Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,749

A MATHEMATICAL MODEL OF MICROFINANCE COMPANY WITH MIXED FLOWS OF INCOMING RISKS

Nosova M.G. 1
1 Tomsk State University of Control Systems and Radioelectronics
In this paper a mathematical model of microfinance company with mixed flows of incoming risks is proposed. The microfinance company specializes in two types of lending, for example a simple loan and a pension loan. The mathematical model defines an infinitely linear queuing system M|M|∞ with an unlimited number of serving devices, with the simplest incoming streams of applications and with exponential service time. The company’s activity is determined by two random processes: the number of concluded loan agreements and the company’s capital. Research of these two processes is performed by the methods of queuing theory. By the method of moments the main probabilistic characteristics of the company’s capital: mathematical expectation and variance are found.
queuing theory
microfinance company
company’s capital
M|M|?

В настоящее время развивающимся направлением в России является микрофинансирование. Востребованность микрофинансирования и доступность открытия компании делают этот сегмент кредитования весьма привлекательным для создания собственного бизнеса. В этих условиях большое значение приобретает исследование вопросов микрофинансирования. Одним из таких вопросов является оценка минимального размера создаваемого капитала компании и прогнозирование динамики капитала с учетом возможных рисков. Ведь собственный капитал является базовым показателем при расчете нормативов деятельности кредитной организации, установленных Банком России, и одним из ориентиров для оценки бизнеса рынком, а следовательно, и инвесторами [1].

Кредитование как отрасль экономики, связана с риском случайных финансовых потерь (невозвратом долга), которые возникают в результате нежелательных событий, например потеря трудоспособности, болезнь, смерть и т.п. Основной принцип любого кредитования состоит в том, что кредитор (банк) выдает заемщику определенную денежную сумму на определенный срок под определенный процент, а заемщик обязуется вернуть денежную сумму на оговоренных условиях. В результате некоторых нежелательных событий заемщик не возвращает сумму, в этом случае кредитор несет финансовые потери.

Хотя для каждого кредитного договора значения денежной суммы (кредита) и возможной выплаты с учетом процентов строго оговорены, до момента заключения кредитного договора они неизвестны и должны рассматриваться как случайные величины. Моменты заключения новых кредитных договоров и наступления выплат по кредитам также являются случайными величинами.

Математическое моделирование является мощным и эффективным инструментом исследования таких вопросов и позволяет найти основные характеристики, а также построить научно обоснованные прогнозы величины капитала компании.

В работе для построения математической модели предлагается применить модели и методы теории массового обслуживания. Рассмотрим классическую бесконечно-линейную систему массового обслуживания M|M|∞ с неограниченным числом обслуживающих приборов, с простейшими входящими потоками заявок и экспоненциальным временем обслуживания их на приборах [2, 3].

Указанную систему массового обслуживания можно рассматривать как математическую модель потока клиентов некоторой компании по микрофинансированию, специализирующейся на двух видах кредитования, например простой займ и пенсионный займ [1]. Кредит выдается одной суммой, возврат кредита должен быть произведен в течение определенного срока, выплата процентов за использование кредитом происходит регулярно, процентная ставка фиксированная. Тогда приходящие заявки целесообразно разделить на две группы, каждая из которых обслуживается определённым образом.

На вход системы M|M|∞ поступает смешанный поток, состоящий из двух простейших потоков (стационарный пуассоновский) договоров с параметрами λ1 и λ2 соответственно. Договоры 1-го типа поступают в первый блок обслуживания, 2-го типа – во второй блок обслуживания и занимают любой из свободных приборов, на котором выполняется их обслуживание в течение случайного времени, распределённого по экспоненциальному закону с параметрами μ1 и μ2 соответственно.

Деятельность компании по микрофинансированию можно охарактеризовать двумя случайными величинами: числом заключенных кредитных договоров k(t) и капиталом компании S(t). Будем считать, что потенциальный рынок кредитных услуг считается бесконечным.

Рассмотрим процесс изменения состояний случайных процессов k(t) и S(t) с течением времени t. Изменение числа кредитных договоров и значений капитала компании происходит в следующих случаях.

1. Компания по микрофинансированию заключает новый кредитный договор и выдает денежную сумму. Будем предполагать, что поток заключенных кредитных договоров состоит из двух простейших потоков с параметрами λ1 и λ2. Очевидно, что заключение кредитного договора и выдача денежной суммы связаны с риском для компании. Вероятность того, что за время Δt компания примет на себя новый риск в зависимости от типа договора, равна nos01.wmf и nos02.wmf. Каждый новый риск для компании связан с выдачей денежной суммы заемщику. φ1 и φ2 – размеры для первого и второго вида кредитования, которые являются случайными величинам с функциями распределения nos03.wmf, nos04.wmf и моментами nos05.wmf, nos06.wmf, nos07.wmf, nos08.wmf.

