Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,749

TO THE QUESTON ON THE MOTION OF A RIGID BODY OF VARIABLE MASS WITH A FIXED POINT

Коnchina L.V. 1
1 The Smolensk branch of National Research University «MEI»
1010 KB
It is considered the motion of a heavy rigid body about a fixed point under the action of alternating directions in this article. The direction of the additional forces is parallel to the line, lying in a motionless horizontal plane perpendicular to the line of nodes. The point of force application moves during the relative motion of a rigid body. The center of mass of a rigid body is in the Equatorial plane of the ellipsoid inertia of the body during its motion. In the article are shown the differential equations of the considered motion (dynamic and kinematic equation of Euler), obtained by the author previously. To study the stability of the motion of a rigid body three first integrals of motion are received, one of the particular recorded solutions of the system of differential equations of motion of a body. With using Chetaeva’s method of integral ligaments are given stability conditions on the variable for the case of equality to zero at the moment of reactive forces.
rigid body with the fixed point
the resistance movement
the first integral
the Euler angles
1. Beletsky V.V., Khentov A.A. Rotational motion of t magnetized satellite. M.: Nauka, 1985.
2. Konchina L.V. Motion of a solid body with variable mass under the action of force with variable direction // Mezhdunarodnyj zhurnal eksperimental’nogo obrazovanija. 2011, no. 7, pр. 25–25.
3. Bochkovaya L.F. An integrable case of the equations of motion of a body with variable mass with one fixed point // Dinamika tvjordogo tela. Alma-Ata, 1988.
4. Konchina L.V. One case of motion of a solid body with variable mass under the action of variable direction // Proceedings of international scientific-practical conference of scientists RGAU – MSHA, LNAU. Moskow-Lugansk, Vol. 6, 2012. pp. 45–50.
5. Konchina L.V., Tulegenova K.B. Mathematical modeling of the motion of solids with fastened point under the force of variable direction // Mathematical Modeling of Ecological Systems. Almaty, 2003, рр. 142.

Решение задачи о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки представляет собой одну из интереснейших задач динамики твёрдого тела. На сегодняшний день имеются значительные результаты, полученные при ее решении в течение более двух столетий. Связывая между собой определенным образом осевые моменты инерции, Л. Эйлер, Ж. Лагранж, С.В. Ковалевская нашли четвертый интеграл системы дифференциальных уравнений движения тела. В дальнейшем работы велись в направлении определения решений для случаев, когда накладывались некоторые ограничения на начальные условия задачи (случаи В. Гесса – Г.Г. Аппельрота, Д.Н. Горячева – С.А. Чаплыгина, Д.К. Бобылева – В.А. Стеклова и другие).

В данной работе приведено частное решение уравнений движения симметричного твердого тела переменной массы с закрепленной точкой, на которое действует дополнительная сила переменного направления, параллельного линии, лежащей в неподвижной горизонтальной плоскости перпендикулярно линии узлов. Предполагается:

  1. относительные скорости отбрасываемых частиц равны нулю;
  2. главные оси инерции тела для неподвижной точки относительно твёрдого тела не перемещаются;
  3. в рассматриваемом промежутке времени между главными моментами инерции тела выполняется соотношение 2А = В (случай аналогичен случаю Д.К. Бобылева – В.А. Стеклова). Кроме того, во всё время движения центр масс твёрдого тела находится на оси «y» в экваториальной плоскости эллипсоида инерции, так что координаты центра масс тела konch01.wmf, а точка приложения дополнительной силы konch02.wmf – в экваториальной плоскости эллипсоида инерции перпендикулярно линии узлов (точка приложения силы перемещается во всё время движения относительно твёрдого тела).

Дифференциальные уравнения движения тяжелого твердого тела переменной массы (динамические уравнения Эйлера) с закрепленной точкой в общем случае, если момент реактивных сил равен нулю, согласно [1, 2, 3], имеют вид

konch03.wmf (1)

где x, y, z – подвижные оси, неизменно связанные с телом; p, q, r – проекции вектора угловой скорости вращения тела на оси подвижной системы координат, совпадающие в каждый момент времени с главными осями эллипсоида инерции, построенного для неподвижной точки О; konch04.wmf – проекции вектора угловой скорости вращения на оси, совпадающие с главными осями эллипсоида инерции для неподвижной точки.

