqn116.wmf определяет реакции в узле j от сил трения интенсивностью tо:

Eqn117.wmf

В частном случае изотропного тела формулы (16) получают известный вид:

Eqn118.wmf (17)

Заключение

Таким образом, получены расчетные соотношения для коэффициентов матрицы жесткости и вектора узловых сил КЭ тонкостенного трубопровода, изготовленного из волокнистого композита. Рассмотрено двухкомпонентное статическое нагружение, включающее действие температуры и внутреннего давления. Учитывается слоистая структура материала и анизотропия термоупругих свойств.

Результаты получены при выполнении исследований в рамках государственного задания Минобрнауки России на выполнения НИОКР, а также гранта РФФИ № 10-08-97017-р_поволжье_а.

Рецензенты:

Савельев В.В., д.т.н., доцент, профессор кафедры строительного производства Чебоксарского политехнического института (филиал) ФГБОУ ВПО «Московский государственный открытый университет
им. В.С. Черномырдина», г. Чебоксары;

Поздеев А.Г., д.т.н., профессор, заведующий кафедрой водных ресурсов ФГБОУ ВПО «Поволжский государственный технологический университет», г. Йошкар-Ола.

Работа поступила в редакцию 16.10.2012.