Scientific journal

Fundamental research

ISSN 1812-7339

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 1,674

Не вызывает сомнений и является общепризнанным факт, что на принятие решений оказывают влияние социальные, эмоциональные, когнитивные факторы, которые находят свое отражение в сознании человека. Рефлексия является одним из фундаментальных свойств человеческого бытия. Соответственно, проблема адекватного описания механизма индивидуального выбора в ситуации взаимодействия несовпадающих интересов сторон является одной из центральных проблем экономико-математической науки.

Основателем теории рефлексных игр и пионером в изучении влияния рефлексии на индивидуальный выбор является советский и американский ученый, математик и психолог, Лефевр Владимир Александрович (род. 1936) [1]. Центральное место в исследованиях Лефевра занимают модели рефлексии и саморефлексии человека, отражающие акты поведения, нейронные механизмы и ментальные феномены. Лефевр ввел понятия рефлексивной системы, рефлексивной структуры и рефлексивного управления. В России ведущие позиции в области исследований рефлексивных игр занимают ученые Института проблем управления имени В.А. Трапезникова [2–4]. Рефлексивные игры применяются для анализа задач принятия решений с учетом взаимодействия интересов игроков, характера их взаимоотношений, в условиях различной информированности.

Рефлексивным управлением называется воздействие на субъектов, которое склоняет их принять решение, подготовленное управляющей стороной [1, с. 89]. Субъектами могут быть отдельные лица, объединения лиц, организации.

Цель исследования: включение в теоретико-игровой анализ рефлексивного управления показателя принадлежности к группе взаимодействующих субъектов в условиях нечеткого определения характера взаимоотношений между ними (конфронтации или союза).

Применяемые методы исследования – формализация и математизация проблемы рефлексивного управления индивидуальным выбором в группе взаимодействующих субъектов.

Результаты исследования и их обсуждение

Рассмотрим группу взаимодействующих субъектов S = {S1, S2,…, Sn}, каждый из которых, Si, i = 1, 2,…, n, является лицом, принимающим решения, (ЛПР). Для каждого субъекта Si может быть определено нечеткое множество

(1)

функция принадлежности которого характеризует уровень отношений субъектов Si и Sj, j = 1, 2, …, i – 1, i + 1,…, n. Будем предполагать, что для любых i и j справедливо условие:

(2)

Функция μ_i(S_j) принимает значение 1, если субъекты Si и Sj находятся в отношениях союза в условиях полного доверия и открытости, что предполагает отсутствие какого-либо конфликта интересов между ними. Функция μ_i(S_j) принимает значение 0, если субъекты Si и Sj находятся в отношении конфронтации. Область допустимых значений функций μ_i(S_j), i = 1, 2,…, n, – отрезок [0; 1]. Чем ближе отношения субъектов Si и Sj к союзническим, соответственно, тем ближе значение функции  μ_i(S_j) должно быть к единице.

Определим для нечеткого множества (1) четкое подмножество уровня γ. Параметр γ∈[0;1] имеет смысл критического уровня принадлежности, разделяющего для игрока Si, i = 1, 2,…, n, всех субъектов Sj, j = 1, 2,…, i – 1, i + 1,…, n, на две группы: условных союзников и условных противников:

(3)

Каждому участнику Si группы S доступно множество элементарных действий:

(4)

Любое подмножество совместных действий образует альтернативную стратегию (вариант решения) субъекта Si. Множество M всех подмножеств A образует множество альтернативных решений субъектов Si, i = 1, 2,…, n. Выбор альтернативы определяется интенцией (внутренним намерением) субъекта Si, а также его взаимоотношениями с другими субъектами в группе.

Для определенности предположим, что множество A включает элементы α1, α2, α3:

(5)

В этом случае множество альтернативных решений субъекта примет вид

(6)

Для каждого субъекта Si определена функция Fi индивидуального выбора, определенная на множестве M [1, с. 36]:

(7)

где – выбор субъекта Si (значение функции выбора Fi);

s_i – переменная функции выбора Fi, отражающая интенцию субъекта Si выбрать определенную альтернативу из множества M;

s_j – переменная функции выбора Fi, альтернатива, к выбору которой субъект S _{j ≠ i} склоняет субъекта Si.

