Регуляторы, передаточная функция которых образована тремя слагаемыми, пропорциональным, дифференцирующим и интегральным звеньями, выходные сигналы которых суммируются, относятся к наиболее распространенному типу регуляторов. Широкое распространение регуляторов этого типа определяется простотой построения и промышленного использования, низкой стоимостью, робастностью в различных условиях работы, а также пригодностью для решения большинства практических задач. Наибольшую эффективность ПИД-регуляторы показывают при управлении объектами, которые могут быть представлены моделями второго порядка [3]. Несмотря на достигнутые результаты в области теории конструирования ПИД-регуляторов и накопленный опыт их практического применения, в выборе параметров настройки зачастую продолжают использоваться эмпирические методы. Главной проблемой при настройке коэффициентов ПИД-регулятора является сложность установления соответствия между показателями качества и робастности системы и коэффициентов регулятора [5].
Долгое время настройка параметров регулятора осуществлялась эвристическим ручным методом, основанным на интуиции. В 1942 г. американские учёные J. Ziegler и N. Nichols при исследовании систем с ПИД-регуляторами установили следующие закономерности:
– оптимальная зона пропорциональности пропорционального регулятора в два раза меньше величины зоны пропорциональности, при которой в САУ начинается автоколебательный процесс;
– время изодрома Tи и время предварения Tд зависят от периода возникающих автоколебаний [1].
Методы Зиглера – Никольса являются приближенными и относятся к числу наиболее ранних методов настройки ПИД-регуляторов. Их особенностью является нахождение параметров регулятора по эмпирическим формулам. В качестве критерия оптимальности в данных методах была принята величина декремента затухания D = 0,2 – 0,3. Декремент затухания D выражается через отношение двух амплитуд выходной величины, отстоящих друг от друга на половину периода:
Зиглер и Никольс предложили два метода настройки ПИД-регулятора: первый основан на параметрах переходной характеристики, второй на частотных характеристиках объекта управления [2]. Оба метода обладают невысокой точностью, но дают надежные результаты и применяются при настройке параметров регуляторов. В последнее время методика Зиглера – Никольса снова приобрела популярность, поскольку может быть использована автоматических системах настройки параметров регуляторов.
Рассмотрим параметрический синтез ПИД-регулятора по временному модифицированному методу Зиглера – Никольса.
Несмотря на разнообразие и сложность реальных объектов в системах управления с транспортной задержкой на практике, как правило, используются модели не выше второго порядка. В качестве объекта управления выберем объект второго порядка с передаточной функцией
Такая передаточная функция характерна для многих производственных процессов. Задача состоит в нахождении коэффициентов ПИД-регулятора по параметрам переходной характеристики объекта.
Рассмотрим алгоритм модифицированного метода Зиглера – Никольса.
1. Определяем переходную характеристику объекта и её производную, используя модель объекта в Simulink, представленную на рис. 1. В состав модели входят модуль формирования производной переходной характеристики, интегратор с передаточным коэффициентом, равным величине экстремума импульсной переходной характеристики и модуль сдвига переходной характеристики идеального интегрирующего звена так, обеспечивающий ее прохождение через точку перегиба переходной характеристики объекта.
2. По максимальному значению производной выходного сигнала находим точку перегиба переходной характеристики и строим касательную к переходной характеристике в данной точке. Касательная к переходной характеристике будет являться аппроксимирующей прямой для данной характеристики. Тангенс угла наклона аппроксимирующей прямой K = max[dh(t)/dt], смещение аппроксимирующей прямой относительно начала координат задается изменением параметра a с помощью модели в Simulink.
3. Определяем численные значения параметров a (смещение по оси ординат) и L (смещение по оси абсцисс) по графику переходной характеристики и касательной к ней в точке перегиба.
4. Определяем параметры ПИД-регулятора по формулам таблицы.
Уравнение ПИД-регулятора представлено в виде
5. Строим модель системы с ПИД-регулятором в Simulink и проводим исследование характеристик системы.
Рис. 1. Модель для исследования разомкнутой системы и расчета параметров Зиглера – Никольса
Формулы для расчёта параметров ПИД-регулятора по временному методу Зиглера – Никольса
|
Параметры регулятора |
|||
|
Вид регулятора |
K |
Tи |
Tд |
|
П |
1/a |
||
|
ПИ |
0,9/a |
3L/k |
|
|
ПИД |
1,2a |
2L/k |
0,5Lk |
Рис. 2. Модель для исследования системы управления
Метод Зиглера – Никольса позволяет получить надежные, но далекие от оптимальных настройки регулятора.
