В связи с уменьшением запасов нефти на континенте увеличивается интерес исследователей к разработке месторождений в шельфовой зоне Мирового океана, которые практически нетронуты. Негативной стороной разработки таких месторождений являются неизбежные техногенные аварии, сопровождающиеся выбросами нефти и газа в океан. Последствия таких выбросов загрезняют экосистему региона. Как показал случай разлива в Мексиканском заливе, который произошел в апреле 2010 г., на данный момент отсутствует метод быстрого и качественного устранения утечки такого типа.
Среди предлагаемых методов разлива наиболее привлекательным для инженеров является установка купола непосредственно над местом утечки. При этом такой купол не только способен устранить утечку, но и накапливать внутри нефть и газ для дальнейшей откачки и эксплуатации месторождения в промышленных масштабах.
Пусть на дне океана существует источник углеводородов, из которого с определенным объемным расходом вытекает смесь нефти и газа – метана. Будем полагать, что нефть и газ распространяются в виде затопленой струи, а сама струя представляет собой капли нефти, пузырьки газа и «вовлеченную» в струю окружающую воду. Допустим, что теплофизические параметры струи такие, что пузырьки газа на некоторой высоте 
превращаются в частицы газового гидрата.
Для сбора нефти и газа под водой на источник углеводородов устанавливается купол, который представляет собой цилиндрическую емкость из полиуретана, снабженную трубками для откачки углеводородов, накапливающихся в куполе (рис. 1).
Как показала практика, помешать фиксации купола над местом утечки нефти и газа может накопление газовых гидратов внутри купола, как это случилось при аварии в Мексиканском заливе. Во избежание проникновения частиц гидрата внутрь купола, на поверхности в него закачивают дизельное топливо (солярку) и герметизируют, после чего опускают к месту утечки углеводородов.
Постановка задачи
Будем полагать, что загерметизированный купол устанавливается над источиком так, чтобы нижнее основание купола находилось на расстоянии 
от источника углеводородов. В общем случае полагаем, что 
. В этом положении нижнее основание купола омывает струя из капель нефти, гидратных частиц и воды, «вовлеченной» в струю. Далее происходит открытие нижнего основания купола специальным механизмом.
Процесс построения математической модели состоит из нескольких этапов. Сначала определим распределение температуры по высоте струи, чтобы знать высоту 
, выше которой начинается гидратообразование в струе.
Рис. 1. Схема купола: 1 – источник истечения углеводородов; 2 – купол; 3 – трубка для откачки смеси; 4 – трубка для откачки газа; 
– высота, на которой открывается нижнее основание купола; 
– высота, выше которой пузырьки газа покрываются гидратной коркой; H – общая высота купола; R – радиус купола; mout – массовый расход «вытесненной» смеси из купола; m+ – массовый расход «поступающей» нефти в купол
На этапе 1 купол зафиксирован на высоте 
, открывается нижнее основание купола и внутрь начинают проникать капли нефти и смешиваться с дизелем. Этот этап продолжается до момента времени t1. Далее, на втором этапе, купол начинает опускаться с некоторой постоянной скоростью, это продолжается, пока купол не достигнет высоты 
. Этап 2 продолжается с момента времени t1 до момента t2. На 3 этапе купол фиксируется на высоте 
и внутрь начинают проникать пузырьки газа, этап продолжается до тех пор, пока толщина слоя газа не достигнет 
, м, время завершения этапа t3. На этапе 4 купол опускается до дна, где фиксируется. На последнем, 5 этапе, который начинается с момента времени t4, рассматривается стационарная работа купола, подключаются трубки для откачки.
Распределение температуры в струе
Поступающие из скважины нефть и газ мигрируют в виде затопленной струи. Определение их температуры и скорости от вертикальной кооррдинаты особенно важно, так как эти параметры используются в качестве начальных при их накоплении в куполе. Распределение температуры и скорости миграции струи подробно рассмотрено в работах [1, 2]. Зная начальную температуру вытекающих углеводородов T0 и температуру воды Tw, а также начальный объемный расход Qe, согласно [5] определим температуру в любом сечении струи Tjet:
(1)
Согласно распределению температуры в струе, определяется высота 
, на которой струя остывает до температуры гидратообразования. Выше этой высоты пузырьки метана газа начинают покрываться гидратной коркой, превращаясь в гидратную частицу.
До момента, пока нижнее основание купола не пройдет отметку 
, отсчитываемую от дна, будем полагать, что внутрь купола, вытесняя смесь, будут проникать только капли нефти, а при дальнейшем движении купола внутрь начинают проникать и газовые пузырьки.
