Изучаются сильно нелинейные динамические эффекты в автоколебательных системах с одной степенью свободы, на которые наложены дополнительные условия разрыва производных типа условий удара. В ряде случаев, как правило, неучитываемые случайные возмущающие факторы могут оказать на динамику системы существенное влияние.
1. Рассмотрим динамическую систему с разрывами скорости [1, 2].Пусть соответственно 
+ и - - скорости тела непосредственно после и до разрывов. Легко переписать уравнение (1) в виде
+
2x–
+
3=0, , >0; += -- , |x|
(1)
где 2– собственная частота линейного осциллятора, и - параметры «автоколебательного члена», производная решения имеет разрыв при выполнении условия |x|=
. отнесенные к массе колеблющегося тела. Пусть величина <<1. В этом случае система оказываются псевдоконсервативной [3] и легко получить точные решения (1). Пренебрегая в сравнении с остальными, членом 2x, понизим порядок системы (2). Пусть z
. Тогда
-z+z3=0 , z+= - z- (2)
Отсюда получаем три стационарных решения:
z1=0; z2=-
, z3=. (3)
Второе соотношение (3) «сшивает» решения: z2= z- и z3= z+., период колебаний T=
.
В результате, при переходе к исходной координате x получается хорошо известное [1, 2] «пилообразное» колебательное решение, «амплитуда», которого определяется величиной 0,5: x(t)=0,5 (t-0,25T), причем при такой записи здесь Т
[0, 0,5T[, а далее выражение для x(t) необходимо продолжить на всю числовую ось, исходя из условий периодичности и симметрии: x(t+Т)= x(t); x(t+0,5Т)= - x(t).
2. Рассмотрение задач подобного типа, когда происходит пренебрежение собственной упругостью системы, позволяет изучить их в более общих постановках, например, учесть наличие широкополосных случайных флуктуаций.
Пусть автоколебания осуществляются также при наличии внешней силы, которая может быть описана стандартным белым шумом 
интенсивности S. Имеем:
-+3=
, >0;+= -- , (4)
и положение равновесия здесь снова неустойчиво. Введем новую переменную – (энергию): E=0,5x2. Имеем:
2=
.
Стационарное уравнение ФПК для этой задачи имеет вид [1]:
3 + 0,5
,
где - искомая плотность вероятностей. Решение:
2), E>0. (5)
Константа C находится из условия нормировки. Принимая во внимание (см. [1, 2]), что
a-1exp(-
2-
x)dx = (
)-a/2 Γ(a)exp(2/8 )D-a(/
),
где Γ(a) – Γ-функция Эйлера, а D-a(y) – функция параболическая цилиндра [1 ,2], получаем после преобразований с учетом свойств означенных специальных функций:
С= (4/S)0,25exp[-2/(4
] {
D-0,5(-
)}-1.
Найденная плотность вероятности определяет точное решение задачи.
Отсюда получаем важнейшие характеристики процесса. Для плотности вероятности импульса
J=2|-|; E=1/8 J2
в соответствии с правилами вычисления плотностей вероятностей детерминированных функций случайных процессов, найдем:
J2- 
J4), 
Легко показать, что мода этого распределения отвечает устойчивому стационарному виброударному процессу в соответствующей детерминированной системе. Найденные распределения позволяют досконально исследовать задачу.
Работа выполнена при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (Проект 05-08-50183).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
- Бабицкий В.И., Крупенин В.Л. Колебания в сильно нелинейных системах. - М., Наука, 1985. – 384 с.
- V.I. Babitsky, V.L. Krupenin Vibration of Strongly Nonlinear Discontinuous Systems. - Berlin. Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 2001. – 404 p.p.
- Крупенин В.Л К расчету псевдоконсервативных авторезонансных систем // Проблемы машиностроения и надежности машин, 1993 г., N2, с. 106-114.