Рис. 1. Граф G1 отношений субъектов S1, S2, S3, S4, S5 при γ = γ1

Рис. 2. Граф G2 отношений субъектов S1, S2, S3, S4, S5 при γ = γ2

Вид функции Fi, i = 1, 2,…, n, задается графом G отношений в группе и соответствующим ему полиномом. Узлы графа соответствуют субъектам, а ребра характеризуют отношения между субъектами.

Проиллюстрируем процесс построения полинома и функции индивидуального выбора на конкретном примере. Сравним графы отношений субъектов G1 с критическим уровнем принадлежности γ = γ1 и G2 с критическим уровнем принадлежности γ = γ2, предполагая для определенности, что γ₁1 > γ2.

Предположим, при γ = γ1 граф G1 отношений субъектов в группе имеет вид (рис. 1).

При γ = γ2 получаем граф отношений G2 (рис. 2).

Отношениям союза на рис. 1 и 2 соответствуют ребра графов, представленные сплошной линией, отношениям конфликта – ребра графов, обозначенные пунктирной линией.

В отличие от графа G1 граф G2 предполагает союзнические взаимоотношения субъекта S5 с другими субъектами группы. То есть для графа G1, справедливы соотношения

(8)

(9)

Для графа G2:

(10)

(11)

Граф G2 показывает, что при понижении критического уровня принадлежности γ к группе союзников игроков до уровня γ2 субъект S5 рассматривается в группе как союзник для каждого из субъектов: S1, S2, S3, S4.

Графу G1 соответствует полином

(12)

графу G2:

(13)

Функции индивидуального выбора субъектов группы, соответствующие графам G1 и G2, представлены в табл. 1.

Таблица 1

Функции индивидуального выбора

Таблица 2

Матрица P взаимных влияний нецеленаправленных субъектов

Общая схема решения задачи индивидуального выбора в рамках теории рефлексивных игр Лефевра может быть представлена в виде последовательности шагов [1, с. 42–44]:

1. Определяется группа субъектов S = {S1, S2,…, Sn}, n > 1.

2. Для любой пары субъектов группы S задается отношение союза или конфликта.

3. Взаимоотношения субъектов в группе представляются в виде графа G.

4. Задается набор действий A = {α1, α2,…, αm}, любая реализуемая комбинация которых определяет альтернативу индивидуального выбора.

5. Строится матрица воздействий (влияний) P = p_ij, элемент pij которой отражает желательный с позиции субъекта S_i выбор субъектом Sj, i, j = 1, 2,…, n. Элемент pii имеет смысл выбора, желаемого самим субъектом S_i.

6. На основе графа G строится полином, отношению союза в котором соответствует операция логического умножения, а отношению конфликта – операция логического сложения.

7. Полином графа G определяет вид функции индивидуального выбора (7) для каждого субъекта.

8. Если субъект является целенаправленным, т.е. способным реализовать свои интенции, то в функции (7) переменная интенции полагается неизвестной, тождественно равной переменной выбора. В случае нецеленаправленного субъекта выбор субъекта Sk полностью определяется системой отношений внутри группы, в которую он входит.

9. Далее решается уравнение индивидуального выбора для каждого субъекта с учетом матрицы воздействий P.

Предположим, субъекты S1, S2,…, S5 не являются целенаправленными, и матрица P взаимных воздействий (влияний) имеет вид (табл. 2).

Нецеленаправленным субъектом является игрок, выбор которого подчиняется внешнему влиянию и может не совпадать с внутренним намерением выбрать определенную альтернативу. Для целенаправленного игрока интенция и реальный выбор совпадают [1, с. 36].

Подставим управляющие воздействия из матрицы (табл. 2) в уравнения (14.1)–(14.5), предполагая систему взаимоотношений G1:

(16.1)

(16.2)

(16.3)

(16.4)

(16.5)

В случае графа G2 используется система уравнений (15.1)–(15.5):

(17.1)

(17.2)

(17.3)

(17.4)

(17.5)

Таблица 3

Интенции и реальный выбор нецеленаправленных субъектов

Таблица 4

Матрица P взаимных влияний целенаправленных субъектов

Сравним интенции и реальный выбор нецеленаправленных субъектов, корректирующих свои решения под влиянием других субъектов в группе с учетом конфигурации взаимоотношений в группе (табл. 3).

Ни один из пяти рассматриваемых субъектов не смог реализовать свои интенции и вынужден был скорректировать свой выбор под влиянием других субъектов.

