Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,749

К ВОПРОСУ О ДВИЖЕНИИ ТЯЖЕЛОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ С ЗАКРЕПЛЕННОЙ ТОЧКОЙ

Кончина Л.В. 1
1 ФГБОУ ВПО «Национальный исследовательский университет “Московский энергетический институт”»
Рассматривается движение тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки под действием силы переменного направления. Направление дополнительной силы параллельно линии, лежащей в неподвижной горизонтальной плоскости перпендикулярно к линии узлов. Точка приложения силы перемещается во все время движения относительно твердого тела. Центр масс твердого тела находится в экваториальной плоскости эллипсоида инерции тела во все время его движения. В работе приведены дифференциальные уравнения рассматриваемого движения (динамические и кинематические уравнения Эйлера), полученные автором ранее. Для исследования устойчивости движения твердого тела получены три первых интеграла движения, записано одно из частных решений системы дифференциальных уравнений движения тела. С помощью метода интегральных связок Четаева записаны условия устойчивости по переменным для случая равенства нулю момента реактивных сил.
твердое тело с закрепленной точкой
устойчивость движения
первый интеграл
углы Эйлера
1. Белецкий В.В., Хентов А.А. Вращательное движение намагниченного спутника. – М.: Наука, 1985.
2. Кончина Л.В. Движение тяжелого твердого тела переменной массы под действием силы переменного направления // Международный журнал экспериментального образования. – 2011. – № 7. – С. 25–25.
3. Бочковая Л.Ф. Об одном интегрируемом случае урав-нений движения тела переменной массы с одной закреплённой точкой // Динамика твёрдого тела. – Алма-Ата, 1988.
4. Кончина Л.В. Один случай движения тяжелого твердого тела переменной массы под действием силы переменного направления // Научные труды международной научно-практической конференции ученых РГАУ-МСХА, ЛНАУ. – Москва-Луганск, 2012. – Т. 6. – С. 45–50.
5. Konchina L.V., Tulegenova K.B. Mathematical modeling of the motion of solids with fastened point under the force of variable direction // Mathematical Modeling of Ecological Systems. – Almaty, 2003. – Р. 142.

Решение задачи о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки представляет собой одну из интереснейших задач динамики твёрдого тела. На сегодняшний день имеются значительные результаты, полученные при ее решении в течение более двух столетий. Связывая между собой определенным образом осевые моменты инерции, Л. Эйлер, Ж. Лагранж, С.В. Ковалевская нашли четвертый интеграл системы дифференциальных уравнений движения тела. В дальнейшем работы велись в направлении определения решений для случаев, когда накладывались некоторые ограничения на начальные условия задачи (случаи В. Гесса – Г.Г. Аппельрота, Д.Н. Горячева – С.А. Чаплыгина, Д.К. Бобылева – В.А. Стеклова и другие).

В данной работе приведено частное решение уравнений движения симметричного твердого тела переменной массы с закрепленной точкой, на которое действует дополнительная сила переменного направления, параллельного линии, лежащей в неподвижной горизонтальной плоскости перпендикулярно линии узлов. Предполагается:

  1. относительные скорости отбрасываемых частиц равны нулю;
  2. главные оси инерции тела для неподвижной точки относительно твёрдого тела не перемещаются;
  3. в рассматриваемом промежутке времени между главными моментами инерции тела выполняется соотношение 2А = В (случай аналогичен случаю Д.К. Бобылева – В.А. Стеклова). Кроме того, во всё время движения центр масс твёрдого тела находится на оси «y» в экваториальной плоскости эллипсоида инерции, так что координаты центра масс тела konch01.wmf, а точка приложения дополнительной силы konch02.wmf – в экваториальной плоскости эллипсоида инерции перпендикулярно линии узлов (точка приложения силы перемещается во всё время движения относительно твёрдого тела).

Дифференциальные уравнения движения тяжелого твердого тела переменной массы (динамические уравнения Эйлера) с закрепленной точкой в общем случае, если момент реактивных сил равен нулю, согласно [1, 2, 3], имеют вид

konch03.wmf (1)

где x, y, z – подвижные оси, неизменно связанные с телом; p, q, r – проекции вектора угловой скорости вращения тела на оси подвижной системы координат, совпадающие в каждый момент времени с главными осями эллипсоида инерции, построенного для неподвижной точки О; konch04.wmf – проекции вектора угловой скорости вращения на оси, совпадающие с главными осями эллипсоида инерции для неподвижной точки.

