Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,749

ON SETTING CORRECT PROBLEMS FOR COMBINED EQUATIONS OF PARABOLIC TYPE WITH CHANGING TIME DIRECTION

Сергиенко Л.С., Варфоломеева К.В.
The multivariate evolutional system with degenerating elliptic operator ,for which the correctness of marginal problems may be violated, is investigated. The obtained results can be used at mathematical modelling of diffusion processes of mass and energy transfer, at flow investigation with alternating viscosity.

Характеристика системы

Рассмотрим систему n параболических уравнений в частных производных второго порядка.

f,                          (1)

где U = (u1,...,un), uj=uj(t,X), j=1,...,n, X=(x1,...,xn).

Запишем систему (1) в виде f, где L(λ) - квадратная матрица, элементами которой являются линейные операторы

f при f, f, при i=j, f,  f

Симметричный дифференциальный оператор L, стоящий в правой части матричного уравнения , при λ<1 является сильно эллиптическим [4]. В [11] приведены результаты исследования характера разрешимости классических граничных задач для частного случая системы (1) при а=0, которая встречается в изотропной теории упругости [5]. В этом случае при λ=1 происходит вырождение типа системы, а при λ>1 эллиптический по И.Г.Петровскому оператор L не удовлетворяет условию сильной эллиптичности.

Непрерывное изменение параметра λ в области (1; +∞) осуществляет гомотопию семейства систем f, зависящих от λ, к случаю эллиптической системы при λ=2 с двумя независимыми переменными, для которой классические постановки граничных задач в отдельных случаях становятся некорректными [12]. Например в [4] показано, что для системы f нарушается не только фредгольмовость, но и нётеровость первой краевой задачи Дирихле на плоскости. В частности, доказано [1,2], что для такой системы однородная задача Дирихле в любом круге имеет бесконечное множество линейно независимых решений.

Исследуем систему (1) при ненулевых значениях параметров а и λ. Практический интерес представляют решения, являющиеся суперпозицией волн с одинаковой частотой колебаний:

f,       (2)

переменные амплитуды которых связаны системой 2n уравнений

f,j=1,...,n, (3)

fj=1,...,n.

Характеристической матрицей системы (3) является симметрическая клеточная матрица f, в которой симметрическая матрица В при f имеет вид:

f

Элементарными преобразованиями матрица А приводится к форме f, где

f

Так как матрицы А и А1 эквивалентны, их собственные числа совпадают:

f, f, j=2,..., n, n+2, ..., 2n.

Следовательно, система (3) при λ<1 сильно эллиптична, при λ=1 параболически вырождается, а при λ>1 является системой гиперболического типа.

Влияние начальных условий

Обозначим f и отнесём к классу M(Rn) ограниченные функции f, а к М1(Rn) функции fс ограниченными производными первого порядка.

Задача 1. Найти стремящиеся к нулю при t→∞ решение системы (1), удовлетворяющее начальным условиям.

f,                          (4)

где все fj - заданные в классе M1(Rn) функции.

Теорема 1.

Если λ<1, то задача 1 имеет единственное решение в классе f

Доказательство: Из системы (1)

f,  f

для функции f получаем уравнение

f                                   (5)

с начальным условием f

Последняя задача для параболического уравнения (5) при λ<1 и f имеет единственное решение в классе f.

Считая далее f известной функцией, систему (1) можем представить в виде:

f, .

Задача (4) для последней параболической системы имеет единственное решение в классе Q5 [5].

Теорема 2.

Если λ>1 и f, то задача 1 имеет единственное решение в классе Т.

Доказательство: При λ>1 уравнение f является уравнением параболического типа с обратным ходом времени [9]. Так как fпри f, то из принципа максимума для параболических уравнений получаем, что в области Е переменная f, следовательно, задача Коши с нулевыми начальными условиями для системы (5) будет иметь единственное решение в классе Т, отсюда вытекает, что задача 1 также корректна в этом классе.

Влияние режима на границе области

Исследуем развитие эволюционного процесса, моделью которого является система (1), в полупространстве f в момент времени, достаточно удаленный от начального, когда влияние исходного состояния настолько ослабевает, что им практически можно пренебречь и рассматривать поведение искомых функций только в зависимости от условий на границе области исследования

f, f,

f.

Рассмотрим случай, когда граничные функции задаются в виде гармоник с нулевыми начальными фазами с одинаковой постоянной частотой и переменными амплитудами

ff

f.

