Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,749

MATHEMATICAL MODEL OF HYDRAULIC ACTUATOR USED FOR LINKS RALATIVE ROTATION

Bagautdinov I.N. 1 Zhuravlev E.A. 1 Bogdanov E.N. 1
1 Volga State University of Technology
The interaction between the mechanism links related by rotational pair and elements of hydraulic actuator is considered. Expressions are obtained for the generalized driving force attributed to relative rotation angle and for the analogs of rod displacement and rod velocity related them with the angle and angular velocity of links relative rotation. The vector-matrix form of these expressions facilitates there using in algorithms of automatic formation multilink mechanism dynamics equations. In the mathematical model of hydraulic subsystem balance equations of working fluid flow in view of its volume compression are used. Each one of them gives one first order differential equation for each chamber of the actuator. The results of the numerical implementation of the proposed description are presented for planar three-link mechanism driven by three valve-controlled hydraulic cylinders.
hydraulic actuator
rotational pair
generalized driving force
dynamics of multilink mechanism
numerical solution
1. Bagautdinov I.N., Shestakov Ja.I. Ocenka vlijanija neploskostnosti opornogo kol’ca oporno-povorotnogo kruga platformy mashiny LP-19V na naprjazhennoe sostoja-nie mehanizma povorota. Izvestia vuzov. Lesnoj zhurnal, 2002, no. 7, 38–44.
2. Popov D. N. Dinamika i regulirovanie gidro- i pnevmosistem. – M.: Mashinostroenie, 1976. – 424 р.
3. Chernous’ko F. L., Bolotnik N.N., Gradeckij V.G. Manipuljacionnye roboty: dinamika, upravlenie, optimizacija. M.: Nauka, 1989. 368 р.
4. Luh J.Y.S., Walker M.W., Paul R.P.C. On-line computational scheme for mechanical manipulators. Trans. ASME, J. of Dynamic Systems, Measurement & Control, vol. 102, 1980, pp. 69–76.
5. Walker M.W., Orin D.E., Efficient Dynamic Computer Simulation of Robotic Mechanisms, Trans. ASME, J. Dynamic Systems, Measurement &Control, vol. 104, 1982, pp. 205–211.

Гидравлические двигатели поступательного действия – гидроцилиндры ‒ находят широкое применение в шарнирно ‒ рычажных исполнительных механизмах для обеспечения взаимного поворота звеньев [1]. Если силовой электропривод имеет достаточно простую математическую модель, которая легко встраивается в известные способы описания динамики манипуляционных механизмов [3], то для гидравлического привода многозвенных шарнирных механизмов унифицированное описание кинематики и динамики в современной технической литературе отсутствует. Создание такого описания является целью настоящей работы.

При построении гидравлической части математической модели привода используются обычные допущения технической гидравлики и известные уравнения [2], описывающие динамику элементов привода – распределителей, трубопроводов, гидроцилиндров.

Математическая модель

Рассматривается механизм, состоящий из n жестких звеньев, последовательно связанных вращательными парами; первое звено связано вращательной парой с неподвижным основанием. Механизм приводится в движение гидравлическими двигателями G1 , G2, ..., Gn. Каждый двигатель - одноштоковый гидроцилиндр, управляющий взаимным поворотом двух смежных звеньев. В соответствии с конструкторской практикой полагаем шток k-го двигателя шарнирно связанным с k-м звеном, а его цилиндр - с (k - 1)-м звеном (рис. 1).

С каждым k-м звеном жестко свяжем правую ортогональную систему координат ОkXkYkZk, ось ОkZk которой совпадает с осью шарнира, соединяющего k-е и (k - 1)-е звенья (рис. 1). С неподвижным основанием механизма связана базовая система координат О0X0Y0Z0. Положение каждого k-го звена относительно (k - 1)-го определяется величиной qk угла его поворота (по ходу часовой стрелки) вокруг оси ОkZk, до положения в котором ось ОkXk становится параллельной плоскости Оk-1Xk-1Zk-1. В том случае, когда оси Оk-1Zk-1 и ОkZk параллельны, за qk принимается величина угла поворота k-го звена до совпадения направлений осей ОkXk и Оk-1Xk-1. В результате конфигурация механизма полностью определяется набором обобщенных координат q, q2, ..., qn.