Динамические уравнения Эйлера для рассматриваемого твёрдого тела примут вид [4]

konch06.wmf (2)

где

konch07.wmf – направляющие косинусы силы konch08.wmf переменного направления; γ1, γ2, γ3 – направляющие косинусы силы тяжести; y′ – алгебраическое значение радиус-вектора точки приложения силы.

Таким образом, динамические уравнения Эйлера можно представить следующим образом [3, 5]:

konch09.wmf (3)

Для решения задачи к динамическим уравнениям Эйлера присоединяем кинематические уравнения

konch10.wmf (4)

или уравнения Пуассона

konch11.wmf (5)

konch13.wmf (6)

где konch14.wmf – алгебраическое значение угловой скорости прецессии; konch15.wmf – проекции единичного вектора линии узлов на оси подвижной системы координат.

В случае движения тяжёлого твёрдого тела переменной массы под действием силы переменного направления для получения интеграла энергии введем следующие ограничения:

konch16.wmf (7)

konch17.wmf (8)

Интеграл энергии при условиях (7), (8) примет вид

konch18.wmf (9)

Тривиальный интеграл запишем в виде:

konch19.wmf

или

konch20.wmf (10)

Из теоремы об изменении кинетического момента получаем ещё один первый интеграл

konch21.wmf (11)

Последний первый интеграл в общем случае получить не удаётся.

Для исследования устойчивости движения твёрдого тела запишем частное решение системы (3), (5) в виде [2]:

konch22.wmf konch24.wmf (12)

положив

konch25.wmf konch26.wmf konch27.wmf

konch28.wmf konch29.wmf konch30.wmf (13)

konch31.wmf konch32.wmf

konch33.wmf konch34.wmf konch35.wmf

Используя метод интегральных связок Четаева, интегралы (9), (10), (11) запишем в виде:

konch36.wmf

konch37.wmf (14)

konch38.wmf

Следовательно, связку интегралов в общем виде можно представить:

konch40.wmf (15)

где λ1, λ2 – произвольные постоянные, которые следует соответствующим образом выбрать.

Для исключения линейных членов необходимо выполнение равенств

konch41.wmf (16)

konch42.wmf (17)

Таким образом,

konch43.wmf (18)

После преобразований связка интегралов примет вид

konch45.wmf (19)

Разобьём функцию V на три функции

konch46.wmf (20)

konch47.wmf (21)

konch48.wmf (22)

Далее необходимо добиться определённо-положительности этих трёх форм. Запишем условие Сильвестра для функции V1

konch49.wmf konch50.wmf (23)

Таким образом, функция V1 > 0, следовательно, устойчивость параметров p и γ1 доказана.

Условие положительности форм V2 и V3 заключается в выполнении неравенств

konch51.wmf (24)

konch52.wmf (25)

Неравенства (24) и (25) выполняются при условиях:

konch53.wmf

konch54.wmf (26)

konch56.wmf

konch57.wmf (27)

Вторые равенства в (26) и (27) могут быть обеспечены выбором yC и y1.

Условия положительности первых форм этих же равенств обеспечивают условия Сильвестра, которые для (26) имеют вид:

konch58.wmf konch59.wmf (28)

для (27):

konch60.wmf konch61.wmf (29)

Итак, выполнение условий (26), (27) и (28), (29) является достаточным для устойчивости по переменным q, r, γ2, γ3.

Рецензенты:

Денисов В.Н., д.т.н., доцент, кафедра «Высшая математика», Смоленский филиал национального исследовательского университета «МЭИ», г. Смоленск;

Омаров Т.И., д.т.н., доцент, кафедра «Прикладная механика и основы конструирования машин» Казахский национальный технический университет, г. Алматы.

Работа поступила в редакцию 15.05.2014.


Библиографическая ссылка

Кончина Л.В. К ВОПРОСУ О ДВИЖЕНИИ ТЯЖЕЛОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ С ЗАКРЕПЛЕННОЙ ТОЧКОЙ // Фундаментальные исследования. – 2014. – № 8-1. – С. 47-50;
URL: https://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=34505 (дата обращения: 29.09.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074