Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,749

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ГИДРОПРИВОДА ВЗАИМНОГО ПОВОРОТА ЗВЕНЬЕВ ИСПОЛНИТЕЛЬНОГО МЕХАНИЗМА

Багаутдинов И.Н. 1 Журавлев Е.А. 1 Богданов Е.Н. 1
1 ФГБОУ ВПО «Поволжский государственный технологический университет»
Описано взаимодействие звеньев механизма? связанных вращательной кинематической парой? и элементов гидравлического двигателя поступательного движения. Получены выражения для приводной обобщенной силы, отнесенной к углу взаимного поворота звеньев и для передаточных функций, связывающих перемещение и скорость штока гидроцилиндра c углом и угловой скоростью относительного поворота звеньев. Векторно-матричная форма этих выражений облегчает их использование в алгоритмах автоматического формирования уравнений динамики многозвенных механизмов. В математической модели гидравлической части привода использованы уравнения баланса расходов рабочей жидкости с учетом её объемного сжатия, которые дают по одному дифференциальному уравнению первого порядка для каждой полости двигателя. Представлены результаты численной реализации предлагаемого описания для плоского трехзвенного механизма, приводимого в движение тремя гидроцилиндрами с дроссельным программным управлением.
гидропривод
вращательная пара
обобщенная приводная сила
динамика многозвенного механизма
численное решение
1. Багаутдинов И.Н., Шестаков Я.И. Оценка влияния неплоскостности опорного кольца опорно-поворотного круга платформы машины ЛП-19В на напряженное состояние механизма поворота // Известия вузов. Лесной журнал. – 2002. – № 7. – С. 38–44.
2. Попов Д.Н. Динамика и регулирование гидро- и пневмосистем. – М.: Машиностроение, 1976. – 424 с.
3. Черноусько Ф.Л., Болотник Н.Н., Градецкий В.Г. Манипуляционные роботы: динамика, управление, оптимизация. – М.: Наука, 1989. – 368 с.
4. Luh J. Y.S., Walker M.W., Paul R.P.C. On-line computational scheme for mechanical manipulators // Trans. ASME, J. of Dynamic Systems, Measurement & Control. – Vol. 102. – 1980. – Р. 69–76.
5. Walker M.W., Orin D.E., Efficient dynamic computer simulation of robotic mechanisms, Trans. ASME // J. of Dynamic Systems, Measurement & Control. – Vol. 104. – 1982. – Р. 205–211.

Гидравлические двигатели поступательного действия – гидроцилиндры ‒ находят широкое применение в шарнирно ‒ рычажных исполнительных механизмах для обеспечения взаимного поворота звеньев [1]. Если силовой электропривод имеет достаточно простую математическую модель, которая легко встраивается в известные способы описания динамики манипуляционных механизмов [3], то для гидравлического привода многозвенных шарнирных механизмов унифицированное описание кинематики и динамики в современной технической литературе отсутствует. Создание такого описания является целью настоящей работы.

При построении гидравлической части математической модели привода используются обычные допущения технической гидравлики и известные уравнения [2], описывающие динамику элементов привода – распределителей, трубопроводов, гидроцилиндров.

Математическая модель

Рассматривается механизм, состоящий из n жестких звеньев, последовательно связанных вращательными парами; первое звено связано вращательной парой с неподвижным основанием. Механизм приводится в движение гидравлическими двигателями G1 , G2, ..., Gn. Каждый двигатель - одноштоковый гидроцилиндр, управляющий взаимным поворотом двух смежных звеньев. В соответствии с конструкторской практикой полагаем шток k-го двигателя шарнирно связанным с k-м звеном, а его цилиндр - с (k - 1)-м звеном (рис. 1).

С каждым k-м звеном жестко свяжем правую ортогональную систему координат ОkXkYkZk, ось ОkZk которой совпадает с осью шарнира, соединяющего k-е и (k - 1)-е звенья (рис. 1). С неподвижным основанием механизма связана базовая система координат О0X0Y0Z0. Положение каждого k-го звена относительно (k - 1)-го определяется величиной qk угла его поворота (по ходу часовой стрелки) вокруг оси ОkZk, до положения в котором ось ОkXk становится параллельной плоскости Оk-1Xk-1Zk-1. В том случае, когда оси Оk-1Zk-1 и ОkZk параллельны, за qk принимается величина угла поворота k-го звена до совпадения направлений осей ОkXk и Оk-1Xk-1. В результате конфигурация механизма полностью определяется набором обобщенных координат q, q2, ..., qn.