Этапы работы купола-сепаратора
Этап 1 начинается с момента «открытия» нижнего основания купола tнач, который до этого был загерметизирован. Запишем уравнение сохранения масс для смеси с учетом, что нефть, вытекающая из скважины, полностью попадает в купол и смешивается с дизелем, образуя смесь, которая в свою очередь «вытесняется» нефтью:
(2)
где 
– массовый расход поступающей нефти; mout – массовый расход «вытесняемой» смеси; 
– масса смеси; Vt – объем купола; ko – концентрация нефти в смеси. Нижний индекс m соответствует параметрам смеси; o – для параметров нефти. Массовый расход поступающей в купол нефти определяется с учетом известного объемного расхода.
Уравнение сохранения энергии для смеси:
Qm = cmTmMm, (3)
здесь co, cm – теплоемкости нефти и смеси; qmw – тепловой поток на границе между смесью и водой; Tm, Mm – температура и масса смеси.
Для определения теплового потока qmw будем полагать, что струя углеводородов с вовлеченной водой натекает на неподвижное основание купола и, используя выражение для теплообмена при натекании струи на неподвижную стенку [4], получим
где λw – коэффициент теплопроводности воды; δmw = 2R2; Numw – число Нуссельта.
На втором этапе с момента времени t2 купол начинает опускаться с постоянной скоростью w0. С учетом этого получим уравнение для нахождения изменения координаты нижнего основания купола zn:
Миграция газового пузырька в слое солярки
На этапе 3 нижнее основание купола достигает и фиксируется на высоте 
, на этой высоте пузырьки газа ещё не покрываются гидратной коркой. Этап 3 начинается с момента времени t3. С этого момента внутрь купола начинают проникать пузырьки газа. Считаем, что газ не смешивается со смесью, а накапливается наверху. Этап 2 продолжается до тех пор, пока толщина слоя газа не станет равной 
.
Уравнения сохранения для смеси и газа внутри купола запишутся в виде
(4)
где 
– массовый расход поступающего в купол газа; Mg – масса газа в куполе, нижний индекс g относится к газу.
Скорость всплытия для пузырька газа в куполе определяем из уравнения импульсов в безинерционном приближении:
(5)
где ag и 
– радиус и масса пузырька газа; 
– сила гидродинамического сопротивления. Скорость пузырьков газа внутри купола:
где wgm – относительная скорость пузырьков газа в смеси; wm – скорость смеси. При условии, что купол зафиксирован и неподвижен 
. Для определения коэффициента гидравлического сопротивления ξ и числа Рейнольдса Regm для пузырька газа используем следующие выражения:
(6)
Решая уравнение (5), с учетом (6) найдем скорость всплытия пузырька газа. При параметрах системы: ρg = 193 кг/м3, ag = 5·10–3 м, – скорость всплытия пузырьков газа в смеси составляет 
м/с.
Запишем уравнение сохранения энергии для пузырька газа, попадающего в купол из струи, движущегося внутри купола:
(7)
где 
– площадь поверхности пузырька.
На рис. 2 представлена зависимость температуры пузырьков газа от вертикальной координаты z. График приведен для этапа 3, времени t3. Начальной температурой пузырька является температура струи на высоте 
м. С увеличением вертикальной координаты z пузырьки газа нагреваются до температуры смеси.
Уравнение сохранения энергии для смеси (7) с учетом пузырьков газа примет вид
Qm = cmTmMm, (8)
здесь Ng – количество пузырьков газа в слое смеси.
Рис. 2. Зависимость температуры пузырька газа от координаты z
Накопление слоя газа в куполе
При достижении пузырьков газа верхнего основания купола они начинают накапливаться, образуя слой. Уравнение сохранения энергии для слоя газа:
Qg = cgTgMg. (9)
С учетом теплообмена со слоем газа уравнение сохранения энергии для смеси примет вид
Qm = cmTmMm, (10)
где qgm – тепловой поток от слоя газа к слою смеси, который определяется с использованием выражения для теплообмена полуограниченного тела согласно [3]:
(11)
здесь λg – коэффициент теплопроводности для газа; 
– сумма полутолщин слоев газа и смеси; τg – характерное время, отсчитываемое от начала накопления слоя газа; 
– коэффициент теплообмена.
Введем координату раздела слоя газа и смеси zgm с учетом объемного расхода газа:
(12)
Выводы
В работе описана динамика многофазной затопленной струи, рассмотрен процесс установки купола, предназначенного для накопления газа и нефти, а также рассмотрена задача о миграции пузырьков газа в куполе. Установлено, что пузырек газа, попадающий в купол, наполненный смесью солярки и нефти, нагревается до температуры смеси.
Работа поддержана грантом СФ БашГУ В15-12.
Рецензенты:
Гималтдинов И.К., д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой «Прикладная математика и механика», Стерлитамакский филиал, ФГБОУ ВПО «Башкирский государственный университет», г. Стерлитамак;
Биккулова Н.Н., д.ф.-м.н., профессор кафедры «Общая и теоретическая физика», Стерлитамакский филиал, ФГБОУ ВПО «Башкирский государственный университет», г. Стерлитамак.