Научный журнал

Фундаментальные исследования

ISSN 1812-7339

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 1,674

1. Рассмотрим динамическую систему с разрывами скорости [1, 2].Пусть соответственно ₊ и _- - скорости тела непосредственно после и до разрывов. Легко переписать уравнение (1) в виде

+²x–+³=0, , >0; ₊= -_- , |x| (1)

где ²– собственная частота линейного осциллятора, и - параметры «автоколебательного члена», производная решения имеет разрыв при выполнении условия |x|=. отнесенные к массе колеблющегося тела. Пусть величина <<1. В этом случае система оказываются псевдоконсервативной [3] и легко получить точные решения (1). Пренебрегая в сравнении с остальными, членом ²x, понизим порядок системы (2). Пусть z. Тогда

-z+z³=0 , z₊= - z_- (2)

Отсюда получаем три стационарных решения:

z₁=0; z₂=-, z₃=. (3)

Второе соотношение (3) «сшивает» решения: z₂= z_- и z₃= z₊., период колебаний T=.

В результате, при переходе к исходной координате x получается хорошо известное [1, 2] «пилообразное» колебательное решение, «амплитуда», которого определяется величиной 0,5: x(t)=0,5 (t-0,25T), причем при такой записи здесь Т [0, 0,5T[, а далее выражение для x(t) необходимо продолжить на всю числовую ось, исходя из условий периодичности и симметрии: x(t+Т)= x(t); x(t+0,5Т)= - x(t).

2. Рассмотрение задач подобного типа, когда происходит пренебрежение собственной упругостью системы, позволяет изучить их в более общих постановках, например, учесть наличие широкополосных случайных флуктуаций.

Пусть автоколебания осуществляются также при наличии внешней силы, которая может быть описана стандартным белым шумом интенсивности S. Имеем:

-+³=, >0;₊= -_- , (4)

и положение равновесия здесь снова неустойчиво. Введем новую переменную – (энергию): E=0,5x². Имеем:

²=.

Стационарное уравнение ФПК для этой задачи имеет вид [1]:

³ + 0,5,

где - искомая плотность вероятностей. Решение:

²), E>0. (5)

Константа C находится из условия нормировки. Принимая во внимание (см. [1, 2]), что

^a-1exp(-²-x)dx = ()^-a/2 Γ(a)exp(²/8 )D_-a(/),

где Γ(a) – Γ-функция Эйлера, а D_-a(y) – функция параболическая цилиндра [1 ,2], получаем после преобразований с учетом свойств означенных специальных функций:

С= (4/S)^0,25exp[-²/(4] {D_-0,5(-)}^-1.

Найденная плотность вероятности определяет точное решение задачи.

Отсюда получаем важнейшие характеристики процесса. Для плотности вероятности импульса

J=2|_-|; E=1/8 J²

в соответствии с правилами вычисления плотностей вероятностей детерминированных функций случайных процессов, найдем:

J²- J⁴),

Легко показать, что мода этого распределения отвечает устойчивому стационарному виброударному процессу в соответствующей детерминированной системе. Найденные распределения позволяют досконально исследовать задачу.

Работа выполнена при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (Проект 05-08-50183).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Бабицкий В.И., Крупенин В.Л. Колебания в сильно нелинейных системах. - М., Наука, 1985. – 384 с.
2. V.I. Babitsky, V.L. Krupenin Vibration of Strongly Nonlinear Discontinuous Systems. - Berlin. Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 2001. – 404 p.p.
3. Крупенин В.Л К расчету псевдоконсервативных авторезонансных систем // Проблемы машиностроения и надежности машин, 1993 г., N2, с. 106-114.