Матрицу линейного преобразования координат трехмерного вектора из системы координат Оk-1Xk-1Yk-1Zk-1 в систему координат ОkXkYkZk обозначим Tk(qk).

pic_1.wmf

Рис. 1. Схема шарнирного сочленения смежных звеньев механизма

Введем следующие обозначения:

Lk-1 - радиус-вектор точки Оk относительно центра Оk-1; аk-1 - радиус-вектор центра шарнирного соединения цилиндра двигателя Gk со звеном k - 1 относительно центра Оk-1; bk - радиус-вектор центра шарнирного соединения штока двигателя Gk со звеном k относительно центра Оk.

Вектор Nk силы, действующей на k-е звено со стороны штока гидроцилиндра Gk, представим в виде

bagayt01.wmf (1)

Здесь Nk – алгебраическая величина силы, которая имеет положительный знак, если вектор Nk направлен от (k – 1)-го к k-му звену. Естественно задавать векторы bk и аk–1, Lk–1 в (1) их постоянными координатами в соответствующих локальных системах координат.

Очевидно, что обобщенная приводная сила Qk, соответствующая координате qk равна моменту силы Nk относительно оси ОkZk и может быть представлена в виде

bagayt02.wmf

где k – орт оси ОkZk.

C учетом (1) это выражение принимает следующий вид:

bagayt03.wmf (2)

Величина силы Nk определяется разностью давлений в полостях двигателя Gk:

bagayt04.wmf (3)

где bagayt05.wmf, bagayt06.wmf – давления рабочей жидкости в полостях гидроцилиндра Gk; bagayt07.wmf – соответствующие рабочие площади поршня. Повсюду в дальнейшем нижний индекс 1 указывает на принадлежность величины к поршневой полости двигателя, а нижний индекс 2 – к штоковой полости.

Управление работой гидравлического двигателя осуществляется при помощи гидравлического распределителя (дросселя), который обеспечивает подключение рабочей полости двигателя к напорной магистрали, а сливной полости – к сливной магистрали.

При описании работы гидравлического двигателя использовались следующие предположения:

1) давления в напорной и сливной магистралях каждого двигателя постоянны и равны pн и pс соответственно;

2) гидравлическими потерями, связанными с утечками рабочей жидкости, можно пренебречь;

3) деформация трубопроводов, вызванная изменением давления рабочей жидкости, пренебрежимо мала;

4) падение давления рабочей жидкости вдоль участков трубопроводов, соединяющих распределитель и полости двигателя, не учитывается;

5) силы сухого и вязкого трения поршней о стенки цилиндров пренебрежимо малы по сравнению с приводными силами Nk .

Для установления зависимостей давлений bagayt08.wmf, bagayt09.wmf в полостях двигателя Gk от перемещения sk его штока были использованы дифференциальные уравнения работы [2], которые выражают условия баланса расходов рабочей жидкости, поступающей от распределителя в полости гидроцилиндра с учетом её объемного сжатия. В том случае, когда рабочей является поршневая полость двигателя, эти уравнения, с учетом принятых выше допущений, приобретают следующий вид:

bagayt10.wmf

bagayt11.wmf (4)

Здесь E и ρ – модуль объемного сжатия и плотность рабочей жидкости; bagayt12.wmf, bagayt13.wmf – объемы полостей двигателя вместе с участками трубопровода, соединяющих полость с распределителем при среднем положении поршня; μk – безразмерный коэффициент окна распределителя (0 < μk ≤ 1); uk(t) – регулируемая площадь проходного сечения окна распределителя; sk(qk) – перемещение штока двигателя, выраженное через обобщенную координату qk; bagayt14.wmf – скорость штока, выраженная через обобщенную скорость bagayt15.wmf. Для перемещения sk за положительное принимается направление к звену с номером k.

В том случае, когда рабочей является штоковая полость, уравнения (4) принимают следующий вид:

bagayt16.wmf

bagayt17.wmf (5)

Используя введенные ранее векторы bk, Lk–1, аk–1 и матрицы Tk(qk), получим матричные выражения для кинематических передаточных функций sk(qk), bagayt18.wmf, входящих в (4) и (5):

bagayt19.wmf

bagayt20.wmf (6)

где dk – расстояние между центрами опорных шарниров двигателя Gk при среднем положении штока.

