В настоящее время приобрело особую значимость развитие робототехники [1]. В связи с этим важным является решение задач, связанных с искусственным интеллектом [2]. Однако создаваемые математические модели и алгоритмы «психологического» поведения роботов рассматривают роботов с абсолютной памятью [3], т.е. роботов, не способных забывать прошлое. Также мало уделяется внимания поведению групп эмоциональных роботов, способных забывать информацию [1] и являющихся наиболее близкими по своей «психологии» к человеку по сравнению с роботами с абсолютной памятью. Настоящая статья посвящена математическому моделированию поведения таких групп.
Математическая модель воспитания отдельного робота
В работах [4, 5] приведено соотношение, позволяющее вычислять воспитание робота, получаемое им в результате непрерывного воздействия на него сюжетами и порождающимися в результате этого у него воспитаниями:
, (1)
где i – порядковый номер сюжета (такта), воздействующего на робота и порождающего у него элементарное воспитание ri, Ri – суммарное воспитание робота, полученное им в результате воздействия на него общего количества сюжетов, равных величине i, R0 = 0, θi – коэффициент памяти, характеризующий долю предыдущего суммарного воспитания, которую помнит робот к моменту воздействия на него сюжетом с порядковым номером i, 
, 
.
Предположим, что ri = q = const, q > 0, θi = θ, R0 = 0. Легко видеть, что в рамках этих допущений соотношение (1) представляет собой сумму членов геометрической прогрессии, которая описывается известной формулой [6]:
. (2)
Докажем следующую теорему.
Теорема 1.
Для забывчивого робота с равноценными положительными ограниченными эмоциями воспитание ограничено.
Доказательство.
Так как робот забывчив, то по определению таких роботов существует число C, удовлетворяющее неравенству 
, причем справедлива формула
.
Так как робот обладает равноценными эмоциями, то справедливо равенство
ri = q = const > 0, 
.
Очевидна следующая цепочка соотношений:
(3)
Таким образом, воспитание робота Ri ограничено.
Что и требовалось доказать.
На основе теоремы 1 сформулируем и докажем следующее утверждение.
Теорема 2.
Если элементарное воспитание ri забывчивого робота удовлетворяет неравенств
0 < ri ≤ q = const > 0, 
,
то воспитание робота ограничено.
Доказательство.
Воспитание робота Bi удовлетворяет соотношению
Вычтем из величины Ri задаваемую формулой (3) величину Bi, тогда получим
(4)
В силу условий теоремы 2 справедливы неравенства 
, из которых следует согласно формуле (4) соотношение
то есть 
Так как справедливы формулы 
и 
, то воспитание Bi ограничено.
Что и требовалось доказать.
Математическая модель воспитания группы роботов
В настоящее время практически не изучен вопрос о построении математических моделей воспитания группы роботов. Один из подходов для изучения этой темы предложен в работе [7]. Основываясь на этом подходе, предложим простейшие модели воспитания группы роботов при непрерывном и одновременном воспитании каждого робота – члена этой группы.
Пусть n – количество роботов в группе, j – порядковый номер робота в этой группе, 
, 
– коэффициент памяти робота к моменту воздействия на него сюжетом с порядковым номером i, 
, 
, rj,i – элементарное воспитание робота j, Rj,i – суммарное воспитание робота, полученное им в результате воздействия на него общего количества сюжетов.
При введенных обозначениях аналогично соотношению (1) введем следующее равенство
. (5)
По аналогии с формулой (5) будем считать, что суммарное воспитание группы роботов определяется формулой
. (6)
Разделив обе части равенства (6) на величину n, получим соотношение
. (7)
Введем следующие обозначения
.
Согласно введенным обозначениям равенство (7) примет вид
. (8)
Математическая модель групповой памяти роботов
Пусть
. (9)
С учетом (9) формула (8) примет вид
. (10)
Аналогично терминам моделирования воспитания отдельного робота величину 
назовем элементарным воспитанием группы роботов, а значение 
– воспитанием этой группы в конце такта с порядковым номером i.
Нетрудно заметить, что согласно соотношению (9) справедливо равенство
. (11)
Коэффициент 
назовем коэффициентом групповой памяти роботов. Нетрудно заметить, что в общем случае коэффициент групповой памяти для каждого такта может быть собственным.