Качество оценки параметров регулятора можно повысить за счет использования современных средств моделирования и применения специальных инструментариев вычислительных сред. В среде MatLab для настройки параметров регуляторов разработан инструмент PID Tuner приложения System Control Designer. Данный инструмент не предназначен для работы с неминимально фазовыми звеньями, каковым является звено транспортной задержки.
Для решения данной проблемы воспользуемся аппроксимацией Паде. Аппроксимация Паде является методом аппроксимации аналитических функций и заключается в представлении функции в виде отношения двух полиномов, коэффициенты которых определяются коэффициентами разложения функции в ряд Тейлора. Разложение экспоненциальной функции вида 
в ряд Тейлора в окрестности точки t = 0:
В целях моделирования систем управления обычно достаточно применения аппроксимации Паде низких порядков [4]. Ниже представлены формулы первого и второго порядка для аппроксимации транспортной задержки первого и второго порядка:
Рассмотрим пример выполнения предложенного алгоритма.
Зададимся передаточной функцией объекта управления в виде
Для настройки параметров ПИД-регулятора в среде MatLab/SIMULINK собрана схема, представленная на рис. 2.
По отклику модели (рис. 3) определяем базовые расчётные параметры:
a = 0,128, h'max = 6,719, L = 0,045 – величина смещения аппроксимирующей прямой по оси абсцисс.
Параметры ПИД-регулятора, рассчитан согласно формулам из таблицы.
K = 4,2257, Tи = 0,021c, Tд = 0,0964, Kи = 47,619 c-1, Kд = 0,1655 c.
Показатели качества системы управления с найденными согласно представленному методу параметрами регулятора составляют: перерегулирование 42 %, время переходного процесса 0,453 с.
Проиллюстрируем возможность использования аппроксимации Паде. На рис. 4 представлены графики переходных процессов в замкнутой одноконтурной системе. Как видно из приведенного графика, использование аппроксимирующей функции второго или даже более высоких порядков не является необходимым.
Перейдем к оптимизации параметров регулятора. Для этой цели воспользуемся инструментами PID Tuner приложения System Control Designer. В данном приложении параметры ПИД-регулятора вычисляются автоматически для установленных показателей качества либо для соответствия выбранной эталонной модели. Требования к качеству управления в PID Tuner задаются численными значениями времени переходного процесса и оценкой робастности во временной области, либо частотой среза и запасом устойчивости по фазе в частотной области. Если считать, что объект управления подвержен значительным изменениям, следует увеличить коэффициент робастности или запас устойчивости по фазе (в зависимости от используемого алгоритма).
Поскольку PID Tuner работает только с линейными системами, заменим в схеме элемент транспортной задержки аппроксимирующей функцией первого порядка.
Рис. 3. Импульсная и переходная характеристики объекта управления (пунктирная линия), аппроксимирующая прямая к переходной характеристике (сплошная линия)
Рис. 4. Переходные характеристики системы с транспортной задержкой (черная сплошная линия), с аппроксимирующим элементом 1 порядка (черная пунктирная линия), аппроксимирующим элементом 2 порядка (красная пунктирная линия)
Рис. 5. Графики переходных характеристик САУ с настройками регулятора по методу Зиглера – Никольса (сплошная линия) и оптимизированные по заданным показателям качества в среде МatLab
Зададим требуемые показатели качества системы: время переходного не более 0,4 с и коэффициент робастности равный 0,6. Рассчитанные согласно указанным требованиям параметры регулятора составили: K = 1,022, Kи = 7,178 c-1, Kд = 0,030 c. Показатели качества системы управления с полученными параметрами регулятора составляют: перерегулирование 9 %, время переходного процесса 0,39 с.
На рис. 5 представлены результаты, переходные характеристики системы управления с параметрами регулятора, найденными с использованием модифицированного метода Зиглера – Никольса, а также параметрами, найденными процедурой автоматической подстройки в MatLab.
Аналитические методы определения параметров ПИД-регулятора не позволяют получить оптимальной настройки, поскольку базируются на сильно упрощенных моделях, но их применение является необходимым для получения предварительных настроек, без которых точная настройка может занять недопустимо много времени.