Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,749

ECONOMIC AND MATHEMATICAL MODELING OF MINIMIZING TOTAL COSTS IN INVENTORY MANAGEMENT

Zaytseva I.V. 1, 2 Malafeev O.A. 3 Rezenkov D.N. 4 Ryzhov A.V. 4 Pozhidaev S.V. 4
1 Russian State Hydrometeorological University
2 Stavropol State Agrarian University
3 Saint-Petersburg State University
4 Stavropol branch of the Krasnodar University of the Ministry of the Interior of the Russian Federation
In the article, the authors consider mathematical models of optimal inventory management of the production complex with multi-agent interaction of shareholders. The authors present a formula for the most economical order size for a given shareholder utility function. A model of inventory management with constant demand intensity, zero order delivery time, and costs due to shortage is developed. Dynamic models of interaction between the three shareholders under different conditions are constructed. For the models developed by the authors, compromise solutions of interaction are found. The purpose of the article is to investigate mathematical models of optimal inventory management of the production complex with multi-agent interaction of shareholders. Objectives of the work: to consider mathematical models of optimal inventory management of the production complex with multi-agent interaction of shareholders, features of the application of mathematical methods for solving problems depending on the restrictions imposed on inventory management. The results of the study are the constructed mathematical models and methods of their solution, an example of the use of mathematical models is given. In the first model, a compromise solution was found for managing the inventory of the production complex with two types of costs, namely. fixed order execution costs and costs per unit of product. In the second model, a compromise solution for inventory management is found for three types of costs, namely, the fixed costs of order fulfillment, the costs per unit of goods and the costs due to the shortage of goods. An example of the practical implementation of the built dynamic model of compromise multi-agent interaction of three shareholders is presented on the example of an enterprise consisting of a warehouse complex, a transport company and a store. As the principle of optimality, a compromise decision is made to manage the inventory of the production complex with multi-agent interaction of shareholders.
mathematical model
dynamic model
management
compromise solutions

Основной математической моделью, которая применяется для планирования запасов, является так называемая классическая модель экономического размера заказа (EOQ – Economic order quantity) [1]. Данная модель описана во многих работах, в частности в книге [2]. В работе исследован вопрос минимизации суммарных издержек при управлении запасами производственного комплекса. В данной работе рассматривается задача управления запасами предприятия, состоящего из трех акционеров: складского комплекса, транспортной компании и магазина. В качестве принципа оптимальности принимается компромиссное решение управления запасами производственного комплекса при многоагентном взаимодействии акционеров [3–7].

1. Постановка задачи о нахождении компромиссного решения в моделях управления запасами производственного комплекса при многоагентном взаимодействии акционеров

В условиях рыночной экономики для производственного комплекса актуальной становится постановка задачи о минимизации суммарных издержек хранения, транспортировки запасов и издержек, связанных с заказом. При этом издержки постоянны для каждого заказа и не связаны с объемом заказа. Так же следует учитывать издержки вследствие дефицита товара. В качестве решения задачи нахождения подходящей политики работы производственного комплекса будем принимать компромиссное решение для динамической модели многоагентного взаимодействия функционирования комплекса. Рассмотрим издержки трех видов: Co – издержки выполнения заказа или затраты на подготовительно-заключительные операции; Cu – издержки хранения, приходящиеся на единицу товара; Cz – издержки вследствие дефицита, приходящиеся на единицу товара в течение единицы времени. При решении задачи нахождения оптимальной политики управления запасами получаем разные значения оптимального размера заказа. Таким образом, возникает задача нахождения подходящей политики работы предприятия.

2. Модели управления запасами производственного комплекса

2.1. Модель Уилсона управления запасами

Математические модели управления запасами (УЗ) позволяют найти оптимальный уровень запасов некоторого товара, минимизирующий суммарные затраты на покупку, оформление и доставку заказа, хранение товара. Модель Уилсона является простейшей моделью УЗ и описывает ситуацию закупки товара, которая характеризуется следующими допущениями: интенсивность потребления является известной и постоянной величиной; время поставки заказа является известной и постоянной величиной; каждый заказ поставляется в виде одной партии; затраты на осуществление заказа не зависят от размера заказа; затраты на хранение запаса пропорциональны его размеру. В системе управления запасами с течением времени уровни запасов уменьшаются, пополнение запасов происходит за счет поступления заказа. Затем процесс повторяется [8–10].