Очевидно, что коэффициент групповой памяти роботов при rj,i > 0 удовлетворяет соотношению 
Легко видеть, что если справедливы равенства 
, 
, то согласно формуле (11) верно соотношение 
, т.е. группа роботов является равномерно забывчивой [5, 6] вне зависимости от численных значений элементарных воспитаний каждого робота группы.
Исследуем математические свойства коэффициента групповой памяти для некоторых частных случаев.
Случай 1. Пусть каждый робот в группе имеет равноценные эмоции и каждый робот является равномерно забывчивым [5], т.е., справедливы равенства 
.
Легко видеть, что при этих условиях соотношение (11) примет вид
. (12)
Случай 2. Пусть 
.
Нетрудно заметить, что в этом случае равенство (12) примет вид
. (13)
Равенство (13) позволяет сделать вывод о том, что равноценность эмоций всех роботов в группе и равномерная забывчивость [5] каждого робота по отдельности не влечет равномерную забывчивость всей группы роботов в целом.
Случай 3. Пусть выполняется условие 
.
Преобразование формулы (12) позволяет получить равенство 
, на основе которого можно сформулировать вывод о том, что равноценность эмоций каждого из роботов в группе и одинаковая равномерная забывчивость всех роботов группы влечет равномерную забывчивость всей группы роботов. Нетрудно заметить, что в этом случае воспитание группы роботов описывается воспитанием любого отдельного робота из этой группы.
Согласно формуле (12) очевидна цепочка равенств
(14)
Соотношения (14) позволяют сформулировать следующий вывод:
– Коэффициент групповой памяти равномерно забывчивых роботов с равноценными эмоциями при непрерывном воспитании имеет предел.
Рассмотрим следующий пример. Пусть n = 2, q1 = 1, q1 = 2, θ1 = 0,5, θ1 = 0,8.
Вычисления показывают, что для этого примера предельное значение коэффициента групповой памяти θ∞ удовлетворяет равенству θ∞ = 0,75.
Изменение значений коэффициента групповой памяти 
роботов, вычисленного по формуле (12), проиллюстрировано графиком на рисунке.
Анализ графика позволяет утверждать, что группа равномерно забывчивых роботов может не быть равномерно забывчивой в целом.
Основываясь на соотношении (10), можно сформулировать теорему 3 для группы роботов, аналогичную теореме 2, которая доказана для отдельного робота.
График изменений коэффициента групповой памяти роботов
Теорема 3.
Если элементарное воспитание 
группы забывчивых роботов удовлетворяет неравенству
, 
,
то воспитание группы роботов ограничено.
Так как логика доказательства теоремы 3 копирует доказательство теоремы 2, то мы не будем ввиду очевидности повторять это доказательство.
Пусть каждый робот в группе обладает абсолютной памятью, тогда справедлива цепочка равенств
. (15)
Соотношение (15) позволяет сделать вывод о том, что абсолютная память каждого робота из группы влечет абсолютную память всей группы в целом.
Модель забывания воспитания группой роботов
Пусть стимулы, порождающие элементарные воспитания у группы роботов, отсутствуют. Обозначим количество пропусков стимулов символом k. Аналогично определению фиктивных тактов отдельного робота [5, 6] каждый пропуск стимулов при воспитательном процессе группы роботов назовем фиктивным тактом группы.
Тогда из равенства (10) следует, что группа роботов будет забывать воспитание согласно соотношению
.
Очевидно, что для равномерно забывчивой группы забывание группового воспитания удовлетворяет формуле
. (16)
Соотношение (16) позволяет сделать вывод о том, что группа равномерно забывчивых роботов забывает воспитание согласно закону показательной функции от параметра количества k фиктивных тактов группы.
Заключение
Приведенные математические модели могут быть использованы при проектировании роботов, составляющих группу с заданными свойствами, касающимися особенностей памяти этой группы, на основе индивидуальных памяти и воспитания каждого робота из группы.
Доказанные теоремы и результаты исследований математических моделей, описанные в статье, позволяют прогнозировать воспитание группы роботов и забывание воспитания группой в зависимости от воспитательного процесса, включающего фиктивные такты, каждого члена группы.