Матрицу линейного преобразования координат трехмерного вектора из системы координат Оk-1Xk-1Yk-1Zk-1 в систему координат ОkXkYkZk обозначим Tk(qk).

pic_1.wmf

Рис. 1. Схема шарнирного сочленения смежных звеньев механизма

Введем следующие обозначения:

Lk-1 - радиус-вектор точки Оk относительно центра Оk-1; аk-1 - радиус-вектор центра шарнирного соединения цилиндра двигателя Gk со звеном k - 1 относительно центра Оk-1; bk - радиус-вектор центра шарнирного соединения штока двигателя Gk со звеном k относительно центра Оk.

Вектор Nk силы, действующей на k-е звено со стороны штока гидроцилиндра Gk, представим в виде

bagayt01.wmf (1)

Здесь Nk – алгебраическая величина силы, которая имеет положительный знак, если вектор Nk направлен от (k – 1)-го к k-му звену. Естественно задавать векторы bk и аk–1, Lk–1 в (1) их постоянными координатами в соответствующих локальных системах координат.

Очевидно, что обобщенная приводная сила Qk, соответствующая координате qk равна моменту силы Nk относительно оси ОkZk и может быть представлена в виде

bagayt02.wmf

где k – орт оси ОkZk.

C учетом (1) это выражение принимает следующий вид:

bagayt03.wmf (2)

Величина силы Nk определяется разностью давлений в полостях двигателя Gk:

bagayt04.wmf (3)

где bagayt05.wmf, bagayt06.wmf – давления рабочей жидкости в полостях гидроцилиндра Gk; bagayt07.wmf – соответствующие рабочие площади поршня. Повсюду в дальнейшем нижний индекс 1 указывает на принадлежность величины к поршневой полости двигателя, а нижний индекс 2 – к штоковой полости.

Управление работой гидравлического двигателя осуществляется при помощи гидравлического распределителя (дросселя), который обеспечивает подключение рабочей полости двигателя к напорной магистрали, а сливной полости – к сливной магистрали.

При описании работы гидравлического двигателя использовались следующие предположения:

1) давления в напорной и сливной магистралях каждого двигателя постоянны и равны pн и pс соответственно;

2) гидравлическими потерями, связанными с утечками рабочей жидкости, можно пренебречь;

3) деформация трубопроводов, вызванная изменением давления рабочей жидкости, пренебрежимо мала;

4) падение давления рабочей жидкости вдоль участков трубопроводов, соединяющих распределитель и полости двигателя, не учитывается;

5) силы сухого и вязкого трения поршней о стенки цилиндров пренебрежимо малы по сравнению с приводными силами Nk .

Для установления зависимостей давлений bagayt08.wmf, bagayt09.wmf в полостях двигателя Gk от перемещения sk его штока были использованы дифференциальные уравнения работы [2], которые выражают условия баланса расходов рабочей жидкости, поступающей от распределителя в полости гидроцилиндра с учетом её объемного сжатия. В том случае, когда рабочей является поршневая полость двигателя, эти уравнения, с учетом принятых выше допущений, приобретают следующий вид:

bagayt10.wmf

bagayt11.wmf (4)

Здесь E и ρ – модуль объемного сжатия и плотность рабочей жидкости; bagayt12.wmf, bagayt13.wmf – объемы полостей двигателя вместе с участками трубопровода, соединяющих полость с распределителем при среднем положении поршня; μk – безразмерный коэффициент окна распределителя (0 < μk ≤ 1); uk(t) – регулируемая площадь проходного сечения окна распределителя; sk(qk) – перемещение штока двигателя, выраженное через обобщенную координату qk; bagayt14.wmf – скорость штока, выраженная через обобщенную скорость bagayt15.wmf. Для перемещения sk за положительное принимается направление к звену с номером k.

В том случае, когда рабочей является штоковая полость, уравнения (4) принимают следующий вид:

bagayt16.wmf

bagayt17.wmf (5)

Используя введенные ранее векторы bk, Lk–1, аk–1 и матрицы Tk(qk), получим матричные выражения для кинематических передаточных функций sk(qk), bagayt18.wmf, входящих в (4) и (5):

bagayt19.wmf

bagayt20.wmf (6)

где dk – расстояние между центрами опорных шарниров двигателя Gk при среднем положении штока.

