В настоящей работе в идеализированной (и приведенной) форме рассматривается задача об анализе коэффициентов (или параметров) простой системы поддержания циркадного ритма ступенчатого «переключения» гомеостатических уровней систолического АД (артериального давления). Заметим, что процедура анализа параметров диастолического давления аналогична. Такой анализ параметров может быть полезен при построении усредненного суточного мониторинга артериального давления [3]. Примем в настоящей работе нормировки переменных, не искажающие сути и выводов работы (например, одни сутки при измерении будем полагать равными 1, а не 24 часам и т.п.).
Формальная математическая модель рассматриваемых процессов, явлений и задач оптимизации представляет собой следующее.
Пусть 
– стохастический базис [1]. На базисе B предполагаются заданными два множества моментов остановки «переключения» уровней гомеостатического «притяжения» АД человека: 
с естественными ограничениями 
k < ∞. Соответствующие уровни представляют собой наборы случайных величин 
с устойчивыми (и неизвестными, оцениваемыми в работе) средними значениями r и R соответственно (r < R).
В настоящей работе анализируется процедура усреднения, представляющая собой «наложение» результатов измерений [3]. Этой процедуре можно приближенно сопоставить стохастическую модель со временем наблюдения t ∈ [0, 1] и множественными независимыми наблюдениями с номерами k = 1, 2, ... Приближение (и допущение) заключается в том, что наблюдаемые процессы и случайные величины, участвующие в «формировании» параметров, полагаются независимыми. Это допущение уместно для моделирования стохастических и динамических процессов измерения АД в условиях отсутствия долговременных патологических явлений и т.п.
Таким образом, в модели циркадного «наложения» процессов на стохастическом базисе 
при t ∈ [0, 1] (т.е. в течение суток) рассматриваются ступенчатые процессы изменения областей гомеостатического притяжения АД 
при k = 1, 2, ..., представленные на рисунке.
Изменения суточных значений ступенчатого процесса гомеостатических уровней «притяжения» АД
Для процессов {xk; k ≥ 1} допустимы следующие три формы стохастического представления, хотя и являющиеся эквивалентными, но позволяющие различные методы стохастического анализа:
(1)
(2)
(3)
где 
– индикаторная функция (I{true} = 1, I{false} = 0). При этом для всех форм представления выполнены неравенства (в которых в первом приближении случайные величины {σk; k ≥ 1} полагаются одинаково распределенными и независимыми, также как и {ζk; k ≥ 1}):
0 ≤ σk < 1; σk < ζk ≤ 1; (4)
0 < rk < Rk < ∞ (5)
и определены обозначения для процессов с одним скачком 
и 
при всех k = 1, 2, ...
(6)
В работе анализируется возможность выявления ступенчатых областей гомеостатического притяжения в условиях относительно медленного развития гипертонической (или гипотонической) болезни. Такое медленное развитие до настоящего времени в медицинской практике рассматривается не как патологическое, а в качестве компенсаторного, характерного для возрастных изменений, связанных с метаболическими требованиями поддержания транспорта кислорода и веществ, подвергающихся окислению при возрастном падении качества самой транспортной системы (системы кровоснабжения, системы пептидного переноса, карнитинового липидного переноса, системы поддержания гормонов щитовидной железы, инсулинового регулирования, гормонов роста при липидном обмене, системы клеточных рецепторов и т.д.). Это допущение в линейном приближении изменений (вне случаев злокачественного развития патологий в изменении АД) очевидно имеет вид
(7)
где R и r – оцениваемые параметры, а величины k(k = 1, 2, ...) представляют собой номер дня (измерения). Случайные величины α и β определены на базисе B, так же, как и последовательности случайных величин {ξk; k ≥ 1} и {ηk; k ≥ 1}. При отсутствии априорных сведений о группе наблюдаемых пациентов естественными являются предположения
Eα = Eβ = 0; (8)
Eξk = Eηk = 0. (9)
Заметим, что значения α (или β) представляют собой «скорость» развития компенсаторной, не патологической гипертонии (или гипотонии). Следовательно, для этих случайных величин можно допустить популяционное ограничение
Eα2 = d2; Eβ2 = d2, (10)
где величина среднеквадратичного уклонения d имеет значение порядка 3∙10–3, что соответствует изменениям на уровне 30 мм рт.ст. за 30 лет. Случайные величины ξk и ηk (полагаемые в первом приближении одинаково распределенными с нормальным распределением N(0, D2)) имеют среднеквадратичное отклонение для здоровых людей D при всех k ≥ 1, и
, (11)
и D имеет величину порядка 10 мм рт.ст., что соответствует D2 ≈ 102.
