Научный журнал

Фундаментальные исследования

ISSN 1812-7339

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 1,674

• Авторы
• Резюме
• Файлы

Иванов Е.М.

Работа перемещения заряда вдоль линии напряженности электростатического поля A_φ = q (φ₁ - φ₂ ). При перемещении заряда в обратном направлении работа сторонних сил имеет минимум, величина которого зависит от способа приложения сторонней силы.

Статья в формате PDF

283 KB

Рассмотрим движение положительного заряда q в однородном электрическом поле напряженности E плоского конденсатора (рис.1а) в отсутствии сил гравитационного поля.

Рисунок 1 (а). Движение положительного заряда q в однородном электрическом поле напряженности E плоского конденсатора.

Под действием кулоновской силы  движение заряда из точки 1 потенциальной плоскости  в точку 2 потенциальной плоскости  может происходить только вдоль линии напряженности поля (в данном случае вертикальная линия 1-2). Расстояние между плоскостями . На основании II закона Ньютона:

 ; ,

где t - время движения заряда. Работу перемещения заряда представим в двух видах:

             (1)

 (2)

Отметим, что для того, чтобы остановить заряд в точке 2, необходимо затратить работу торможения, равную .

Чтобы вернуть заряд q по тому же пути из точки 2 в точку 1, необходимо приложить стороннюю силу F (рис.1б), которую можно представить в виде суммы , где  - сила, равная по модулю кулоновской силе , обеспечивающая равновесие заряда (неподвижность) в электростатическом поле, которую назовем силой левитации.

Рисунок 1 (б)

Если , то перемещение заряда вверх не происходит, поскольку . Если , то начинает работать II закон Ньютона: ускорение ; . Время движения вверх

                     (3)

Запишем баланс импульсов сил:

                                  (4)

Возведя в квадрат и разделив на 2m обе части равенства, получим баланс энергий (работ):

       (5)

Или

               (5а)

где  - работа силы левитации в статическом состоянии,  - обычная работа силы , вызывающей ускоренное движение,  - работа, связанная с ускоренным движением силы левитации,  - суммарная работа сторонней силы F.

Выразим эти работы через работу , определяемую выражением (2).

            (6)

     (7)

                      (8)

Таким образом, зависимость между работами  и  имеет гиперболический характер.

             (9)

Тогда суммарную работу сторонней силы F можно записать так

                  (10)

Это выражение имеет минимум в случае , равный . На графике (рис.2) показана зависимость суммарной работы  от соотношения .

Рисунок 2. Зависимость суммарной работы  от соотношения

Из графика видно, что даже в самом благоприятном случае работа подъема заряда сторонней силой в 4 раза больше работы кулоновской силы, совершающей перемещение заряда вниз. Здесь необходимо отметить следующее: кулоновская сила препятствует перемещению заряда вверх, т.е. совершает отрицательную работу, но по модулю она не равна , поскольку движение происходит под действием силы ΔF в течение времени t₁, которое связано с временем t формулы (1) соотношением: . Тогда работа кулоновской силы будет равна

                                    (11)

Рассмотрим другой вариант перемещения заряда из точки 2 в точку 1 за счет действия мгновенной силы [1,2,3] в виде , где  - -функция Дирака. Величину  будем называть единичным импульсом силы. Тогда дифференциальное уравнение движения заряда запишется в виде:

                       (12)

при нулевых начальных условиях:  и . H(t) - единичная (ступенчатая) функция Хевисайда, причем  [1,4]. Для решения задачи используем преобразование Лапласа [4]. Получаем:

;                             (13)

Определим работу, совершаемую при перемещении заряда из точки 1 в точку 2:

          (14)

Вычисляя интегралы, получим

;

                  (15)

Под действием мгновенного импульса силы заряд приобретает скорость , направленную вверх, а под действием кулоновской силы возникает тормозящее ускорение: . Время движения заряда  или . Оно равно времени t формулы (1).

               (16)

Энергия, приобретенная зарядом от единичного импульса силы , а остальные члены уравнения (15) можно представить в виде:

;

Последний член представляет собой повышение потенциальной энергии при перемещении заряда из точки 2 в точку 1. Таким образом, при движении заряда за счет действия мгновенной силы, заряд должен получить извне начальную энергию A₀, равную .

Рассмотрим третий вариант перемещения заряда из 2 в 1. На заряд действует сторонняя сила, равная кулоновской, но направленная в противоположную сторону (сила левитации): , а для перемещения заряда вверх ему сообщается единичный импульс силы  за счет действия мгновенной силы . Дифференциальное уравнение движения примет вид:

     (17)

при нулевых начальных условиях. Решая уравнение с помощью преобразования Лапласа и вычисляя работу, получим:

Положительная работа:

                            (18)

Отрицательная работа (противодействующая перемещению заряда):

                           (19)

Время движения заряда . В окончательном виде положительная работа (при ):

;

           (20)

Это выражение имеет минимум, равный  при значении . На графике (рис.3) показана зависимость суммарной положительной работы , выраженной в долях работы A_φ, от величины отношения .

Рисунок 3. Зависимость суммарной положительной работы , выраженной в долях работыA_φ , от величины отношения .

Отрицательная работа в окончательном виде (при ):

       (21)

Как следует из графика (рис.4) отрицательная работа (работа кулоновской силы) не является постоянной величиной. Ее можно вычислять по формуле (2) только в том случае, если она является единственной движущей (или тормозящей) силой. Когда же кулоновская сила «соучаствует» со сторонними силами в перемещении заряда, то изменяется время движения заряда и расчет работы кулоновской силы надо проводить с учетом ее взаимодействия с другими силами. При очень большом начальном импульсе ( ) выражение (21) асимптотически стремится к обычному значению работы кулоновской силы: .

Рисунок 4. Работа кулоновской силы

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Арфкен Г. Математические методы в физике. - М.: Атомиздат, 1970.
2. Иванов Е.М. Дополнительные главы классической механики. - Димитровград: ДИТУД УлГТУ, 2004.
3. Иванов Е.М. Работа центростремительных и гироскопических сил //Успехи современного естествознания - №9. - 2004.
4. Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. М.: Наука, 1971.

Библиографическая ссылка