Отнесем к классу Ф(Rn) все функции f(X) множества С(Rn), убывающие при fвместе со своими производными быстрее любой степени f [8], и поставим следующую задачу:

Задача 2.

В области Р найти ограниченное на бесконечности решение системы (1) в виде (2), которое будет удовлетворять граничным условиям:

f, f,

 f,

f,            (6)

где заданные функции q и pj, j=1,..., n-1 принадлежат классу Ф(Rn-1).

Теорема 3.

При λ ≠1 существует единственное в классе f решение задачи 2.

Доказательство: из системы (3) для новых неизвестных:

f, f,                (7)

получаем соотношения:

f, f, (8)

и систему:

f, f,

f,

f,  f ,

f.

Характеристическая матрица системы (9) имеет вид f, где:

f

есть диагональная матрица размерностью f.

Собственные числа матрицы D равны

 f

следовательно, система (9) при λ<1 сильно эллиптична.

Если в (n+1)-ом и (2n+2)-ом уравнении системы (9) знак в обеих частях уравнений поменять на противоположный, то система (9) будет и при λ>1 удовлетворять определению сильной эллиптичности.

Построим решения системы (8), ограниченные во всех точках полупространства f и удовлетворяющие на его границе требованиям

f,  f    (10)

Система (8) в спектральных характеристиках преобразования Фурье по переменным f

f,

f

f,

принимает вид

f,          (11)

f,

где f

Определяя при λ≠1 ограниченные на бесконечности решения последней системы, удовлетворяющие условиям

f,

f,

находим

f,

f,

Здесь f, α и β - положительные корни системы алгебраических уравнений:

f,    f        ,

f, f, f.

Считая далее H и G известными, применим преобразование Фурье по переменным f к системе:

ff,               (12)

f,    f    ,

и граничным условиям (5). В спектральных характеристиках Фурье с учетом (12) получаем задачу

f, f

f,    f 

f,            (13)

f

для системы

f, f,

f,

f, f,

f,

которая легко деформируется к виду:

f, f,

f,

f,f

f,(14)

где f.

Ограниченные на бесконечности частные решения f системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (14) определяются методом подбора по виду правой части системы. С учетом граничных условий (13) с точностью до произвольных функций f,

f,

f,

где f, f- положительные корни соответствующего характеристического уравнения.

Подстановкой найденных функций f и их производных в выражениях для f из системы (14) определяются

f

Из граничного условия (13) f получаем f. Следовательно, группа решений f системы (14) определяется условиями (13) единственным образом.

Аналогичными методами находятся с точностью до произвольных функций f и f решения системы (14)         

f,

f.

Подстановкой найденных функций в граничные условия для производных (13) получаем систему для определения неизвестных Cn и Dn

f,                   (15)

f.

Так как главный определитель системы (15) отличен от нуля:

f,

произвольные функции Cn и Dn , а, следовательно, и решение задачи 2 определяются единственным образом.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

  1. Бицадзе А.В. Об единственности решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений с частными производными //Успехи мат.наук, 1948, т.3, N 8, с.211-212.
  2. Бицадзе А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.: Наука, 1966.
  3. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976.
  4. Михлин С.Г. Курс математической физики. Санкт-Петербург: Издательство «Лань», 2002.
  5. Михлин С.Г. Спектр пучка операторов в теории упругости //Успехи математических наук. 1973. Т. 28-3(171). С.43-82.
  6. Сергиенко Л.С. О разрешимости граничной задачи для системы уравнений в частных производных второго порядка, вырождающейся во всем пространстве. Вестник Новосибирского государственного университета. Серия: математика, механика, информатика. Т.2, вып.2, (2002), С.60-63.
  7. Сергиенко Л.С. Исследование системы, обобщающей классическое уравнение теплопередачи. Вестник Иркутского Государственного Технического Университета, 2005, т.!, №3, с.142-145.
  8. Сергиенко Л.С. О постановке корректных задач для вырождающихся моделей стационарных процессов, протекающих в соленоидальном поле скоростей. //Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, СО РАН, 2002, с.26-230.
  9. Терсенов С.А. Введение в теорию уравнений параболического типа с меняющимся направлением времени. Новосибирск: Институт математики СО АН СССР, 1982.
  10. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976.
  11. Янушаускас А.И. Граничные задачи для эллиптических уравнений в частных производных и интегро-дифференциальные уравнения. Иркутск: Изд-во Иркут.ун-та, 1997
  12. Янушаускас А.И. Задача о наклонной производной теории потенциала. Новосибирск: Наука, 1985.