Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,749

THE REORGANIZATION OF SOLUTIONS OF RECURRENT MULTIPLICATIVE EQUATION OF THE SECOND ORDER

Abakumova S.I. 1 Rudenko V.G. 1 Strigun N.S. 1
1 North Caucasian Federal University branch
1500 KB
Background. Methods of the decision of the linear recurrence correlations (the revocable equations) are well designed nowadays. The Nonlinear recurrence equations, being of interest, dare the numerical methods. The Purpose. Find the analytical decisions of the nonlinear equations. Material and methods. Special class of the nonlinear recurrence correlations – any multiplicative equations is discovered. Their decisions we can get in analytical type that allows to get analytically realignment of the decisions when change parameter. Results. Method of the decision of such equations by by information them to system linear recurrence (revocable) of the equations is Offered. The decisions of such equations were found. Under different importance parameters. Periodic numeric sequences are Received with different importance periods. Conclusions. We can get analytical solving that are powerfully nonlinear In multiplicative equations. We can analytically consider their change and it is the importance for different sections nonlinear process.
recurrent
multiplicative equation
reorganization
solution
1. Abakumova S.I., Rudenko V.G. Issledovanie multiplikativnogo uravneniya vtorogo poryadka. XVII mezhdunarodnaya nauchno-tekhnicheskayakonferentsiya «Sostoyanie b perspektivy razvitiya elektrotekhnologii», 29–30 maya 2013? III tom «elektrotekhnika», s/ 312-314, IGEU, Ivanovo 2013.
2. Landay l.D., Lifshic E.M. Teoreticyeskay fizika: uchebnoe posobie v 10 t., t. VI Gidrodinamika. Moskva:, Nauka. 1986. рр. 169–183.
3. Rudenko V.G., Timchenko O.V. Elastichnost mnogofaktornykh ekonomicheskikh pokazateley// Nauchnye trudy № 32 (chast 4) «Dni nauki»- Pyatigorsk: PGTU? 2009. рр. 114–119.
4. Figenbaum M. Universalnoe povedenie v nelineynykh sistemakh, UFN, 1983, t.141, vyp. 2, рр. 343–374.
5. Figenbaum M. J. Univercal behaviour in nonlinear systems.-Los Alamos Sci.1980. no. 1, pp. 4–27.

Рассмотрение различных вопросов нелинейной динамики позволило по-новому посмотреть на соотношение непрерывного и дискретного при описании нелинейных процессов. Обнаруженное в 1980 г. М. Фейгенбаумом [1] сложное поведение сравнительно простого одномерного нелинейного отображения avakum001.wmf, n = 1, 2, ..., дающего при λ < 4 отображение отрезка [0, 1] в себя, было сразу замечено и использовано для разработки различных сценариев поведения нелинейных систем [2, 3], для уточнения таких понятий, как предельный цикл, аттрактор, область притяжения, бифуркации и т.п., универсальное поведение. Бифуркации удвоения периода, обнаруженные Фейгенбаумом стали одним из сценариев развития турбулентности в гидродинамике. Отметим, что исследование проведенное Фейгенбаумом – численное исследование при различных λ этого отображения.

Здесь мы хотели бы привлечь внимание к одному, пока еще не востребованному, классу нелинейных уравнений, в которых регулярным образом можно получать решение в явном виде и тем самым аналитически выяснить зависимость решений от параметров модели, аналитически проследить перестройку решений при их изменении. Речь идет о мультипликативном рекуррентном автономном уравнении k-го порядка вида:

avakum002.wmf, n = 1, 2, ..., (1)

x1 = a1, x2 = a2, …, xk = ak, (1*)

в котором g > 0, ai > 0, i = 1, 2, ..., k, δj Î R, (j = 0, 1, ..., k – 1). Величины ai – начальные данные, а g и δj будем рассматривать как параметры модели (1).

Вид модели (1) с начальными условиями (1*) подсказывает, что решение (1) следует искать в виде

avakum003.wmf, n = 1, 2, ..., при выполнении (1*). (2)

Искомая функция

xn = x(n, a1, a2, …, ak, δ0, δ1, …, δk–1)

будет определяться k + 1 функциями: k функциями αi(n) (i = 1, 2, …, k) и функцией γ(n) натурального аргумента.

Для нахождения функций αi(n) получаем – линейных однородных рекуррентных уравнений k-го порядка

avakum004.wmf (3)

c начальными условиями

avakum005.wmf i, m = 1, 2, ..., k, (3*)

а для γ(n) – линейное неоднородное рекуррентное уравнение k-го порядка

avakum006.wmf (4)

c нулевыми начальными условиями

γ(i) = 0, i = 1, 2, …, k. (4*)

Начальные условия (3*) и (4*) следуют из (2) и (1*).

Общее решение однородного линейного рекуррентного уравнения есть линейная комбинация k его частных линейно независимых решений, для нахождения которых нужно составить и решить характеристическое алгебраическое уравнение k-й степени с коэффициентами δ0, δ1, ..., δk–1.

