Процесс вулканизации относится к классу сложных химико-технологических процессов и протекает в условиях постоянно действующих возмущений стохастической природы, которые являются источниками или факторами неопределенности и существенно влияют на ход технологического процесса вулканизации.
В связи с тем, что, как это отмечалось в работе [3], оптимальная стратегия интенсификации процесса вулканизации не инвариантна вариациям возмущающих воздействий, для обеспечения заданного качества вулканизации необходимо учитывать факторы неопределенности. Задача интенсификации данного процесса заключается в повышении качества восстановительного ремонта при минимуме энергетических затрат и определяется температурным режимом его проведения. Использование стохастической модели процесса вулканизации приводит к необходимости постановки и решения задач интенсификации на основе теории оптимального управления случайными процессами.
Проблема синтеза в стохастической системе состоит в определении алгоритма или закона управления объектом, обеспечивающего оптимальное протекание процесса или получение наилучшего конечного результата в заданных условиях с учетом случайных полезных сигналов (воздействий) и помех. Формулировка и решение этих стохастических задач осуществляется с применением вероятностных критериев, которые, в отличие от детерминированных, содержат дополнительную операцию статистического осреднения и поэтому являются более сложными.
Во многих задачах управления в условиях неполной информации, связанных с повторяющимися ситуациями, нет необходимости в том, чтобы ограничения удовлетворялись при каждой реализации случая. Затраты на накопление информации или другие затраты, обеспечивающие исключение невязок в условии задачи, могут превышать достигаемый при этом эффект. Часто конкретное содержание задачи требует лишь, чтобы вероятность попадания решения в допустимую область превышала заданное число α > 0. В тех случаях, когда возможные невязки в отдельных ограничениях вызывают различный ущерб, имеет смысл дифференцированно подходить к разным условиям. Чтобы уравновесить ущерб, определяемый невязками в разных условиях задачи, следует ограничить снизу вероятность выполнения каждого из них различными числами α > 0. Обычно α1 > 1/2. Подобные постановки задач стохастического программирования называют моделями с вероятностными ограничениями.
Таким образом, задача интенсификации процесса термообработки эластомерных обкладок заключается в следующем: необходимо определить такие законы изменения токов нагревательных элементов плит, при которых достигается минимум математического ожидания суммы квадратов отклонений, рассчитанной по математической модели и экспериментально определенной температур в «характерных» точках нагревательных плит при ограничениях на мощность и конструктивные параметры нагревательных элементов.
Результаты оценки адекватности полученной модели [2, 4] доказали ее пригодность в целях моделирования и интенсификации процесса термообработки при ремонте эластомерных обкладок гуммированных аппаратов. В результате получим
(1)
– вектор управляющих воздействий; 
.
С соответствующими начальными условиями:
.
Критерий оптимальности имеет вид
(2)
где 
– соответственно расчетная и измеряемая в «характерных» точках температура, при условиях связи, представленных в виде уравнения теплопроводности при конкретных граничных условиях и ограничениях на конструктивные параметры и управляющие воздействия
,
и на мощность нагревателя 
.
Для решения задачи воспользуемся методами оптимизации систем со случайными параметрами [1, 5]. При этом задача (1–2) может быть формализована следующим образом:
(3)
где 
, 
, 
представляет собой часть компонентов вектора фазовых координат, не используемых в (2). Определим необходимые условия оптимальности для рассматриваемой задачи, используя методы математической теории экстремальных задач [1].
Вариации δv, где v = {u,а}, в точке v будем называть возможными, если достаточно малое перемещение из точки v∈Θ в направлении вариаций не выводит за пределы множества Θ, т.е. существует такое малое положительное e > 0, (v + εδv)∈Θ.
Функционал (3) является выпуклым и ограниченным, что следует из [3] и для того, чтобы он достигал минимума на Θ в точке v* = {u*,a*}, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке не было подходящих вариаций [1].
Решение задачи начинается с определения некоторого исходного un(τ), an, pn, n = 0, 1, 2,...; где n – номер текущей итерации, р = (х0, b).
В нашем случае исходным приближением может служить построенное при решении детерминированной задачи, являющееся аналогом исходной в предположении, что случайные возмущения, записываются математическими ожиданиями u0.
Задача Коши для уравнения (1) решается с заданным приближением un, an. Определяется исходное приближение 
и вычисляются значения функционалов М[
] и функций ψs(u), 
при каждом фиксированном τ∈[τ0, τ1].
Далее формируется множество индексов
(4)
(5)
где 
, множества 
совпадают при en = 0, если 
, где e – параметры, вводимые для обеспечения сходимости итерационного алгоритма.
