Исследование сложных технических систем, к которым относятся системы холодоснабжения (СХС), практически всегда приходится проводить в условиях отсутствия полной априорной информации об изучаемых системах. Данное обстоятельство обуславливается сложностью их построения и функционирования, неопределенностью влияющих на их работу факторов.
Разработка математического обеспечения контроля и диагностирования СХС сопровождается необходимостью решения этих задач, одной из которых является построение изображений видов технических состояний (ТС) Ei ∈ E, 
. Под изображением понимается математическое представление вида ТС в виде n-мерного вектора. Координаты eij данного вектора представляют собой типовое (усредненное значение) j-го контролируемого признака (КП) в i-м виде ТС.
Проблема решения заключается в том, что нельзя однозначно задать гиперплоскости в многомерном евклидовом пространстве, отделяющие один класс ТС от другого. Это связано с тем, что неизвестны пределы изменения КП
(1)
соответствующие каждому отказу. Для определения этих пределов необходим значительный объём статистических данных по отказам в процессе эксплуатации, или постановка натурного эксперимента с имитацией отказов, а его постановка в реальных условиях далеко не всегда возможна [2].
В такой ситуации более конструктивным является подход к формированию изображений видов ТС Еi, основанный на использовании информации о фактах выхода значений КП за допустимые пределы.
Изучение значительного числа технических состояний
(2)
соответствующих определённому отказу, позволяет выявить их общие свойства и сформировать изображение данного отказа как вектор числовых характеристик.
Изображения всех отказов представляются как точки в многомерном евклидовом пространстве, на которых и реализуется процесс распознавания наблюдаемых технических состояний Y<n> ∈ Y.
Эта задача может быть решена на основе простого решающего правила
(3)
если 
Текущее техническое состояние системы Y<n> идентифицируется с i-м видом его ТС, если расстояние в n-мерном евклидовом пространстве между Y<n> и изображением i-го вида технического состояния Ei является минимальным.
Постановка задачи исследования
Для того чтобы решить задачу построения изображений отказов СХС, необходимы следующие исходные данные:
1) перечень наименований всех видов ТС (отказов) объекта
2) состав и пределы изменения КП 
для работоспособного состояния СХС
(4)
3) ограниченная по объёму обучающая выборка реализаций КП, принадлежность которых каждому виду ТС известна:
(5)
где 
– наблюдаемое состояние, о котором известно, что оно принадлежит i-му виду ТС объекта.
Пределы изменения КП (1), соответствующие всем рассматриваемым отказам, неизвестны и не могут быть определены из имеющейся априорной информации по отказам.
Требуется построить множество изображений
(6)
наилучшим образом в смысле достоверности распознавания отражающих свойства соответствующих видов ТС и оценить их вероятности.
Решение
В теории распознавания образов разработаны различные алгоритмы обучения на основе методов непараметрической статистики [4, 5, 6]. Все они сводятся к единой математической основе – процедуре итеративного градиентного поиска, при которой на каждом шаге обучения ищется градиент доступной наблюдению случайной функции, математическое ожидание которой подлежит минимизации. Для обоснования данной процедуры в работе [5] применяется метод стохастической аппроксимации.
Суть процедуры итеративного градиентного поиска заключается в следующем. Для каждого класса ТС ищется аппроксимация разделяющей гиперплоскости hi, 
. Поскольку неизвестное пока изображение Ei является опорной точкой i-го вида ТС и может считаться постоянным, hi допустимо трактовать как непрерывную функцию
(7)
где Y<n> – вектор значений КП, являющийся элементом n-мерного евклидова пространства.
В дальнейшем (7) называется разделяющей функцией. Предполагается, что она обеспечивает максимальную точность при распознавании, но является неизвестной. Поэтому следует выбрать класс аппроксимирующих функций, с помощью которых находится наилучшее приближение к разделяющей функции. Эти функции будут обозначаться через 
. Мера уклонения аппроксимирующих функций от аппроксимируемой определяется как математическое ожидание случайной выпуклой функции 
от разности 
, т.е.
(8)
Наилучшая аппроксимация соответствует получению такого вектора 
, при котором достигается минимум функционала (8):
Однако следует иметь в виду, что функционал (8) в явном виде не может быть задан, по причине того, что неизвестна плотность распределения случайной функции 
, поэтому неизвестно и её математическое ожидание. Единственная возможность определения искомого вектора 
состоит в том, чтобы воспользоваться отдельными реализациями, полученными при «показе» векторов Y из обучающей выборки. В задачах обучения используется разложение аппроксимирующей функции по множеству базисных функций gj(Y), 
согласно выражению
(9)
где 
В качестве gj(Y) целесообразно принимать ортогональные или ортонормированные функции. Использование таких функций в теории распознавания образов можно объяснить тем, что их легко воспроизводить и они удовлетворяют условиям теоремы Вейерштрасса о приближении [1], которая утверждает, что любую функцию, непрерывную в замкнутом интервале, можно равномерно аппроксимировать на этом интервале с любой заданной точностью алгебраическим полиномом.
