Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,749

О ПОСТАНОВКЕ КОРРЕКТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ВРЕМЕНИ

Сергиенко Л.С., Варфоломеева К.В.
В работе исследуется многомерная эволюционная система с вырождающимся эллиптическим оператором, для которой может нарушаться корректность краевых задач в классической постановке. Полученные результаты могут быть использованы при математическом моделировании диффузионных процессов переноса массы и энергии, при исследовании движения жидкости со знакопеременной вязкостью и др.

Характеристика системы

Рассмотрим систему n параболических уравнений в частных производных второго порядка.

f,                          (1)

где U = (u1,...,un), uj=uj(t,X), j=1,...,n, X=(x1,...,xn).

Запишем систему (1) в виде f, где L(λ) - квадратная матрица, элементами которой являются линейные операторы

f при f, f, при i=j, f,  f

Симметричный дифференциальный оператор L, стоящий в правой части матричного уравнения , при λ<1 является сильно эллиптическим [4]. В [11] приведены результаты исследования характера разрешимости классических граничных задач для частного случая системы (1) при а=0, которая встречается в изотропной теории упругости [5]. В этом случае при λ=1 происходит вырождение типа системы, а при λ>1 эллиптический по И.Г.Петровскому оператор L не удовлетворяет условию сильной эллиптичности.

Непрерывное изменение параметра λ в области (1; +∞) осуществляет гомотопию семейства систем f, зависящих от λ, к случаю эллиптической системы при λ=2 с двумя независимыми переменными, для которой классические постановки граничных задач в отдельных случаях становятся некорректными [12]. Например в [4] показано, что для системы f нарушается не только фредгольмовость, но и нётеровость первой краевой задачи Дирихле на плоскости. В частности, доказано [1,2], что для такой системы однородная задача Дирихле в любом круге имеет бесконечное множество линейно независимых решений.

Исследуем систему (1) при ненулевых значениях параметров а и λ. Практический интерес представляют решения, являющиеся суперпозицией волн с одинаковой частотой колебаний:

f,       (2)

переменные амплитуды которых связаны системой 2n уравнений

f,j=1,...,n, (3)

fj=1,...,n.

Характеристической матрицей системы (3) является симметрическая клеточная матрица f, в которой симметрическая матрица В при f имеет вид:

f

Элементарными преобразованиями матрица А приводится к форме f, где

f

Так как матрицы А и А1 эквивалентны, их собственные числа совпадают:

f, f, j=2,..., n, n+2, ..., 2n.

Следовательно, система (3) при λ<1 сильно эллиптична, при λ=1 параболически вырождается, а при λ>1 является системой гиперболического типа.

Влияние начальных условий

Обозначим f и отнесём к классу M(Rn) ограниченные функции f, а к М1(Rn) функции fс ограниченными производными первого порядка.

Задача 1. Найти стремящиеся к нулю при t→∞ решение системы (1), удовлетворяющее начальным условиям.

f,                          (4)

где все fj - заданные в классе M1(Rn) функции.

Теорема 1.

Если λ<1, то задача 1 имеет единственное решение в классе f

Доказательство: Из системы (1)

f,  f

для функции f получаем уравнение

f                                   (5)

с начальным условием f

Последняя задача для параболического уравнения (5) при λ<1 и f имеет единственное решение в классе f.

Считая далее f известной функцией, систему (1) можем представить в виде:

f, .

Задача (4) для последней параболической системы имеет единственное решение в классе Q5 [5].

Теорема 2.

Если λ>1 и f, то задача 1 имеет единственное решение в классе Т.

Доказательство: При λ>1 уравнение f является уравнением параболического типа с обратным ходом времени [9]. Так как fпри f, то из принципа максимума для параболических уравнений получаем, что в области Е переменная f, следовательно, задача Коши с нулевыми начальными условиями для системы (5) будет иметь единственное решение в классе Т, отсюда вытекает, что задача 1 также корректна в этом классе.

Влияние режима на границе области

Исследуем развитие эволюционного процесса, моделью которого является система (1), в полупространстве f в момент времени, достаточно удаленный от начального, когда влияние исходного состояния настолько ослабевает, что им практически можно пренебречь и рассматривать поведение искомых функций только в зависимости от условий на границе области исследования

f, f,

f.

Рассмотрим случай, когда граничные функции задаются в виде гармоник с нулевыми начальными фазами с одинаковой постоянной частотой и переменными амплитудами

ff

f.

Отнесем к классу Ф(Rn) все функции f(X) множества С(Rn), убывающие при fвместе со своими производными быстрее любой степени f [8], и поставим следующую задачу:

Задача 2.