Рассмотрим случай, когда заказ для пополнения запасов является одной партией. В таком случае количество запасов убывает с постоянной интенсивностью, пока не достигает нуля. Затем поступает заказ, размер которого равен Q, и уровень запасов восстанавливается до максимального значения. Таким образом, допускается, что спрос известен заранее и что пополнение запасов происходит мгновенно. Теперь определяем наиболее экономичный размер заказа, который обеспечивает работу нашей модели при минимальных издержках. Каждый производственный период связан с затратами на подготовительно-заключительные операции. Будем считать, что затраты на подготовительно-заключительные операции не зависят от того, какое количество продукции будет закуплено, поэтому годовые затраты на подготовительно-заключительные операции пропорциональны числу производственных периодов за год.

Определение наилучшего размера партии можно сформулировать в виде математической задачи [11–13]. Пусть S – годовой сбыт, N – число производственных периодов в году Co – затраты на подготовительно-заключительные операции, Cu – издержки хранения запасов, приходящиеся на единицу запасов (стоимость материалов, рабочей силы и других постоянных расходов), k – годовая процентная ставка, налагающаяся на капитал. Для начала будем считать, что общие переменные издержки Е включают в себя только две составляющие Cu и Co.

Годовые издержки хранения запасов определяются по формуле

missing image file, (1)

где S/2N – среднее число единиц хранящегося товара.

Общие годовые затраты на подготовительно-заключительные операции составляют

missing image file. (2)

Сумма этих двух величин равна общим годовым переменным издержкам

missing image file. (3)

Оптимальным числом производственных периодов является No, минимизирующее (3). Чтобы найти No, найдем производную по N и приравняем ее к нулю:

missing image file, (4)

откуда

missing image file (5)

является минимумом, так как вторая производная положительна.

Количество продукции, заказанной за один период Qo (или размер заказа), при котором издержки минимальны, равняется общему годовому спросу, деленному на число производственных периодов, обеспечивающих работу при минимальных издержках:

missing image file. (6)

Теперь найдем размер заказа Q. Учитывая, что q = S/N, где q – размер заказа, формулу (3) можно записать в виде

missing image file. (7)

Дифференцируя по q, получаем missing image file. Отсюда находим решение нашей задачи (формула Уилсона) в виде

missing image file. (8)

Выражения (5) и (6) можно записать в другой форме [14]. В некоторых отраслях удобно говорить о запасах, имея в виду их стоимости, выражая годовое потребление через стоимость проданных товаров. Годовое потребление можно записать как A = SCu. Размер заказа определяется по формуле q = QCu. Теперь можно записать выражения missing image file и missing image file. Стоимость заказа составляет

missing image file. (9)

Стоимость среднего размера запасов составляет qo/2. Средний размер запасов, выраженный через годовой сбыт, равен

missing image file. (10)

Логарифмируя, получаем

missing image file. (11)

Первый член правой части этого выражения – постоянная величина, так как Co и k – постоянные. Разовые поставки дорогостоящих товаров должны быть невелики.

2.2. Модель управления запасами при постоянной интенсивности спроса, нулевом времени доставки заказа и издержках вследствие дефицита

Рассмотрим случай, когда имеется дефицит и издержки вследствие дефицита. Полностью проанализировать влияние дефицита на различные политики управления запасами можно, только когда каждому дефициту будут сопоставлены определенные издержки. Вместо нахождения издержек вследствие дефицита можно исследовать политику управления запасами и вычислить величину этих издержек при такой политике [15–17]. Значение издержек вследствие дефицита для политики управления запасами проиллюстрируем на примере.

Рассмотрим задачу управления запасами, в которой дефицит будет наблюдаться во время t1 и задолженный спрос удовлетворяется при поступлении заказа Q'. Будем полагать, что спрос равномерный и что допускается возможность дефицита. Будем использовать следующие обозначения: Co – издержки выполнения заказа или затраты на подготовительно-заключительные операции; Cu – издержки хранения, приходящиеся на единицу товара; Cz – издержки вследствие дефицита, приходящиеся на единицу товара в течение единицы времени, k – процентная ставка на капитал, вложенный в запас, Q' – размер заказа, S – годовой спрос, N = S/Q – число заказов, подаваемых за год, t – длительность цикла заказа, tN = 1 год, M – максимальный запас. В данном случае в каждом цикле наличные запасы имеются в течение промежутка t1 и средний размер этих запасов равен M/2. Дефицит наблюдается в течение промежутка t2, и среднее число недостающих единиц товара составляет (Q' – M)/2. По определению t = t1 + t2. По геометрическому построению получаем missing image file, следовательно, missing image file, missing image file. Общие переменные издержки за период t будут состоять из трех частей: издержки выполнения заказа, издержки хранения запасов и издержки вследствие дефицита.

