Характеристика системы
Рассмотрим систему n параболических уравнений в частных производных второго порядка.
, (1)
где U = (u1,...,un), uj=uj(t,X), j=1,...,n, X=(x1,...,xn).
Запишем систему (1) в виде , где L(λ) - квадратная матрица, элементами которой являются линейные операторы
при
,
, при i=j,
,
Симметричный дифференциальный оператор L, стоящий в правой части матричного уравнения , при λ<1 является сильно эллиптическим [4]. В [11] приведены результаты исследования характера разрешимости классических граничных задач для частного случая системы (1) при а=0, которая встречается в изотропной теории упругости [5]. В этом случае при λ=1 происходит вырождение типа системы, а при λ>1 эллиптический по И.Г.Петровскому оператор L не удовлетворяет условию сильной эллиптичности.
Непрерывное изменение параметра λ в области (1; +∞) осуществляет гомотопию семейства систем , зависящих от λ, к случаю эллиптической системы при λ=2 с двумя независимыми переменными, для которой классические постановки граничных задач в отдельных случаях становятся некорректными [12]. Например в [4] показано, что для системы
нарушается не только фредгольмовость, но и нётеровость первой краевой задачи Дирихле на плоскости. В частности, доказано [1,2], что для такой системы однородная задача Дирихле в любом круге имеет бесконечное множество линейно независимых решений.
Исследуем систему (1) при ненулевых значениях параметров а и λ. Практический интерес представляют решения, являющиеся суперпозицией волн с одинаковой частотой колебаний:
, (2)
переменные амплитуды которых связаны системой 2n уравнений
,j=1,...,n, (3)
, j=1,...,n.
Характеристической матрицей системы (3) является симметрическая клеточная матрица , в которой симметрическая матрица В при
имеет вид:
Элементарными преобразованиями матрица А приводится к форме , где
Так как матрицы А и А1 эквивалентны, их собственные числа совпадают:
,
, j=2,..., n, n+2, ..., 2n.
Следовательно, система (3) при λ<1 сильно эллиптична, при λ=1 параболически вырождается, а при λ>1 является системой гиперболического типа.
Влияние начальных условий
Обозначим и отнесём к классу M(Rn) ограниченные функции
, а к М1(Rn) функции
с ограниченными производными первого порядка.
Задача 1. Найти стремящиеся к нулю при t→∞ решение системы (1), удовлетворяющее начальным условиям.
, (4)
где все fj - заданные в классе M1(Rn) функции.
Теорема 1.
Если λ<1, то задача 1 имеет единственное решение в классе
Доказательство: Из системы (1)
,
для функции получаем уравнение
(5)
с начальным условием
Последняя задача для параболического уравнения (5) при λ<1 и имеет единственное решение в классе
.
Считая далее известной функцией, систему (1) можем представить в виде:
, .
Задача (4) для последней параболической системы имеет единственное решение в классе Q5 [5].
Теорема 2.
Если λ>1 и , то задача 1 имеет единственное решение в классе Т.
Доказательство: При λ>1 уравнение является уравнением параболического типа с обратным ходом времени [9]. Так как
при
, то из принципа максимума для параболических уравнений получаем, что в области Е переменная
, следовательно, задача Коши с нулевыми начальными условиями для системы (5) будет иметь единственное решение в классе Т, отсюда вытекает, что задача 1 также корректна в этом классе.
Влияние режима на границе области
Исследуем развитие эволюционного процесса, моделью которого является система (1), в полупространстве в момент времени, достаточно удаленный от начального, когда влияние исходного состояния настолько ослабевает, что им практически можно пренебречь и рассматривать поведение искомых функций только в зависимости от условий на границе области исследования
,
,
.
Рассмотрим случай, когда граничные функции задаются в виде гармоник с нулевыми начальными фазами с одинаковой постоянной частотой и переменными амплитудами
.
Отнесем к классу Ф(Rn) все функции f(X) множества С∞(Rn), убывающие при вместе со своими производными быстрее любой степени
[8], и поставим следующую задачу:
Задача 2.