Добавляя к соотношениям (2), (3), (4), (5) дифференциальные уравнения динамики [4] рассматриваемого n-звенного механизма

bagayt21.wmf k = 1, …, n, (7)

а также начальные условия bagayt22.wmf bagayt23.wmf bagayt24.wmf bagayt25.wmf и программу изменения управляющих переменных – площадей проходных сечений окон распределителей uk = uk(t), t ≥ 0, получаем замкнутую систему уравнений описывающих движение механизма с гидравлическим приводом, имеющим программное дроссельное управление.

Численная реализация математической модели

В качестве примера использования предлагаемой модели выполнен расчет движения плоского трехзвенного механизма с тремя гидравлическими двигателями. Схема механизма, расположение локальных систем координат и двигателей показано на рис. 2.

pic_2.wmf

Рис. 2. Схема плоского трехзвенного исполнительного механизма

Геометрические параметры механизма: Lk = 0,8 м, bagayt26.wmf bagayt27.wmf bagayt28.wmf bagayt29.wmf bagayt30.wmf bagayt31.wmf

Массы звеньев mk = 6 кг; локальные координаты их центров масс bagayt32.wmf главные центральные моменты инерции звеньев Ik = 0,32 кг∙м2. Массы гидравлических двигателей считались пренебрежимо малыми.

Система дифференциальных уравнений динамики (7) для плоского шарнирного трехзвенного механизма была получена средствами компьютерной алгебры пакета Maple 4 на основе модифицированного рекурсивного алгоритма Ньютона ‒ Эйлера, описанного в работе [5].

Параметры гидропривода: pн = 1,5 МПа, pс = 100 кПа, bagayt33.wmf bagayt34.wmf bagayt35.wmf bagayt36.wmf μk = 0,7, dk = 0,395 м.

Характеристики рабочей жидкости: ρ = 800 кг/м3, E = 1300 МПа.

Рассматривается движение механизма в горизонтальной плоскости при начальных условиях: q1(0) = 1,396 рад; q2(0) = –0,524 рад; q3(0) = –1,222 рад; bagayt37.wmf bagayt38.wmf, (k = 1, 2, 3).

Рабочая жидкость подается в поршневую полость двигателя G1 и в штоковые полости двигателей G2, G3. Программы управления для всех распределителей одинаковы:

bagayt39.wmf

Здесь U = 10–6 м3, τ = 2 c.

Система обыкновенных дифференциальных уравнений (7), (4) 12-го порядка решалась численно методом Рунге – Кутты с постоянным временным шагом Δt = 0,05 с. Размер шага интегрирования выбирался в ходе численных экспериментов.

Результаты численного решения представлены на рис. 3–4. На рис. 3 показаны изменения обобщенных координат bagayt40.wmf

pic_3.wmf

Рис. 3. Графики изменения обобщенных координат механизма

pic_4.tif

Рис. 4. Изменение давлений в полостях двигателя G1

На рис. 4 показаны изменения давлений рабочей жидкости в полостях двигателя G1; черного цвета кривые соответствуют рабочей, а синяя – сливной полости. Наблюдаемые колебания объясняются сжимаемостью рабочей жидкости.

Заключение

Представленная математическая модель дает единообразное описание кинематики и динамики гидропривода вращательного звена механизма при произвольном расположении гидродвигателя поступательного действия. Векторные формы представления обобщенных сил (2) и передаточных функций (6) удобны для использования в алгоритмах автоматического формирования уравнений динамики механизма.

Работа выполнена в рамках ФЦП «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2014–2020 годы» Минобрнауки России.

Рецензенты:

Полянин И.А., д.т.н., профессор кафедры транспортных и технологических машин, ФГБОУ ВПО «Поволжский государственный технологический университет», г. Йошкар-Ола;

Сидыганов Ю.Н., д.т.н., профессор кафедры эксплуатации машин и оборудования, ФГБОУ ВПО «Поволжский государственный технологический университет», г. Йошкар-Ола.

Работа поступила в редакцию 15.05.2014.


Библиографическая ссылка

Багаутдинов И.Н., Журавлев Е.А., Богданов Е.Н. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ГИДРОПРИВОДА ВЗАИМНОГО ПОВОРОТА ЗВЕНЬЕВ ИСПОЛНИТЕЛЬНОГО МЕХАНИЗМА // Фундаментальные исследования. – 2014. – № 8-1. – С. 13-17;
URL: https://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=34499 (дата обращения: 26.09.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074