Следовательно, будем иметь следующие общие издержки:

missing image file. (12)

Так как

missing image file, (13)

missing image file, (14)

то, следовательно,

missing image file. (15)

Дифференцируя данное уравнение по M и Q' и приравнивая результаты к нулю, получаем оптимальные значения M и Q':

missing image file. (16)

Следовательно,

missing image file. (17)

3. Компромиссное решение в динамической модели многоагентного взаимодействия

Рассмотрим динамическую модель многоагентного взаимодействия missing image file функционирования предприятия, где I – множество акционеров, missing image file – множество политик управления, a missing image file, функция выигрыша i игрока, причем у каждого акционера имеется своя собственная функция издержек хранения запасов missing image file.

Функция дохода акционера i выражается формулой

missing image file, (18)

где Ai – общий доход акционера i.

У каждого акционера свои издержки Ei, состоящие из Cui (стоимость продукции) и Coi (затраты на подготовительно-заключительные операции), Noi (оптимальное число производственных периодов), Xi – множество политик управления.

Годовые издержки хранения запасов определяются по формуле

missing image file, (19)

где S/2N – среднее число единиц хранящегося товара.

Общие годовые затраты на подготовительно-заключительные операции составляют

missing image file. (20)

Сумма этих двух величин равна общим годовым переменным издержкам

missing image file. (21)

Трудность заключается в том, что подобранные коэффициенты Cui, Coi дают различное оптимальное число периодов.

Пусть теперь Cui, Coi – издержки двух типов, для каждого агента. Решая задачу на оптимизацию для каждого агента, получим разные числа периодов, оптимальных для каждого агента. Таким образом, возникает задача нахождения подходящей политики управления производственным комплексом. В качестве принципа оптимальности принимается компромиссное решение в динамической модели многоагентного взаимодействия.

Пусть X – компактное метрическое пространство. missing image file суть непрерывные функции, Mi = missing image file. Компромиссное решение CH определяется следующим образом missing image file.

Обозначим через missing image file множество CH. Упорядочим в точке x по величине отклонение от максимума все функции Hi , ... , Hn и выберем те точки missing image file, для которых отклонение от максимума второй по порядку функции минимально, и обозначим это множество missing image file. Выразим это следующим образом: missing image file. По аналогии определим missing image file для всех k = 1,..., n множества missing image file компактны [18, 19]. Компромиссным решением missing image file называется missing image file, при missing image file.

4. Практическая реализация модели Уилсона управления запасами

Рассмотрим простой пример нахождения компромиссного решения. Пусть есть три заинтересованных лица (n = 3): владелец склада, транспортная компания (обеспечивает доставку на склад) и владелец магазина (хранит свои товары на складе). В нашей задаче компромиссным решением будет количество закупок в году. Владелец склада имеет доход missing image file, где Cn1 – стоимость хранения единицы товара, S – годовой сбыт. Тогда прибыль составит H1 = A1 – E1, E1 – общие издержки, рассчитываемые по формуле (21).

Рассмотрим задачу для конкретного случая. Возьмем стоимость хранения единицы товара Cu1 = 100, годовой сбыт S = 12 единиц товара, годовая процентная ставка k1 = 0,05, затраты на подготовительно-заключительные операции Co1 = 20, прибыль склада будет missing image file. Транспортная компания доставляет единицы груза по стоимости Cu2 = 100, S2 = 12, k2 = 0,2, Co2 = 20. Доход будет равен A2 = Cu2∙S2, missing image file. Владелец магазина продает свою продукцию по цене Cu3 = 2000, тогда издержки магазина будут равны E3 = E + A1 + A2. Пусть стоимость единицы товара на оптовом складе равна 1000, тогда H3 = 24000-2400-E3.

Построим модель по доходам в зависимости от количества периодов закупок:

missing image file.

Выбирая наибольшее число из каждой строчки, получаем идеальный вектор M = (1150, 1100, 12000). Поскольку первый столбец этого ряда имеет наименьшее значение, то компромиссным решением будет х* = 1.

Заключение

В данной работе рассмотрены математические модели оптимального управления запасами производственного комплекса, которые позволяют минимизировать суммарные издержки хранения запасов. Авторами представлен пример практической реализации построенной динамической модели компромиссного многоагентного взаимодействия. В качестве принципа оптимальности принимается компромиссное решение управления запасами производственного комплекса при многоагентном взаимодействии акционеров. Разработанные авторами статьи математические модели позволяют разработать новые теоретические подходы к исследованию систем управления запасами, пригодных для практического применения.