Динамические уравнения Эйлера для рассматриваемого твёрдого тела примут вид [4]

konch06.wmf (2)

где

konch07.wmf – направляющие косинусы силы konch08.wmf переменного направления; γ1, γ2, γ3 – направляющие косинусы силы тяжести; y′ – алгебраическое значение радиус-вектора точки приложения силы.

Таким образом, динамические уравнения Эйлера можно представить следующим образом [3, 5]:

konch09.wmf (3)

Для решения задачи к динамическим уравнениям Эйлера присоединяем кинематические уравнения

konch10.wmf (4)

или уравнения Пуассона

konch11.wmf (5)

konch13.wmf (6)

где konch14.wmf – алгебраическое значение угловой скорости прецессии; konch15.wmf – проекции единичного вектора линии узлов на оси подвижной системы координат.

В случае движения тяжёлого твёрдого тела переменной массы под действием силы переменного направления для получения интеграла энергии введем следующие ограничения:

konch16.wmf (7)

konch17.wmf (8)

Интеграл энергии при условиях (7), (8) примет вид

konch18.wmf (9)

Тривиальный интеграл запишем в виде:

konch19.wmf

или

konch20.wmf (10)

Из теоремы об изменении кинетического момента получаем ещё один первый интеграл

konch21.wmf (11)

Последний первый интеграл в общем случае получить не удаётся.

Для исследования устойчивости движения твёрдого тела запишем частное решение системы (3), (5) в виде [2]:

konch22.wmf konch24.wmf (12)

положив

konch25.wmf konch26.wmf konch27.wmf

konch28.wmf konch29.wmf konch30.wmf (13)

konch31.wmf konch32.wmf

konch33.wmf konch34.wmf konch35.wmf

Используя метод интегральных связок Четаева, интегралы (9), (10), (11) запишем в виде:

konch36.wmf

konch37.wmf (14)

konch38.wmf

Следовательно, связку интегралов в общем виде можно представить:

konch40.wmf (15)

где λ1, λ2 – произвольные постоянные, которые следует соответствующим образом выбрать.

Для исключения линейных членов необходимо выполнение равенств

konch41.wmf (16)

konch42.wmf (17)

Таким образом,

konch43.wmf (18)

После преобразований связка интегралов примет вид

konch45.wmf (19)

Разобьём функцию V на три функции

konch46.wmf (20)

konch47.wmf (21)

konch48.wmf (22)

Далее необходимо добиться определённо-положительности этих трёх форм. Запишем условие Сильвестра для функции V1

konch49.wmf konch50.wmf (23)

Таким образом, функция V1 > 0, следовательно, устойчивость параметров p и γ1 доказана.

Условие положительности форм V2 и V3 заключается в выполнении неравенств

konch51.wmf (24)

konch52.wmf (25)

Неравенства (24) и (25) выполняются при условиях:

konch53.wmf

konch54.wmf (26)

konch56.wmf

konch57.wmf (27)

Вторые равенства в (26) и (27) могут быть обеспечены выбором yC и y1.

Условия положительности первых форм этих же равенств обеспечивают условия Сильвестра, которые для (26) имеют вид:

konch58.wmf konch59.wmf (28)

для (27):

konch60.wmf konch61.wmf (29)

Итак, выполнение условий (26), (27) и (28), (29) является достаточным для устойчивости по переменным q, r, γ2, γ3.

Рецензенты:

Денисов В.Н., д.т.н., доцент, кафедра «Высшая математика», Смоленский филиал национального исследовательского университета «МЭИ», г. Смоленск;

Омаров Т.И., д.т.н., доцент, кафедра «Прикладная механика и основы конструирования машин» Казахский национальный технический университет, г. Алматы.

Работа поступила в редакцию 15.05.2014.