Научный журнал

Фундаментальные исследования

ISSN 1812-7339

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 1,674

• Авторы
• Резюме
• Файлы
• Ключевые слова
• Литература

Лоскутов Ю.В. 1 Гизатуллин Р.Г. 1

---

1 ФГБОУ ВПО «Поволжский государственный технологический университет»

Представлен стержневой конечный элемент для расчета тонкостенных трубопроводов (пульпопроводов) из полимерных композитных материалов. Предполагается, что стенка трубопровода изготовлена путем перекрестной спиральной намотки на оправку двух симметричных систем волокон. Получены расчетные соотношения для коэффициентов матрицы жесткости и вектора узловых сил конечного элемента тонкостенного трубопровода. Использованы традиционные подходы строительной механики. Учитывается слоистая структура материала и анизотропия термоупругих свойств. Предполагается, что «монослой» работает в условиях плоского напряженного состояния. Рассмотрено двухкомпонентное статическое нагружение, включающее действие температуры и внутреннего давления. При этом распределенные температурные и гидродинамические воздействия заменены эквивалентной системой сосредоточенных узловых сил. В частном случае изотропного тела формулы приобретают известный вид.

Статья в формате PDF

580 KB

трубопроводы

стрежневой конечный элемент

деформации

напряжения

полимерные композиционные материалы

метод конечных элементов

1. Алфутов Н.А., Зиновьев П.А., Попов Б.Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов. – М.: Машиностроение, 1984. – 263 с.

2. Биргер И.А., Мавлютов Р.Р. Сопротивление материалов. – М.: Наука, 1986.–560 с.

3. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. – М.: Машиностроение, 1980. – 376 с.

4. Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов. – М.: Машиностроение, 1988. – 272 с.

5. Кноэл А., Робинсон Е. Расчет ферм, балок, рам и тонкостенных элементов // Композиционные материалы: В 8 томах. – Т.7. Анализ и проектирование конструкций / под ред. К. Чамиса. – 1978. – 300 с.

6. Куликов Ю.А., Лоскутов Ю.В. Размеростабильные конструкции цилиндрических сосудов давления и трубопроводов из многослойных композитов // Механика композиционных материалов и конструкций. ИПриМ РАН. – 2000. – Т. 6, № 2. – С. 181–191.

7. Куликов Ю.А. Жидкостные трубопроводы: Численное исследование напряженно-деформированного состояния, индуцированного стационарным внутренним потоком // Расчеты на прочность. – М., 1993. – Вып. 33. – С. 119–31.

8. Лоскутов Ю.В. Расчёт конструкций композитных трубопроводов для гидромеханизации дноуглубительных работ по улучшению лесосплавных путей // Вестник Марийского государственного технического университета. Серия: Лес. Экология. Природопользование. – Йошкар-Ола, 2012. – № 1. – С. 35–43.

9. Попов Б.Г. Расчет многослойных конструкций вариационно-матричными методами. – М.: Изд-во МГТУ, 1993. – 294 с.

10. Ялтанец И.М. Справочник по гидромеханизации: Теория и практика открытых горных и строительных работ. – М.: Изд-во МГГУ, 2011. – 737 с.

Пульпопровод – сооружение для размещения и поддержания на плаву трубопровода, по которому производится гидротранспорт пульпы от грунтового насоса на берег (рис. 1). При создании пульпопроводов (трубопроводов) для земснарядов применяют различные материалы. Металлические трубопроводы (пульпопроводы) используются с начала становления гидромеханизации и по настоящее время [10]. Однако, в связи с большим весом, низкой износостойкостью и сложностью при монтаже, им на замену все чаще приходят современные пульпопроводы из полимерных композитных материалов (ПКМ) [8]. Слоисто-волокнистая структура материала, армирование высокопрочными и высокомодульными волокнами и тонкие стенки обеспечивают достаточно эффективное сочетание прочности, жесткости и трещиностойкости с относительно малым удельным весом. При этом следует учитывать, что распространенными элементами современных силовых конструкций (ферм, рам, балок, валов, арок, труб, трубопроводов и т.д.) являются тонкостенные пространственные стержни.