В области Р найти ограниченное на бесконечности решение системы (1) в виде (2), которое будет удовлетворять граничным условиям:
,
,
,
, (6)
где заданные функции q и pj, j=1,..., n-1 принадлежат классу Ф(Rn-1).
Теорема 3.
При λ ≠1 существует единственное в классе решение задачи 2.
Доказательство: из системы (3) для новых неизвестных:
,
, (7)
получаем соотношения:
,
, (8)
и систему:
,
,
,
,
,
.
Характеристическая матрица системы (9) имеет вид , где:
есть диагональная матрица размерностью .
Собственные числа матрицы D равны
следовательно, система (9) при λ<1 сильно эллиптична.
Если в (n+1)-ом и (2n+2)-ом уравнении системы (9) знак в обеих частях уравнений поменять на противоположный, то система (9) будет и при λ>1 удовлетворять определению сильной эллиптичности.
Построим решения системы (8), ограниченные во всех точках полупространства и удовлетворяющие на его границе требованиям
,
(10)
Система (8) в спектральных характеристиках преобразования Фурье по переменным
,
,
принимает вид
, (11)
,
где
Определяя при λ≠1 ограниченные на бесконечности решения последней системы, удовлетворяющие условиям
,
,
находим
,
,
Здесь , α и β - положительные корни системы алгебраических уравнений:
,
,
,
,
.
Считая далее H и G известными, применим преобразование Фурье по переменным к системе:
,
, (12)
,
,
и граничным условиям (5). В спектральных характеристиках Фурье с учетом (12) получаем задачу
,
,
, (13)
для системы
,
,
,
,
,
,
которая легко деформируется к виду:
,
,
,
,
,(14)
где .
Ограниченные на бесконечности частные решения системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (14) определяются методом подбора по виду правой части системы. С учетом граничных условий (13) с точностью до произвольных функций
,
,
,
где ,
- положительные корни соответствующего характеристического уравнения.
Подстановкой найденных функций и их производных в выражениях для
из системы (14) определяются
Из граничного условия (13) получаем
. Следовательно, группа решений
системы (14) определяется условиями (13) единственным образом.
Аналогичными методами находятся с точностью до произвольных функций и
решения системы (14)
,
.
Подстановкой найденных функций в граничные условия для производных (13) получаем систему для определения неизвестных Cn и Dn
, (15)
.
Так как главный определитель системы (15) отличен от нуля:
,
произвольные функции Cn и Dn , а, следовательно, и решение задачи 2 определяются единственным образом.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- Бицадзе А.В. Об единственности решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений с частными производными //Успехи мат.наук, 1948, т.3, N 8, с.211-212.
- Бицадзе А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.: Наука, 1966.
- Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976.
- Михлин С.Г. Курс математической физики. Санкт-Петербург: Издательство «Лань», 2002.
- Михлин С.Г. Спектр пучка операторов в теории упругости //Успехи математических наук. 1973. Т. 28-3(171). С.43-82.
- Сергиенко Л.С. О разрешимости граничной задачи для системы уравнений в частных производных второго порядка, вырождающейся во всем пространстве. Вестник Новосибирского государственного университета. Серия: математика, механика, информатика. Т.2, вып.2, (2002), С.60-63.
- Сергиенко Л.С. Исследование системы, обобщающей классическое уравнение теплопередачи. Вестник Иркутского Государственного Технического Университета, 2005, т.!, №3, с.142-145.
- Сергиенко Л.С. О постановке корректных задач для вырождающихся моделей стационарных процессов, протекающих в соленоидальном поле скоростей. //Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, СО РАН, 2002, с.26-230.
- Терсенов С.А. Введение в теорию уравнений параболического типа с меняющимся направлением времени. Новосибирск: Институт математики СО АН СССР, 1982.
- Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976.
- Янушаускас А.И. Граничные задачи для эллиптических уравнений в частных производных и интегро-дифференциальные уравнения. Иркутск: Изд-во Иркут.ун-та, 1997
- Янушаускас А.И. Задача о наклонной производной теории потенциала. Новосибирск: Наука, 1985.