Рассмотрим движение положительного заряда q в однородном электрическом поле напряженности E плоского конденсатора (рис.1а) в отсутствии сил гравитационного поля.
Рисунок 1 (а). Движение положительного заряда q в однородном электрическом поле напряженности E плоского конденсатора.
Под действием кулоновской силы 
движение заряда из точки 1 потенциальной плоскости 
в точку 2 потенциальной плоскости 
может происходить только вдоль линии напряженности поля (в данном случае вертикальная линия 1-2). Расстояние между плоскостями 
. На основании II закона Ньютона:
; 
,
где t - время движения заряда. Работу перемещения заряда представим в двух видах:
(1)
(2)
Отметим, что для того, чтобы остановить заряд в точке 2, необходимо затратить работу торможения, равную
.
Чтобы вернуть заряд q по тому же пути из точки 2 в точку 1, необходимо приложить стороннюю силу F (рис.1б), которую можно представить в виде суммы 
, где 
- сила, равная по модулю кулоновской силе 
, обеспечивающая равновесие заряда (неподвижность) в электростатическом поле, которую назовем силой левитации.
Рисунок 1 (б)
Если 
, то перемещение заряда вверх не происходит, поскольку 
. Если 
, то начинает работать II закон Ньютона: ускорение 
; 
. Время движения вверх
(3)
Запишем баланс импульсов сил:
(4)
Возведя в квадрат и разделив на 2m обе части равенства, получим баланс энергий (работ):
(5)
Или
(5а)
где 
- работа силы левитации в статическом состоянии, 
- обычная работа силы 
, вызывающей ускоренное движение, 
- работа, связанная с ускоренным движением силы левитации, 
- суммарная работа сторонней силы F.
Выразим эти работы через работу , определяемую выражением (2).
(6)
(7)
(8)
Таким образом, зависимость между работами 
и 
имеет гиперболический характер.
(9)
Тогда суммарную работу сторонней силы F можно записать так
(10)
Это выражение имеет минимум в случае 
, равный 
. На графике (рис.2) показана зависимость суммарной работы 
от соотношения 
.
Рисунок 2. Зависимость суммарной работы от соотношения
Из графика видно, что даже в самом благоприятном случае работа подъема заряда сторонней силой в 4 раза больше работы кулоновской силы, совершающей перемещение заряда вниз. Здесь необходимо отметить следующее: кулоновская сила препятствует перемещению заряда вверх, т.е. совершает отрицательную работу, но по модулю она не равна 
, поскольку движение происходит под действием силы ΔF в течение времени t1, которое связано с временем t формулы (1) соотношением: 
. Тогда работа кулоновской силы будет равна
(11)
Рассмотрим другой вариант перемещения заряда из точки 2 в точку 1 за счет действия мгновенной силы [1,2,3] в виде 
, где 
- 
-функция Дирака. Величину 
будем называть единичным импульсом силы. Тогда дифференциальное уравнение движения заряда запишется в виде:
(12)
при нулевых начальных условиях: 
и 
. H(t) - единичная (ступенчатая) функция Хевисайда, причем 
[1,4]. Для решения задачи используем преобразование Лапласа [4]. Получаем:
; 
(13)
Определим работу, совершаемую при перемещении заряда из точки 1 в точку 2:
(14)
Вычисляя интегралы, получим
;
(15)
Под действием мгновенного импульса силы заряд приобретает скорость 
, направленную вверх, а под действием кулоновской силы возникает тормозящее ускорение: 
. Время движения заряда 
или 
. Оно равно времени t формулы (1).
(16)
Энергия, приобретенная зарядом от единичного импульса силы 
, а остальные члены уравнения (15) можно представить в виде:
;
Последний член представляет собой повышение потенциальной энергии при перемещении заряда из точки 2 в точку 1. Таким образом, при движении заряда за счет действия мгновенной силы, заряд должен получить извне начальную энергию A0, равную 
.
Рассмотрим третий вариант перемещения заряда из 2 в 1. На заряд действует сторонняя сила, равная кулоновской, но направленная в противоположную сторону (сила левитации): 
, а для перемещения заряда вверх ему сообщается единичный импульс силы 
за счет действия мгновенной силы 
. Дифференциальное уравнение движения примет вид:
(17)
при нулевых начальных условиях. Решая уравнение с помощью преобразования Лапласа и вычисляя работу, получим:
Положительная работа:
(18)
Отрицательная работа (противодействующая перемещению заряда):
(19)
Время движения заряда 
. В окончательном виде положительная работа (при 
):
;
(20)
Это выражение имеет минимум, равный 
при значении 
. На графике (рис.3) показана зависимость суммарной положительной работы , выраженной в долях работы Aφ, от величины отношения 
.
Рисунок 3. Зависимость суммарной положительной работы , выраженной в долях работыAφ , от величины отношения .
Отрицательная работа в окончательном виде (при ):
(21)
Как следует из графика (рис.4) отрицательная работа (работа кулоновской силы) не является постоянной величиной. Ее можно вычислять по формуле (2) только в том случае, если она является единственной движущей (или тормозящей) силой. Когда же кулоновская сила «соучаствует» со сторонними силами в перемещении заряда, то изменяется время движения заряда и расчет работы кулоновской силы надо проводить с учетом ее взаимодействия с другими силами. При очень большом начальном импульсе (
) выражение (21) асимптотически стремится к обычному значению работы кулоновской силы: 
.
Рисунок 4. Работа кулоновской силы
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- Арфкен Г. Математические методы в физике. - М.: Атомиздат, 1970.
- Иванов Е.М. Дополнительные главы классической механики. - Димитровград: ДИТУД УлГТУ, 2004.
- Иванов Е.М. Работа центростремительных и гироскопических сил //Успехи современного естествознания - №9. - 2004.
- Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. М.: Наука, 1971.