В области Р найти ограниченное на бесконечности решение системы (1) в виде (2), которое будет удовлетворять граничным условиям:

f, f,

 f,

f,            (6)

где заданные функции q и pj, j=1,..., n-1 принадлежат классу Ф(Rn-1).

Теорема 3.

При λ ≠1 существует единственное в классе f решение задачи 2.

Доказательство: из системы (3) для новых неизвестных:

f, f,                (7)

получаем соотношения:

f, f, (8)

и систему:

f, f,

f,

f,  f ,

f.

Характеристическая матрица системы (9) имеет вид f, где:

f

есть диагональная матрица размерностью f.

Собственные числа матрицы D равны

 f

следовательно, система (9) при λ<1 сильно эллиптична.

Если в (n+1)-ом и (2n+2)-ом уравнении системы (9) знак в обеих частях уравнений поменять на противоположный, то система (9) будет и при λ>1 удовлетворять определению сильной эллиптичности.

Построим решения системы (8), ограниченные во всех точках полупространства f и удовлетворяющие на его границе требованиям

f,  f    (10)

Система (8) в спектральных характеристиках преобразования Фурье по переменным f

f,

f

f,

принимает вид

f,          (11)

f,

где f

Определяя при λ≠1 ограниченные на бесконечности решения последней системы, удовлетворяющие условиям

f,

f,

находим

f,

f,

Здесь f, α и β - положительные корни системы алгебраических уравнений:

f,    f        ,

f, f, f.

Считая далее H и G известными, применим преобразование Фурье по переменным f к системе:

ff,               (12)

f,    f    ,

и граничным условиям (5). В спектральных характеристиках Фурье с учетом (12) получаем задачу

f, f

f,    f 

f,            (13)

f

для системы

f, f,

f,

f, f,

f,

которая легко деформируется к виду:

f, f,

f,

f,f

f,(14)

где f.

Ограниченные на бесконечности частные решения f системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (14) определяются методом подбора по виду правой части системы. С учетом граничных условий (13) с точностью до произвольных функций f,

f,

f,

где f, f- положительные корни соответствующего характеристического уравнения.

Подстановкой найденных функций f и их производных в выражениях для f из системы (14) определяются

f

Из граничного условия (13) f получаем f. Следовательно, группа решений f системы (14) определяется условиями (13) единственным образом.

Аналогичными методами находятся с точностью до произвольных функций f и f решения системы (14)         

f,

f.

Подстановкой найденных функций в граничные условия для производных (13) получаем систему для определения неизвестных Cn и Dn

f,                   (15)

f.

Так как главный определитель системы (15) отличен от нуля:

f,

произвольные функции Cn и Dn , а, следовательно, и решение задачи 2 определяются единственным образом.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

  1. Бицадзе А.В. Об единственности решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений с частными производными //Успехи мат.наук, 1948, т.3, N 8, с.211-212.
  2. Бицадзе А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.: Наука, 1966.
  3. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976.
  4. Михлин С.Г. Курс математической физики. Санкт-Петербург: Издательство «Лань», 2002.
  5. Михлин С.Г. Спектр пучка операторов в теории упругости //Успехи математических наук. 1973. Т. 28-3(171). С.43-82.
  6. Сергиенко Л.С. О разрешимости граничной задачи для системы уравнений в частных производных второго порядка, вырождающейся во всем пространстве. Вестник Новосибирского государственного университета. Серия: математика, механика, информатика. Т.2, вып.2, (2002), С.60-63.
  7. Сергиенко Л.С. Исследование системы, обобщающей классическое уравнение теплопередачи. Вестник Иркутского Государственного Технического Университета, 2005, т.!, №3, с.142-145.
  8. Сергиенко Л.С. О постановке корректных задач для вырождающихся моделей стационарных процессов, протекающих в соленоидальном поле скоростей. //Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, СО РАН, 2002, с.26-230.
  9. Терсенов С.А. Введение в теорию уравнений параболического типа с меняющимся направлением времени. Новосибирск: Институт математики СО АН СССР, 1982.
  10. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976.
  11. Янушаускас А.И. Граничные задачи для эллиптических уравнений в частных производных и интегро-дифференциальные уравнения. Иркутск: Изд-во Иркут.ун-та, 1997
  12. Янушаускас А.И. Задача о наклонной производной теории потенциала. Новосибирск: Наука, 1985.

Библиографическая ссылка

Сергиенко Л.С., Варфоломеева К.В. О ПОСТАНОВКЕ КОРРЕКТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ВРЕМЕНИ // Фундаментальные исследования. – 2006. – № 3. – С. 10-14;
URL: https://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=4838 (дата обращения: 26.09.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074