Согласно методу возможных направлений [3, 4], введем искусственную переменную s, вектор с положительными компонентами q, и определим конус возможных вариаций:
(6)
Выберем из всех допустимых вариаций 
, 
удовлетворяющих (6) вариации, имеющие наибольшую скорость убывания функционала (2). Вводя нормализацию 
, 
||, приходим к необходимости решения задачи вида
(7)
где 
– непрерывные случайные функции, определенные следующим образом:
Произвольный вектор (
, 
, σn), удовлетворяющий (7), при σ ≥ 0 определяет возможные подходящие вариации, так как
(8)
– есть конус возможных вариаций [ ],
Следовательно, за счет максимизации sn выбираются такие подходящие вариации 
в направлении которых функционал (2) убывает, а функция М[Н(t, х, u, а, b, L)] переменного u почти для всех τ∈[τ0, τ1] возрастает достаточно быстро. Основное значение нормализации – это обеспечение единственности решения вспомогательной задачи выбора подходящих вариаций. В направлении наискорейшего спуска 
задача о выборе возможных вариаций (7) сводится к отысканию конечномерного вектора (an, dan), обеспечивающего
(9)
Здесь коэффициенты при неизвестных apn – известные величины, вычисляемые при un, an, pn вдоль n-х траекторий по формулам
(10)
Случайные величины и вектор-функции, входящие в правые части (9), (10), моделируются по их заданным вероятностным характеристикам. Наиболее простую вычислительную схему имеют алгоритмы, построенные на основе метода Монте-Карло (статистических испытаний). Для каждой выборки значений реализаций случайных векторов и вектор-функций при помощи численных методов интегрируется система (10), причем численное интегрирование проводится многократно [3]. В результате получается некоторое количество решений (10) для различных значений реализаций векторов и вектор-функций.
Задача выбора подходящих вариаций (9) является задачей линейного программирования с двухсторонними ограничениями на переменные. При ее решении возникают затруднения, связанные с тем, что задача линейного программирования (8) имеет бесконечное число ограничений. Поэтому, как известно [1, 4], для того, чтобы преодолеть эту трудность, интервал времени [t0, t1] покрывается счетной сеткой с шагом t, (узлы сетки tv = nt(n = 0,.., t1 = (Nt)] и улучшение управляющей функции производится при каждом фиксированном τv∈τ0,τ1]. Таким образом, решение (9) сводится к приближенному.
Кинетические кривые теплового режима прогрева покрытия марки 1751 (1,5) + 2566 (1,5 + 1,5 + 1,5) при δст = 4 мм до и по результатам решения вероятностной задачи
Величина шага hn, на который следует сместиться в направлении подходящих вариаций 
, вычисляется как наименьший, положительный корень уравнений
(11)
(12)
Частные производные и функции вычисляются в точке (un(t) + hn
(τ)| τ∈τ’’, an + hn
); hn – единственная переменная; un(t),an, 
, 
– известные векторы; τ» = ∪sτs. Если какое-либо из уравнений (12) не имеет положительных корней, то его наименьший положительный корень полагается равным ∞.
Определим ΔI0 = I0(u n+1) – I0(un). Поскольку решение задачи имеет в большинстве случаев быструю сходимость по функционалу и несколько медленнее сходится по управлению, то находится также ΔН = M[H(u n+1) – H(un)] для каждого [τ0, τ1]. Производим оценку ΔI0, ΔН. Если |ΔI0| < ε0, |ΔН| < ε0, J(vn, εn) = J(vn), после этого итерационный процесс прекращается. В противном случае переходим к определению un(τ), an, pn и продолжаем вычисления используя новое приближение
Таким образом, метод возможных направлений предусматривает выбор начального приближения, выбор подходящих вариаций, в направлении которых функционал I0(v) убывает, а функция М[Н] переменного u почти для всех τ∈[τ0, τ1] возрастает достаточно быстро, обеспечение условий сходимости процесса к оптимальному решению, определение длины шага и оценку приближений.
Результаты решения задач интенсификации для различных марок ремонтируемых гуммировочных покрытий [3, 4] представлены на рисунке, где под буквой «а» показаны законы изменения токов нагревательных элементов плит, под буквой «б» – изменение во времени средней по поверхности температуры вулканизируемого участка ремонтируемого покрытия. Кривая 1 описывает изменения средней по поверхности температуры при эксперименте по результатам реализации детерминированной задачи процесса вулканизации, кривая 2 характеризует изменение температуры, полученное при реализации решения вероятностной задачи.
На рисунке «а» представлено управляющее воздействие процессом вулканизации при ремонте покрытия марки 1751 (1,5) + 2566 (1,5 + 1,5 + 1,5) при δст = 4 мм, которое представляет собой кусочно-постоянную функцию. График имеет две ярко выраженные площадки (основной нагрев и остывание в индукторе), что не противоречит физико-химическим основам процесса вулканизации. Первая площадка, находящаяся на уровне 4,2 А, имеет продолжительность 2400 с и соответствует процессу разогрева, вторая – соответствует процессу выдержки.
При сравнении результатов можно сделать обоснованный вывод, что введение в математическую модель формализованных возмущений стохастической природы позволяет существенно снижать максимальные значения токов (до 5–7 %) и, как следствие, обеспечивать меньшие затраты электроэнергии.
Характерной особенностью найденных законов является разная высота площадок по отношению к найденным законам процесса ремонта покрытий, что объясняется толщиной нагреваемых участков ремонтируемых покрытий.