Таким образом, аналитическое решение уравнения (1) с начальными условиями (1*) возможно в той мере, в какой возможно найти решение соответствующего характеристического алгебраического уравнения. В этой связи особое место среди мультипликативных уравнений (1) занимают уравнения второго и третьего порядков. Исследуем подробно уравнение второго порядка этого вида:

avakum007.wmf, n = 1, 2, ...; (5)

x1 = a > 0, x2 = b > 0, δ0, δ1 ∈ R.

Решение его ищем в виде (здесь a1 = a, a2 = b)

avakum008.wmf. (6)

Для показателей αn и βn получаем линейные однородные рекуррентные уравнения второго порядка

αn+2 = δ1αn+1 + δ0αn, α1 = 1, α2 = 0; (7)

βn+2 = δ1βn+1 + δ0βn, β1 = 0, β2 = 1. (7*)

Их частные решения ищем в виде αn = βn = qn, n = 1, 2, ..., и для q получаем характеристическое уравнение

avakum009.wmf.

Его решение

avakum010.wmf.

Случай 1. Корни действительные, различные,

avakum011.wmf

и

avakum012.wmf

avakum013.wmf.

Общее решение тогда запишется в виде

avakum014.wmf

avakum015.wmf (8)

Для нахождения постоянных линейной комбинации имеем системы

avakum016.wmf

и

avakum017.wmf

Решая, находим

avakum018.wmf

avakum019.wmf

avakum020.wmf

avakum021.wmf

С учетом этого получаем

avakum022.wmf n = 2, 3, ...; (8*)

avakum023.wmf n = 1, 2, ... (8**)

Случай 2. Корни комплексные,

avakum024.wmf, avakum025.wmf.

Тогда

avakum026.wmf;

avakum027.wmf. (9)

Запишем корни в виде

avakum028.wmf и avakum029.wmf, (9*)

где avakum030.wmf (10)

Если δ1 > 0, то

avakum031.wmf (10*)

Если δ1 < 0, то

avakum032.wmf (10**)

Общее решение αn и βn дается формулами (8), постоянные линейных комбинаций легко находятся, получаем

avakum033.wmf, n = 1, 2, ...; (11)

avakum034.wmf, n = 1, 2, ... (11*)

Значения ϖ и avakum035.wmf определяются комбинацией avakum036.wmf с учетом требований avakum037.wmf и δ0 < 0; «амплитуды» колебаний αn и βk меняются по закону avakum038.wmf с изменением n и при δ0 = –1 от n не зависят. Зафиксировав значение avakum039.wmf, мы тем самым фиксируем ϖ и T. Другими словами, если avakum040.wmf, то

α n+T = αn, β n+T = βn, n = 1, 2, ...,

если avakum041.wmf, то

avakum042.wmf, avakum043.wmf, n = 1, 2, ...,

Случай 3.

avakum044.wmf avakum045.wmf

В этом случае

avakum046.wmf

avakum047.wmf n = 1, 2, ...,

avakum048.wmf avakum049.wmf avakum050.wmf

avakum051.wmf avakum052.wmf

avakum053.wmf n = 1, 2, ... (12)

Для нахождения γn получаем неоднородное линейное рекуррентное соотношение второго порядка с нулевыми начальными условиями

avakum054.wmf, n = 1, 2, ..., (13)

γ1 = 0, γ2 = 0, схема решения которого хорошо известна. При рассмотрении конкретного вида (5) удобнее все выкладки проводить с самого начала, а не пользоваться готовыми формулами.

Рассмотрим случай с δ0 = –1, δ1 = 1. Непосредственно легко убедиться, что уравнение

avakum055.wmf, n = 1, 2, ...,

x1 = a, x2 = b (14)

задает периодическую последовательность с периодом Т = 6 и частотой avakum056.wmf.

(xn): avakum058.wmf (15)

Члены этой последовательности имеют вид avakum059.wmf и с учетом (15) находим, что показатели γn, αn, βn – периодические, с периодом Т = 6

n): 0, 0, 1, 2, 2, 1; 0, 0, 1, 2, 2, 1;…

n): 1, 0, –1, –1, 0, 1; 1, 0, –1, –1, 0, 1; … (16)

n): 0, 1, 1, 0, –1, –1; 0, 1, 1, 0, –1, –1; …

Для любого n имеет место равенство

γn + αn + βn = 1, n = 1, 2, ...

Найдем аналитическую запись решения (15). Имеем

avakum060.wmf. (17)

Получаем для определения показателей линейные рекуррентные уравнения

α n + 2 = α n + 1 – αn, α1 = 1, α2 = 0;

β n + 2 = β n + 1 – βn, β1 = 0, β2 = 1;

γ n + 2 = γ n + 1 – γ n + 1, γ1 = 0, γ2 = 1.

Характеристическое уравнение для этих уравнений имеет вид: avakum061.wmf, а его корни:

avakum062.wmf;

avakum063.wmf

дают два частных решения avakum064.wmf и avakum065.wmf. Запишем общие решения этих уравнений и начальные условия:

avakum066.wmf α1 = 1, α2 = 0;

avakum067.wmf β1 = 0, β2 = 1;

avakum068.wmf, γ1 = 0, γ2 = 0.

