Решение задачи о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки представляет собой одну из интереснейших задач динамики твёрдого тела. На сегодняшний день имеются значительные результаты, полученные при ее решении в течение более двух столетий. Связывая между собой определенным образом осевые моменты инерции, Л. Эйлер, Ж. Лагранж, С.В. Ковалевская нашли четвертый интеграл системы дифференциальных уравнений движения тела. В дальнейшем работы велись в направлении определения решений для случаев, когда накладывались некоторые ограничения на начальные условия задачи (случаи В. Гесса – Г.Г. Аппельрота, Д.Н. Горячева – С.А. Чаплыгина, Д.К. Бобылева – В.А. Стеклова и другие).
В данной работе приведено частное решение уравнений движения симметричного твердого тела переменной массы с закрепленной точкой, на которое действует дополнительная сила переменного направления, параллельного линии, лежащей в неподвижной горизонтальной плоскости перпендикулярно линии узлов. Предполагается:
- относительные скорости отбрасываемых частиц равны нулю;
- главные оси инерции тела для неподвижной точки относительно твёрдого тела не перемещаются;
- в рассматриваемом промежутке времени между главными моментами инерции тела выполняется соотношение 2А = В (случай аналогичен случаю Д.К. Бобылева – В.А. Стеклова). Кроме того, во всё время движения центр масс твёрдого тела находится на оси «y» в экваториальной плоскости эллипсоида инерции, так что координаты центра масс тела
, а точка приложения дополнительной силы 
– в экваториальной плоскости эллипсоида инерции перпендикулярно линии узлов (точка приложения силы перемещается во всё время движения относительно твёрдого тела).
Дифференциальные уравнения движения тяжелого твердого тела переменной массы (динамические уравнения Эйлера) с закрепленной точкой в общем случае, если момент реактивных сил равен нулю, согласно [1, 2, 3], имеют вид
(1)
где x, y, z – подвижные оси, неизменно связанные с телом; p, q, r – проекции вектора угловой скорости вращения тела на оси подвижной системы координат, совпадающие в каждый момент времени с главными осями эллипсоида инерции, построенного для неподвижной точки О; 
– проекции вектора угловой скорости вращения на оси, совпадающие с главными осями эллипсоида инерции для неподвижной точки.
Динамические уравнения Эйлера для рассматриваемого твёрдого тела примут вид [4]
(2)
где
– направляющие косинусы силы 
переменного направления; γ1, γ2, γ3 – направляющие косинусы силы тяжести; y′ – алгебраическое значение радиус-вектора точки приложения силы.
Таким образом, динамические уравнения Эйлера можно представить следующим образом [3, 5]:
(3)
Для решения задачи к динамическим уравнениям Эйлера присоединяем кинематические уравнения
(4)
или уравнения Пуассона
(5)
(6)
где 
– алгебраическое значение угловой скорости прецессии; 
– проекции единичного вектора линии узлов на оси подвижной системы координат.
В случае движения тяжёлого твёрдого тела переменной массы под действием силы переменного направления для получения интеграла энергии введем следующие ограничения:
(7)
(8)
Интеграл энергии при условиях (7), (8) примет вид
(9)
Тривиальный интеграл запишем в виде:
или
(10)
Из теоремы об изменении кинетического момента получаем ещё один первый интеграл
(11)
Последний первый интеграл в общем случае получить не удаётся.
Для исследования устойчивости движения твёрдого тела запишем частное решение системы (3), (5) в виде [2]:
(12)
положив
(13)
Используя метод интегральных связок Четаева, интегралы (9), (10), (11) запишем в виде:
(14)
Следовательно, связку интегралов в общем виде можно представить:
(15)
где λ1, λ2 – произвольные постоянные, которые следует соответствующим образом выбрать.
Для исключения линейных членов необходимо выполнение равенств
(16)
(17)
Таким образом,
(18)
После преобразований связка интегралов примет вид
(19)
Разобьём функцию V на три функции
(20)
(21)
(22)
Далее необходимо добиться определённо-положительности этих трёх форм. Запишем условие Сильвестра для функции V1
(23)
Таким образом, функция V1 > 0, следовательно, устойчивость параметров p и γ1 доказана.
Условие положительности форм V2 и V3 заключается в выполнении неравенств
(24)
(25)
Неравенства (24) и (25) выполняются при условиях:
(26)
(27)
Вторые равенства в (26) и (27) могут быть обеспечены выбором yC и y1.
Условия положительности первых форм этих же равенств обеспечивают условия Сильвестра, которые для (26) имеют вид:
(28)
для (27):
(29)
Итак, выполнение условий (26), (27) и (28), (29) является достаточным для устойчивости по переменным q, r, γ2, γ3.
Рецензенты:
Денисов В.Н., д.т.н., доцент, кафедра «Высшая математика», Смоленский филиал национального исследовательского университета «МЭИ», г. Смоленск;
Омаров Т.И., д.т.н., доцент, кафедра «Прикладная механика и основы конструирования машин» Казахский национальный технический университет, г. Алматы.
Работа поступила в редакцию 15.05.2014.