Добавляя к соотношениям (2), (3), (4), (5) дифференциальные уравнения динамики [4] рассматриваемого n-звенного механизма

bagayt21.wmf k = 1, …, n, (7)

а также начальные условия bagayt22.wmf bagayt23.wmf bagayt24.wmf bagayt25.wmf и программу изменения управляющих переменных – площадей проходных сечений окон распределителей uk = uk(t), t ≥ 0, получаем замкнутую систему уравнений описывающих движение механизма с гидравлическим приводом, имеющим программное дроссельное управление.

Численная реализация математической модели

В качестве примера использования предлагаемой модели выполнен расчет движения плоского трехзвенного механизма с тремя гидравлическими двигателями. Схема механизма, расположение локальных систем координат и двигателей показано на рис. 2.

pic_2.wmf

Рис. 2. Схема плоского трехзвенного исполнительного механизма

Геометрические параметры механизма: Lk = 0,8 м, bagayt26.wmf bagayt27.wmf bagayt28.wmf bagayt29.wmf bagayt30.wmf bagayt31.wmf

Массы звеньев mk = 6 кг; локальные координаты их центров масс bagayt32.wmf главные центральные моменты инерции звеньев Ik = 0,32 кг∙м2. Массы гидравлических двигателей считались пренебрежимо малыми.

Система дифференциальных уравнений динамики (7) для плоского шарнирного трехзвенного механизма была получена средствами компьютерной алгебры пакета Maple 4 на основе модифицированного рекурсивного алгоритма Ньютона ‒ Эйлера, описанного в работе [5].

Параметры гидропривода: pн = 1,5 МПа, pс = 100 кПа, bagayt33.wmf bagayt34.wmf bagayt35.wmf bagayt36.wmf μk = 0,7, dk = 0,395 м.

Характеристики рабочей жидкости: ρ = 800 кг/м3, E = 1300 МПа.

Рассматривается движение механизма в горизонтальной плоскости при начальных условиях: q1(0) = 1,396 рад; q2(0) = –0,524 рад; q3(0) = –1,222 рад; bagayt37.wmf bagayt38.wmf, (k = 1, 2, 3).

Рабочая жидкость подается в поршневую полость двигателя G1 и в штоковые полости двигателей G2, G3. Программы управления для всех распределителей одинаковы:

bagayt39.wmf

Здесь U = 10–6 м3, τ = 2 c.

Система обыкновенных дифференциальных уравнений (7), (4) 12-го порядка решалась численно методом Рунге – Кутты с постоянным временным шагом Δt = 0,05 с. Размер шага интегрирования выбирался в ходе численных экспериментов.

Результаты численного решения представлены на рис. 3–4. На рис. 3 показаны изменения обобщенных координат bagayt40.wmf

pic_3.wmf

Рис. 3. Графики изменения обобщенных координат механизма

pic_4.tif

Рис. 4. Изменение давлений в полостях двигателя G1

На рис. 4 показаны изменения давлений рабочей жидкости в полостях двигателя G1; черного цвета кривые соответствуют рабочей, а синяя – сливной полости. Наблюдаемые колебания объясняются сжимаемостью рабочей жидкости.

Заключение

Представленная математическая модель дает единообразное описание кинематики и динамики гидропривода вращательного звена механизма при произвольном расположении гидродвигателя поступательного действия. Векторные формы представления обобщенных сил (2) и передаточных функций (6) удобны для использования в алгоритмах автоматического формирования уравнений динамики механизма.

Работа выполнена в рамках ФЦП «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2014–2020 годы» Минобрнауки России.

Рецензенты:

Полянин И.А., д.т.н., профессор кафедры транспортных и технологических машин, ФГБОУ ВПО «Поволжский государственный технологический университет», г. Йошкар-Ола;

Сидыганов Ю.Н., д.т.н., профессор кафедры эксплуатации машин и оборудования, ФГБОУ ВПО «Поволжский государственный технологический университет», г. Йошкар-Ола.

Работа поступила в редакцию 15.05.2014.