Железобетонные арки, благодаря своей высокой несущей способности, находят широкое применение в строительстве. Так как в поперечных сечениях арки возникают два основных внутренних силовых фактора: изгибающий момент и продольная сила, то конструирование арок выполняют по общим правилам для внецентренно сжатых элементов.

Для железобетонных колонн, испытывающих внецентренное сжатие, имеются теоретические и экспериментальные данные о том, что вследствие ползучести бетона происходит перераспределение напряжений между арматурой и бетоном [1–6]. Аналогичное явление возможно и для арок. В настоящей статье рассматривается методика расчета железобетонных арок с учётом ползучести бетона методом конечных элементов. Расчётная схема, а также поперечное сечение арки показаны соответственно на рис. 1.

В качестве закона, описывающего связь между напряжениями и деформациями бетона, будем использовать уравнение вязкоупругой модели наследственного старения (ВУмНС) [1], которое имеет вид

(1)

где εb(t) – деформация бетона; σb(t) – напряжение в бетоне; Eb(t) – модуль упругости бетона; C(t, τ) – мера ползучести, которая имеет вид

(2)

Перепишем уравнение (2) в виде

(3)

где – деформация ползучести.

Рис. 1. Расчётная схема и поперечное сечение арки

Выразим в (3) напряжение через деформацию:

(4)

Полная деформация бетона представляет собой сумму осевой деформации и деформации, обусловленной изменением кривизны:

(5)

Деформации арматуры запишутся в виде

(6)

Потенциальная энергия деформации представляет собой сумму потенциальной энергии бетона и арматуры:

(7)

Потенциальная энергия бетона определяется следующим выражением

(8)

где – упругая деформация бетона.

Подставив (4) и (5) в (8), получим:

(9)

где – момент инерции бетона; Ab = bh – площадь бетонного сечения.

Потенциальная энергия деформации арматуры, расположенной у нижней грани, может быть найдена следующим образом:

(10)

Аналогично для арматуры верхней грани:

(11)

В случае симметричного армирования для потенциальной энергии деформации всей арматуры получим

(12)

где – момент инерции арматуры.

Для расчета будет использоваться стержневой конечный элемент, показанный на рис. 2. В каждом узле данного элемента имеется 3 степени свободы: 2 линейных перемещения u и v, а также угол поворота φ. Вектор узловых перемещений запишется в виде

{U} = {ui uj vi φi vj φj)}.

Прогиб конечного элемента будем аппроксимировать следующим образом:

(13)

Рис. 2. Стержневой конечный элемент

Вектор {α} найдем из следующих условий:

v(0) = vi, , v(l) = vj,

(14)

Вторая производная прогиба запишется в виде

(15)

Для осевых перемещений u принимаем линейную зависимость от x:

(16)

Тогда осевая деформация ε0 будет определяться следующим образом:

(17)

Подставив (15) и (17) в (9) и (12), получим следующее выражение для потенциальной энергии железобетонного элемента:

(18)

где – матрица жесткости, которая имеет блочную структуру; – вклад деформаций ползучести бетона в вектор узловых нагрузок;

где – жесткость приведенного сечения при центральном растяжении (сжатии); – жесткость приведенного сечения при изгибе.

(19)

Окончательно задача сводится к системе линейных алгебраических уравнений, имеющей вид

(20)

где {Fq} – вектор внешних узловых нагрузок.

Определение деформаций ползучести. В соответствии с выбранной реологической моделью деформация ползучести бетона определяется следующим образом:

(21)

где

Найдем производную каждой составляющей по времени:

(22)

Методика решения задачи. Рассматриваемый временной интервал разбивается на n шагов Δt, а поперечное сечение каждого элемента по высоте на m частей Δy. На первом шаге выполняется решение упругой задачи . По найденным перемещениям вычисляются напряжения, а по напряжениям находятся скорости роста составляющих и по формулам (22). Компоненты деформации ползучести в момент времени t + Δt определяются при помощи линейной аппроксимации.

Была решена модельная задача при следующих исходных данных: пролет арки L = 16 м, подъем f = 3,2 м, b = 20 см, h = 40 см, τ0 = 28 сут, Eb(τ0) = 3∙104 МПа, реологические константы α = 0,032, γ = 0,062, C = 3,77∙10–5 МПа–1, B = 5,68∙10–5 МПа–1, коэффициент армирования ES = 2∙105 МПа.

Рис. 3 – изменение напряжений в бетоне в середине пролёта. Рис. 4–5 – соответственно графики изменения напряжений в арматуре у верхней и нижней грани.

Из рис. 3–5 видно, что вследствие ползучести бетона происходит перераспределение напряжений: в бетоне напряжения по абсолютному значению снижаются, а в арматуре возрастают. У верхней грани наиболее существенно меняются напряжения в середине пролета: в арматуре сжимающие напряжения возрастают с 52,48 до 97,46 МПа, а в бетоне убывают с 8,27 до 6,84 МПа.

У нижней грани наиболее значительное перераспределение происходит в сечениях x = 0 и x = l: в арматуре сжимающие напряжения σS возрастают с 70,7 до 131,4 МПа, а в бетоне убывают с 11,3 до 9,35 МПа.

Рис. 3. Изменение напряжений в бетоне по высоте сечения при

Рис. 4. Изменение напряжений в арматуре у верхней грани

Рис. 5. Изменение напряжений в арматуре у нижней грани

Таким образом, даже линейная ползучесть бетона оказывает существенное влияние на напряженно-деформированное состояние железобетонных арок. В рассмотренном примере напряжения в арматуре у верхней грани в середине пролета возросли в 1,85 раз.

Рецензенты:

Бескопыльный А.Н., д.т.н., профессор кафедры технической эксплуатации и сервиса автомобилей и оборудования, проректор по учебной работе, Ростовский государственный строительный университет, г. Ростов-на-Дону;

Маилян Д.Р., д.т.н., профессор, заведующий кафедрой «Железобетонные и каменные конструкции», ФГБОУ ВПО «Ростовский государственный строительный университет», г. Ростов-на-Дону.

Работа поступила в редакцию 04.02.2015.