С учётом (9) выражение для функционала (8) принимает вид
(10)
Так как функционал (10) в явной форме неизвестен, для поиска минимума L(Ei) используются измеренные градиенты реализаций [5]. Необходимое условие экстремума (10) можно записать в виде уравнения
(11)
где 
Если функционал L(Ei) выпуклый и имеет единственный экстремум, то условие (11) – необходимое и достаточное для существования данного экстремума. В этом случае корень уравнения (11) даёт оптимальное значение вектора 
.
В работах [5, 6] показано, что если использовать квадратичную меру уклонения аппроксимирующей функции от аппроксимируемой
а в качестве вектор-функции Gj(Y) выбрать полную систему ортонормированных функций gj(Y), то минимизация функционала (11) обеспечивается посредством применения в процессе обучения алгоритма Роббинса - Монро. Данный алгоритм применительно к рассматриваемой задаче может быть представлен в виде рекуррентного соотношения [2]:
(12)
где ak – элемент последовательности положительных чисел, удовлетворяющий следующим условиям:
Примером такой последовательности является гармонический ряд
(13)
который в дальнейшем и будет использоваться в качестве ak.
С учётом (13) рекуррентное соотношение (12) принимает вид
(14)
Поскольку пределы изменения КП, соответствующие различным отказам, неизвестны, при реализации процедуры обучения следует фиксировать не сами значения 
, а факт выхода их за пределы установленных допусков Dj. В этом случае вместо признаков yj можно использовать бинарные значения КП, определяемые из выражения:
(15)
В качестве базисных функций gj(Y), которые используются в рекуррентном соотношении (14), реализующем процедуру обучения, могут быть приняты функции [2]
gj(Y) = sjdrj, 
(16)
где drj – символ Кронекера.
Известно [3], что система таких функций является ортонормированной.
Из (16) следует, что базисные функции определяются как
Тогда функция G(Y) представляет собой вектор значений КП в бинарной форме
(17)
Произвольное наблюдаемое состояние Yi, принадлежащее i-му классу, преобразуется аналогично:
(18)
Поэтому обучающую выборку, используемую при распознавании отказов, целесообразно представлять в виде
(19)
Аппроксимирующая функция (9) записывается в форме
(20)
Рекуррентное соотношение (14) принимает вид
(21)
Изображения Ei, полученные в соответствии с выражением (21), представляются как векторы нормализованных признаков
eij ∈ [–1, 1]. (22)
Удобство представления eij в нормализованном виде заключается в том, что каждый из них имеет ясный физический смысл. Положительное значение eij указывает на то, что в обучающей выборке преобладают такие отказы, при которых значения j-го КП не выходят из допуска Dj, и наоборот в случае отрицательного значения.
Например, если eij = –0,5, то это означает, что j-й КП выходит за допустимый интервал (1) в i-м виде технического состояния объекта с вероятностью 0,75.
В ходе исследования для СХС с промежуточным холодоносителем с парокомпрессорной холодильной машиной АИП-900 производились измерения двадцати одного КП. В обзоре представлены данные по четырем КП.
Y<4> = (y1, y2, y3, y4)T,
где y1 – давление хладагента в испарителе; y2 – перегрев хладагента в испарителе; y3 – давление хладагента в конденсаторе; y4 – переохлаждение хладагента в конденсаторе.
Сформирована обучающая выборка вида (19). В качестве i-го вида ТС рассмотрим отказ насоса системы отвода тепла конденсации (в данном исследовании рассматриваются только постепенные отказы, при которых агрегат продолжает работать с недопустимыми параметрами, которые выходят за пределы работоспособного состояния):
Требуется построить изображение Ei.
Построение изображения Ei осуществляется на основе рекуррентного соотношения (21) и обучающей выборки.
Принимаем Ei(0) = Si(0).
Вероятностная интерпретация значений нормализованных признаков
|
Контролируемый признак |
Значение нормализованного признака eij |
Вероятность выхода i-го КП за допустимый интервал, т.е. yj ∈ Δj, где |
Вероятность нахождения i-го КП в интервале, т.е. yj ∈ Δj, где |
|
у1 |
–0,6 |
0,8 |
0,2 |
|
у2 |
–0,6 |
0,8 |
0,2 |
|
у3 |
–1 |
1 |
0 |
|
у4 |
–0,8 |
0,9 |
0,1 |
, 
, 
, 
, 
Аналогично, используя (21), находим Ei(2), Ei(3), …., Ei(10).
Следовательно, 
будет являться изображением вида ТС.
Вероятностная интерпретация значений нормализованных признаков показана в таблице.
Выводы
Метод стохастической аппроксимации, использованный в исследовании, позволяет построить изображения всех видов ТС СХС при неизвестных пределах измерения КП (1), соответствующих каждому отказу. В представленном примере очевидна простота применения данного метода на практике. Он дает представление о том, как при отказе i-го ФЭ изменяется поведение каждого КП. Таким образом, каждое изображение ТС можно будет различить среди сформированного множества изображений всех видов ТС.