2. По каждому из k1 заключенных кредитных договоров первого типа с интенсивностью nos09.wmf выплачивается взнос по кредиту в размере ξ1, который является случайной величиной с функцией распределения nos10.wmf и моментами nos11.wmf, nos12.wmf. Выплаты вносятся независимо друг от друга, и поэтому за время Δt в компанию по микрофинансированию поступит такой взнос с вероятностью nos13.wmf. Аналогично по каждому из k2 заключенных кредитных договоров второго типа с интенсивностью nos14.wmf выплачивается взнос по кредиту в размере ξ2, который является случайной величиной с функцией распределения nos15.wmf и моментами nos16.wmf, nos17.wmf. Выплаты вносятся независимо друг от друга, и поэтому за время Δt в компанию по микрофинансированию поступит такой взнос с вероятностью nos18.wmf.

3. В какой-то момент срок кредитного договора заканчивается. Будем считать, что срок, на который заключается кредитный договор, является случайной величиной с функцией распределения nos19.wmf для первого типа и nos20.wmf для второго типа. Каждый кредитный договор расторгается и «покидает» компанию, независимо от срока действия других кредитных договоров, с интенсивностями μ1 и μ2. Тогда за время Δt кредитные договоры «покидают» компанию с вероятностями nos21.wmfи nos22.wmf соответственно.

4. Будем предполагать, что с каждым кредитным договором первого вида может наступить случай невозврата кредита с интенсивностью nos23.wmf. Эти случаи для различных кредитных договоров независимы. С вероятностью nos24.wmf наступают случаи невозврата кредита, где η1 – финансовые убытки компании. Размер η1 – является случайной величиной с функцией распределения nos25.wmf и моментами nos26.wmf, nos27.wmf. Аналогично, с каждым кредитным договором второго вида может наступить случай невозврата кредита с интенсивностью nos28.wmf. Эти случаи для различных кредитных договоров независимы. С вероятностью nos29.wmf наступают случаи невозврата кредита, где η2 – финансовые убытки компании. Размер η2 является случайной величиной с функцией распределения nos30.wmf и моментами nos31.wmf, nos32.wmf.

Определим l1(t) и l2(t) как случайные процессы, которые характеризует число пришедших клиентов за время t за кредитами первого типа и второго типа, а i1(t) и i2(t) – число заключенных кредитных договоров каждого вида (выданных кредитов) в момент времени t.

Задача исследования данной математической модели состоит в нахождении распределения вероятностей

nos33.wmf.

Составим Δt-методом прямую систему дифференциальных уравнений Колмогорова [3, 4]:

nos34.wmf

Откуда получаем систему дифференциальных уравнений:

nos35.wmf (1)

Чтобы решить систему дифференциальных уравнений (1), определим производящую функцию четырехмерного распределения nos36.wmf в виде

nos37.wmf.

Для производящей функции nos38.wmf из (1) получим обыкновенное дифференциальное уравнение в частных производных 1-го порядка следующего вида

nos39.wmf

Откуда найдем выражение для производящей функции nos40.wmf:

nos41.wmf. (2)

В результате определен вид производящей функции четырехмерного распределения nos42.wmf.

Из [5] известно, что капитал любой компании по микрофинансированию в определенный момент времени определяется следующим выражением:

nos43.wmf,

где S(0) – начальный капитал.

Изменение капитала компании по микрофинансированию можно описать выражением

nos44.wmf.

Рассмотрим характеристическую функцию величины изменения капитала компании по микрофинансированию, полученного за время t. Очевидно, что

nos45.wmf.

Согласно виду производящей функции (2) найдем, что

nos46.wmf (3)

где nos47.wmf – характеристическая функция величины nos48.wmf, nos49.wmf – характеристическая функция величины nos50.wmf, nos51.wmf – характеристическая функция величины nos52.wmf, nos53.wmf – характеристическая функция величины nos54.wmf, j – мнимая единица.

Среднее значение величины изменения капитала компании по микрокредитованию, полученного за время t, можно определить как

nos55.wmf.

Учитывая, что

nos56.wmf,

nos57.wmf,

nos58.wmf,

nos59.wmf,

nos60.wmf.

Тогда методом моментов из (3) получим основные вероятностные характеристики [3, 6] капитала компании по микрофинансированию: математическое ожидание (среднее значение) и дисперсия:

nos61.wmf,

nos62.wmf,

nos63.wmf

Заключение

1. Построена математическая модель изменения численности клиентов компании по микрофинансированию со смешанными потоками входящих рисков в виде системы массового обслуживания с неограниченным числом обслуживающих приборов (M|M|∞).

2. Получена система дифференциальных уравнений, определяющая распределение вероятностей числа пришедших клиентов и числа заключенных договоров в системе массового обслуживания.

3. Найден вид характеристической функции величины изменения капитала компании по микрофинансированию.

4. Методом моментов найдены основные вероятностные характеристики капитала компании: математическое ожидание и дисперсия.