Рис. 1

Разработке теории и методов расчета тонкостенных слоистых стержней посвящен ряд работ, например [4, 5, 9]. В [4] разрешающие уравнения строятся на базе общей теории многослойных анизотропных оболочек. В работе [9] для вывода расчетных соотношений применяются вариационно-матричные методы.

1. Стержневой конечный элемент. Рассмотрим конечно-элементную модель: расчетные соотношения (матрицу жесткости и вектор узловых сил) составим, используя традиционные подходы строительной механики стержневых систем.

На рис. 2 изображен прямолинейный конечный элемент (КЭ) как участок цилиндрической оболочки. Стенка оболочки образована путем перекрестной спиральной намотки на оправку двух симметричных систем волокон (нитей или прядей). Волокна составляют с образующей цилиндра углы ± q.

Число слоев принимаем 2k + 1. Внутренний слой (оправку) считаем однородным и изотропным, слои из ПКМ (монослои) – ортотропными и линейно упругими. Связи волокон и связующего, а также отдельных слоев друг с другом предполагаем идеальными.

Рис. 2. Прямолинейная труба как многослойная цилиндрическая оболочка

Используем правые ортогональные системы осей координат. Координаты 1, 2, 3 (естественные координаты) связываем с осями упругой симметрии монослоя; координаты s, r, t – с его срединной поверхностью; координаты x, y, z – с осевой линией и поперечным сечением КЭ (см. рис. 2).

2. Соотношения упругости. Принимаем, что монослой «работает» в условиях плоского напряженного состояния. В этом случае зависимость между деформациями и напряжениями для однонаправленного слоя имеет вид:

(1)

или в матричной форме:

{e12} = [S0]{s12} + {a12}DТ. (1′)

Здесь {e12}, {s12}, {a12} – соответственно векторы деформаций, напряжений и коэффициентов температурного расширения; [S0] – матрица податливости; DТ – изменение температуры; Е1, Е2, G12, n12, n21, a1,
a2 – технические постоянные термоупругости (эффективные термоупругие постоянные). При этом n12E2 = n21E1.

Эффективные упругие константы определяются формулами [3]:

E1 = yE′ + (1 – y)E″;

E2 = E′E″/[yE″ + (1 – y)E′];

G12 = G′G″/[yG″ + (1 – y)G′];

n12 = yn′ + (1 – y)n″;

n21 = n12E2/E1. (2)

Формулы для эффективных коэффициентов температурного расширения имеют вид:

a1 = ya′ + (1 – y)a″;

a2 = [ya′E′ + (1 – y)a″E″]/[yE′ + (1 – y)E″]. (3)

Здесь (*)′ и (*)″ – характеристики волокна и матрицы соответственно; y – коэффициент армирования.

Соотношения, обратные (1), имеют вид:

(4)

или {s12} = [G0]{e12} – {b12}DТ,

где [G0] – матрица жесткости монослоя; {b12} – вектор температурных напряжений. Коэффициенты матрицы [G0] и вектора {b12} связаны с техническими постоянными термоупругости следующими соотношениями:

b1 = (a1 + n21a2)Е1/(1 – n12n21),

b2 = (a2 + n12a1)Е2/(1 – n12n21).

Перепишем зависимости (1) и (4) из естественной системы координат 1, 2, 3 к цилиндрическим координатам s, r, t. Получим

{est} = [S]{sst} + {ast}DТ,

{sst} = [G]{est} – {bst}DТ. (5)

Преобразования поворота осей координат относительно нормали к поверхности имеют известный вид:

[S] = [L1][S0][L1]Т; [G] = [L2][G0][L2]Т; (6)

{ast} = [L1]{a12}; {bst} = [L2]{b12}.

Здесь [L1] и [L2] – матрицы преобразований поворота:

(7)

При этом m = cos q, n = sin q. Индекс «т» обозначает операцию транспонирования матрицы.