Заметим, что форма (1) представления процессов xk является удобной при анализе оценок, построенных на основе измерений в моменты времени τ(k) ∈ (0, 1), k ≥ 1 такие, что при оценивании полагается известным – выполняется ли
τ(k) ∈ [σk, ζk) (12)
или τ(k) ∉ [σk, ζk),
т.е. τ(k) ∈ [0, σk) ∪ [ζk, 1], (13)
что эквивалентно дихотомии
P{τ(k) ∈ [σk, ζk)} = 1
или P{τ(k) ∉ [σk, ζk)} = 0. (14)
Форма представления процессов (2), записанная в виде решения уравнения телеграфного сигнала (3), является удобной для анализа распределений случайных величин {σk; k = 1, 2, ...} и {ζk; k = 1, 2, ...} при априорной информации о значениях α = α(ω) и β = β(ω), ω ∈ Ω.
Рассмотрим представление (1) на стохастическом базисе B в предположениях (14). Также дополнительно допустим, что при малых k выполнено упрощающее, но не ограничивающее общности предлагаемого к рассмотрению метода допущение
α = β. (15)
Рассмотрим очевидную оценку уровня r (для R это осуществляется аналогично выбором соответствующих τ(k) ∈ [σk, ζk), k ≥ 1) по N ≥ 1 наблюдениям:
(16)
Представим квадратическую ошибку рассматриваемого, заведомо смещенного оценивания в виде
(17)
Теорема 1. В предположениях схемы (1) существует число N*, являющееся решением задачи оптимизации
(18)
При этом N* ∈ [[x*], [x*] + 1), где [•] – целая часть числа, а x* является решением уравнения
(19)
Доказательство. Как следует из (7),
(20)
Отсюда, с учетом (10) и (11), получаем, что
Следовательно,
имеет экстремум (минимум) в точке Φ′(x) = 0, т.е. при
(21)
что и приводит к уравнению (19).
Замечание. При рассматриваемых значениях D и d величина N* оказывается приближенно не превосходящей 270, т.е. не более 9 месяцев.
Анализ представления (1) на стохастическом базисе B в предположениях (14), но без управляемого выбора моментов τ(k) приводит в предположениях (15) к очевидному результату для функционала потерь
(22)
для
(23)
Теорема 2. Существуют целые числа N* и K* такие, что решают задачу оптимизации
(24)
При этом N* ∈ [[x*], [x*] + 1), где x* – решение (19).
В случае если (15) не выполняется, а вместо (11) имеет место
(25)
а вместо (10) выполняется
(26)
то
(27)
где
(28)
Доказательство настоящей теоремы является очевидным обобщением доказательства Теоремы 1 при обозначениях (25) и (26) для неуправляемых (но определимых на интервалах [σ, ζ)) наблюдений в моменты {τ(k), k ≥ 1} с обозначениями (23).
Рассмотрим задачу в предположениях постановки (2) с семимартингальной формой представления (3). Предположим в качестве упрощающего (начального) предположения при k = 1, 2, ...
rk ≡ r, (β ≡ 0); Rk ≡ R, (α ≡ 0). (29)
Также предположим, что наблюдаемость событий {τ(k) ∈ [σk, ζk)} и {τ(k) ∉ [σk, ζk)} с течением времени падает, что проявляется в очевидном росте дисперсии мартингальных частей при k → ∞ точечных пуассоновских процессов Ak и Bk, k ≥ 1, в их разложении Дуба – Мейера
(30)
В такой постановке объяснимым является решение задачи оптимизации с функционалом потерь
(31)
(32)
Тогда в условиях предположения линеаризуемости с положительным коэффициентом a > 0 (т.е. допустимости линейной аппроксимации) функции посуточной зависимости частоты измерений АД (что является естественным предположением об интенсификации наблюдений при развитии гипертонической или гипотонической болезни) выполняется инфинитезимальное соотношение
f(k) = a∙k + o(k), a > 0. (33)
Это соотношение позволяет сформулировать следующую теорему, завершающую цикл случаев (1)–(3), представленных во введении настоящей работы.
Теорема 3. В предположениях (29)–(32) и при соотношениях (33), а также в естественных допущениях о независимости процессов {Ak, Bk; k = 1, 2, ...} величина N*, решающая задачу об оптимизации (32), существует, и N* ∈ [[x*], [x*] + 1), где x* определяется из соотношения
(34)
Доказательство. Как следует из (30) и интегральных уравнений (3),
что приводит к выражению для 
вида
при x = N. Последнее выражение достигает точку экстремума (минимум) при
что и доказывает теорему.
Замечание. Предположение о независимости процессов {Ak, Bk; k ≥ 1} не является чрезмерным и говорит лишь о независимости последовательных испытаний, проводимых, тем не менее с увеличивающейся частотой.
Рецензенты:
Андреев А.С., д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой информационной безопасности и теории управления, декан факультета математики и информационных технологий, Ульяновский государственный университет, г. Ульяновск;
Мищенко С.П., д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой алгебро-геометрических вычислений, Ульяновский государственный университет, г. Ульяновск.