Определяя постоянные линейной комбинации, находим явные выражения для функций αn, βn, γn:

avakum069.wmf, n = 1, 2, ...;

avakum070.wmf, n = 1, 2, ...;

avakum071.wmf, n = 1, 2, ... (18)

Решение уравнения (14), задаваемое формулами (17), (18), определяет функцию x = x(a, b, k, n). При фиксированных a, b, k она определяет периодическую числовую последовательность (5). Структура шести членов последовательности, составляющих период avakum072.wmf, такова, что изменение одного из этих трех параметров вызывает изменение только четырех чисел из этой шестерки.

Частные эластичности этой функции по трем переменным будут равны соответствующим показателям:

avakum073.wmf

avakum074.wmf

avakum075.wmf (19)

но полная эластичность этой функции [5]

avakum076.wmf:

изменение всех параметров функции на 1 % вызовет изменение членов ряда (17) тоже на 1 %.

Рассмотренному случаю δ0 = –1, δ1 = 1 отвечает значение avakum077.wmf и согласно (10) avakum078.wmf, так что avakum079.wmf. Но значение avakum080.wmf может достигаться и при других комбинациях δ0 и δ1, так для avakum081.wmf и δ0 = –2 имеем avakum082.wmf, так что avakum083.wmf и Т = 6. В этом случае мы имеем дело с уравнением (k = g = 1)

avakum084.wmf n = 1, 2, …, x1 = a, x2 = b

записано с помощью (11) и (11*):

avakum085.wmf n = 1, 2, ...; (20)

avakum086.wmf n = 1, 2, ... (20*)

Убеждаемся, что

avakum087.wmf , n = 1, 2, ...

В качестве следующего примера рассмотрим случай, когда avakum088.wmf. Тогда при δ1 > 0 tgw = 1, соответственно avakum089.wmf, а avakum090.wmf. Если δ0 = –1, avakum091.wmf, то уравнение

avakum092.wmf, x1 = a, x2 = b (21)

определяет периодическую числовую последовательность с периодом Т = 8, описываемую формулами

avakum093.wmf avakum094.wmf

avakum095.wmf n = 1, 2, ... (22)

В этом случае |δ0| = 1, так что

α n + 8 = αn, β n + 8 = βn, n = 1, 2, ...

Если avakum098.wmf, но δ0 ≠ –1 и δ1 > 0, то

avakum099.wmf n = 1, 2, ...

avakum100.wmf n = 1, 2, ... (23)

Возьмем δ0 = –2, δ1 = 2 > 0, avakum101.wmf, тогда для последовательности

avakum102.wmf, n = 1, 2, ...,

x1 = a, x2 = b. (24)

Получаем

avakum103.wmf

avakum104.wmf n = 1, 2, ...

В этом случае

avakum105.wmf

avakum106.wmf n = 1, 2, ...

Соответственно, xn+8 = (xn)16 – восемь чисел очередного цикла получаются возведением в 16-ю степень чисел предыдущего цикла. Числа первой восьмерки этой последовательности

(xn): avakum108.wmf

Если a = b, то (xn):

avakum110.wmf

Если a ≠ 1, то при n → ∞, три числа из восьмерки цикла стремятся к нулю, три к бесконечности, два остаются равными единице.

Совсем по-другому ведут себя числа восьмерки цикла, если avakum111.wmf, δ1 = 1 > 0 avakum112.wmf.

Имеем

avakum113.wmf, n = 1, 2, ..., x1 = a, x2 = b. (26)

В этом случае

avakum114.wmf, n = 1, 2, ...

avakum115.wmf, n = 1, 2, ... (27)

Находим, что

avakum116.wmf, avakum117.wmf,

avakum118.wmf

Если avakum119.wmf и δ1 > 0, то avakum120.wmf; avakum121.wmf, а T = 12. Но при δ1 = –1, δ1 = –1 имеем avakum122.wmf и Т = 3.

Если δ1 = δ0 = 1, то для уравнения

x n+2 = xnxn+1, n = 1, 2, ..., x1 = a, x2 = b.

Находим avakum123.wmf и

α n+2 = α n+1 + αn, α1 = 1, α2 = 0;

β n+2 = β n+1 + βn, β1 = 0, β2 = 1.

Оба уравнения определяют последовательность Фибоначчи с начальными данными 1,0 для αn и 0,1 для βn.

Проведенный здесь анализ свидетельствует о возможности аналитически изучать перестройку решений этого класса уравнений при изменении параметров модели.

Рецензенты:

Алтухов В.И., д.ф.-м.н., профессор, ведущий научный сотрудник отдела стратегического и инновационного развития СКФУ, филиал, г. Пятигорск;

Казуб В.Т., д.т.н., профессор, заведующий кафедрой физики и математики Пятигорского медико-фармацевтического института, филиал ГБОУ ВПО ВолгГМУ Минздрава РФ, г. Пятигорск.

Работа поступила в редакцию 05.08.2014.