Заметим, согласно (6), в произвольной системе координат s, r, t угловые деформации gst однонаправленного слоя получаются связанными с нормальными напряжениями ss и st, а линейные деформации es и et – с касательными напряжениями tst. В частном случае перекрестной спиральной симметричной намотки для системы, составленной из двух монослоев с углами ± q, коэффициенты s16 = s26 = 0, g16 = g26 = 0, ast = 0, bst = 0. В результате указанные связи исчезают.

При напряженном состоянии с компонентами: ss, tst, st = 0 технические постоянные термоупругости ортотропного композита будут равны [1]:

;

(8)

3. Матрица жесткости. Матрицу жесткости КЭ представим в виде:

(9)

где n – порядковый номер КЭ; i и j – номера узлов; , , , – подматрицы жесткости КЭ размера (6×6).

Подматрицу жесткости определяем через подматрицу податливости КЭ – . Компоненты симметричной матрицы находим при помощи интегралов Мора. Тогда, для консольного КЭ (считаем узел j защемлен) получим [2]:

(10)

Оставшиеся коэффициенты матрицы равняются нулю. В этом случае деформированное состояние КЭ определяется шестью независимыми обобщенными координатами, образующими вектор обобщенных перемещений узла (i),

{qi} = {ui vi wi jxi jyi jzi}Т.

В формулах (10) Ax, Ay, Az, Bx, By, Bz – это жесткости поперечного сечения стержня на растяжение-сжатие, сдвиг, кручение и изгиб соответственно. Причем,

(11)

где безразмерные коэффициенты

(12)

учитывают неравномерное распределение по поперечному сечению касательных напряжений изгиба (определяются согласно [2] в результате осреднения энергий деформации сдвига). Здесь – упруго-статический момент части поперечного сечения A*; i – порядковый номер слоя;
ri, hi – средний радиус и толщина слоя; l – длина КЭ.

Подматрицы жесткости КЭ и находятся при помощи преобразований вида:

и

(13)

где [Z(n)] – матрица линейных преобразований [6].

4. Вектор узловых сил. Распределенные температурные и гидродинамические воздействия заменяем эквивалентной системой сосредоточенных узловых сил. Для этого используем основную систему метода перемещений: узловые силы в системе координат x, y, z (рис. 2) находим как реакции узловых связей, взятые с обратным знаком,

(14)

где и  – шестикомпонентные векторы узловых сил; – вектор упругих перемещений узла i:

(15)

Для трубы с тонкими стенками:

(16)

Здесь рm и vm – стационарные составляющие давления и скорости внутреннего потока; rж – плотность; tо – интенсивность сил трения жидкости о стенки трубы [7];
R – радиус отверстия трубы; g11, g12, g22 – элементы матрицы (6).

Вектор определяет реакции в узле j от сил трения интенсивностью tо:

В частном случае изотропного тела формулы (16) получают известный вид:

(17)

Заключение

Таким образом, получены расчетные соотношения для коэффициентов матрицы жесткости и вектора узловых сил КЭ тонкостенного трубопровода, изготовленного из волокнистого композита. Рассмотрено двухкомпонентное статическое нагружение, включающее действие температуры и внутреннего давления. Учитывается слоистая структура материала и анизотропия термоупругих свойств.

Результаты получены при выполнении исследований в рамках государственного задания Минобрнауки России на выполнения НИОКР, а также гранта РФФИ № 10-08-97017-р_поволжье_а.

Рецензенты:

Савельев В.В., д.т.н., доцент, профессор кафедры строительного производства Чебоксарского политехнического института (филиал) ФГБОУ ВПО «Московский государственный открытый университет
им. В.С. Черномырдина», г. Чебоксары;

Поздеев А.Г., д.т.н., профессор, заведующий кафедрой водных ресурсов ФГБОУ ВПО «Поволжский государственный технологический университет», г. Йошкар-Ола.

Работа поступила в редакцию 16.10.2012.

Библиографическая ссылка