Предположим теперь, что субъекты целенаправленны. В этом случае диагональные элементы матрицы P не известны и задача фактически заключается в поиске таких решений, которые могут быть реализованы при заданной композиции взаимоотношений в группе.

Матрица взаимных влияний субъектов примет вид (табл. 4).

В случае целенаправленных субъектов уравнение индивидуального выбора следует переписать в виде [1, с. 16]:

(18)

где A и B не зависят от si.

Уравнение (18) будет иметь решение тогда и только тогда, когда

(19)

и решения уравнения (18) удовлетворяют условию

(20)

Для графа отношений G1 решения уравнений (18) выведены в работе [5, с. 54]. Полученные варианты выбора целенаправленных субъектов Si, i = 1, 2,…,5, совпадающие с их интенциями, имеют вид

(21.1)

(21.2)

(21.3)

(21.4)

(21.5)

Решим уравнения (18) для целенаправленных субъектов Si, i = 1, 2,…,5, с композицией взаимоотношений, представленной графом G2.

Уравнение для субъекта S1:

=

(22.1)

(22.2)

Из (22.2) следует, что субъекту S1 доступны два альтернативных решения:

(22.3)

совпадающие с его интенциями.

Уравнение для субъекта S2:

(23.1)

(23.2)

Субъект S2 может реализовать свою интенцию бездействия:

(23.3)

Уравнение для субъекта S3:

(24.1)

(24.2)

Следовательно, субъекту S3 доступны решения

(24.3)

совпадающие с его интенциями.

Уравнение для субъекта S4:

(25.1)

(25.2)

Субъект S4 имеет возможность реализовать интенцию, не связанную с выбором какой-либо не пустой альтернативы:

(25.3)

Уравнение для субъекта S5:

(26.1)

(26.2)

Субъекту S5 доступны решения

(26.3)

совпадающие с его интенциями.

Сопоставим влияния на субъектов Si, i = 1,2,…,5, со стороны других субъектов группы с вариантами их выбора (табл. 5–9).

Таблица 5

Влияние на субъекта S1 и его выбор

Таблица 6

Влияние на субъекта S2 и его выбор

Таблица 7

Влияние на субъекта S3 и его выбор

Таблица 8

Влияние на субъекта S4 и его выбор

Таблица 9

Влияние на субъекта S5 и его выбор

Согласно табл. 5–9 изменение критического уровня принадлежности группе союзников γ привело к изменению возможных под влиянием внешних управляющих воздействий вариантов выбора решений для каждого из субъектов Si, i = 1, 2,…, n. При различных значениях γ будут иметь место различные варианты индивидуального выбора игроков в ситуации, когда корректировка параметра γ влечет за собой изменение конфигурации отношений в группе. При γ = 0 получаем группу субъектов в отношениях союза на условиях полного доверия и открытости. При γ = 1 – группу субъектов в отношениях полной конфронтации. Такие группы субъектов называют суперактивными [1, с. 67–70]. Можно показать, что в случае суперактивной группы любой субъект выберет альтернативу . Таких субъектов, соответственно, называют суперактивными.

Заключение

Рассмотренные выше условные примеры рефлексивного взаимодействия субъектов соответствуют ситуациям управления выбором игроков через взаимное манипулирование посредством прямого влияния и путем изменения отношений (через повышение или понижение критического уровня принадлежности к группе союзников γ).

На выбор игрока (субъекта S_i) не оказывает непосредственное влияние уровень принадлежности μ_i(S_j) субъектов Sj к группе союзников данного игрока до тех пор, пока неизменным сохраняется соотношение μ_i(S_j) и γ для любого j = 1, 2,…, i –1, i + 1,…, n. Имеет значение конкретная конфигурация отношений, определяемая параметром γ. И целенаправленные, и нецеленаправленные субъекты, определяя желаемые исходы противостояния интересов, задают условную границу γ и, сравнивая μ_i(S_j) и γ, разделяют игроков на союзников и противников. Другими словами, именно результаты выбора игроками Si, i = 1, 2,…, n, (с учетом взаимного влияния в условиях конфликта интересов) своих действий и соответствие этих результатов целям игрока указывают на истинный (наиболее адекватный ситуации) критический уровень принадлежности γ субъектов Sj, j = 1, 2,…, i –1, i + 1,…, n, к группе союзников игрока Si, i = 1, 2,…, n.