Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,749

ALGORITHMIC BASICS OF FUZZY PROCEDURE OF INTEGRATED ASSESSMENT OF DIFFERENT NATURE OBJECTS

Alekseev A.O. 1 Kalentyeva A.S. 1 Vychegzhanin A.V. 1 Klimets D.V. 1
1 Perm National Research Polytechnic University
The algorithmic basics of fuzzy procedure of integrated assessment of different nature objects are considered in the article. The algorithms described can be basic to the applied software products, or they can be realized on the base of spreadsheets included in default software packages, e.g. MS Excel, which makes these integrated assessment technologies more available for researchers being engaged in multicriteria optimization problems and decision-making in multicriteria choice challenges. The fuzzy procedure of integrated assessment is performed through the gradual convolution of arguments, which are appropriate for characteristics describing the object of assessment. Logical rules of argument integrated assessment is written as a convolution matrix. In order to assess convolution arguments as modal expert estimates, a fuzzy-set theory is used, so that, the convolution matrix can be written as a fuzzy set. Using a Zade’s principle of generalization, with regard to the convolution matrix as a fuzzy set, the output of the integrated assessment can be written as a conventional fuzzy set. Since different approaches can be used to perform set-theoretical operations on fuzzy sets, the paper describes main approaches to operations of intersection and combination of fuzzy sets, of which intersection operation should be performed by multiplying membership function values, and combination operation – by summing. This recommendation is related to the above fuzzy procedure of integrated assessment.
multicriteria problem
matrix convolutions
fuzzy sets
fuzzy integrated assessment procedure
algorithms
1. Alekseev A.O., Galiaskarov Je.R. Razvitie mehanizmov nechetkogo kompleksnogo ocenivanija [Development of fuzzy integrated assessment mechanisms] Upravlenie bol’shimi sistemami: trudy VIII Vserossijskoj shkoly-konferencii molodyh uchenyh, g. Magnitogorsk 25–27 maja 2011 g. (proc. VIII-th Russian school-conference of young scientists «Control of large systems», Magnitigorsk city, may 25–27 2011, Control science institute of Russian academy of sciences and others). Moscow, Publ. of Control science institute of Russian academy of sciences, 2011. pp. 78–83.
2. Andronikova N.G., Leont’ev S.V., Novikov D.A. Procedury nechetkogo kompleksnogo ocenivanija [Fuzzy integrated assessment procedures] Trudy mezhdunarodnoj nauchno-prakticheskoj konferencii «Sovremennye slozhnye sistemy upravlenija». (Proc. int. conf. «Modern difficult control systems», Lipeck city, Lipeckiy state technical university, march 12-14 2002), 2002. pp. 7–8.
3. Anohin A.M., Glotov V.A., Pavel’ev V.V., Cherkashin A.M. Metody opredelenija kojefficientov vazhnosti kriteriev [Determination methods of criteria importance coefficients]. Avtomatika i telemehanika. 1997. no. 8. pp. 3–35
4. Burkov V.N., Novikov D.A. Teorija aktivnyh sistem: sostojanie i perspektivy [Theory of active systems: state and prospects]. Moscow: Sinteg Publ., 1999. 128 p.
5. Burkov V.N., Novikov D.A., Shhepkin A.V. Mehanizmy upravlenija jekologo-jekonomicheskimi sistemami pod red. akademika S.N. Vasil’eva [Control mechanisms of ecology-economical systems under supervision of academician S. N. Vasilyev]. Moscow. Publ. «Izdatel’stvofiziko-matematicheskoj literatury», 2008. 244 p.
6. Varzhapetjan A.G. Kvalimetrija: Uchebnoe posobie [Qualimetry: Workbook], Saint Petersburg, Publ. of Saint Petersburg state university of aerospace instrumentation, 2005. 176 p.
7. Ju A., Aljaev S.F. Tjurin Diskretnaja matematika i matematicheskaja logika [Discrete mathematics and mathematical logics]. Moscow, Finansy i statistika Publ., 2006. 368 p.
8. Zade L. Ponjatielingvisticheskojperemennoj i ego primenenie k prinjatijupriblizhennyhreshenij [The concept of a linguistic variable and its application to the making of approximate decisions]. Moscow, MIR Publ., 1976. 167 p.
9. Haritonov V.A. [and others] Intellektual’nye tehnologii obosnovanija innovacionnyh reshenij pod red. V.A. Haritonova [Intelligent technologies of justification of innovative decisions under supervision by V.A. Kharitonov]. Perm, Publ. of Perm state technical university, 2010. 342 p.
10. Kremer N.Sh. Teorija verojatnostej i matematicheskaja statistika: Uchebnik dlja vuzov [Probability theory and mathematical statistics]. Moscow, JuNITI-DANA Publ., 2007. 573 p.
11. Pavel’ev V.V. Strukturnaja identifikacija celevoj funkcii v zadachah vybora mnogoparametricheskih ob#ektov [Structure identification of the goal function problems of selection of multiparameter plants]. Identifikacija sistem i zadach upravlenija SICPRO-12 (Proc. of IX int. conf. «System Identification and Control Problems» SICPRO-12, Moscow, January 30 – February 2, 2012), Moscow, Publ. of Control science institute of Russian academy of sciences, 2012. pp. 783–791.
12. PodinovskijV. V. Vvedenie v teoriju vazhnostikriteriev v mnogokriterial’nyh zadachah prinjatija reshenij [[Introduction to the theory of criteria importance in the multicriteria challenges of decision-making]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2007. 64 p.
13. Certificate of state registration of computer programs № 2009610220. 11.01.2009 Avtomatizirovannaja sistema operativnogo issledovanija modele job#ektov kompleksnogo ocenivanija [Automatic system for operative research of integrated assessment models] A.A. Belyh, V.A. Haritonov, R.F. Shajdulin (RU).
14. Haritonov V.A., Belyh A.A. Tehnologii sovremennogo menedzhmenta pod nauch. red. V. A. Haritonova [Technologies of contemporary management under scientific supervision by V.A. Kharitonov]. Perm: Publ. of Perm state technical university, 2007. 190 p.
15. Haritonov V.A., Vinokur I.R., Belyh A.A. Funkcional’nye vozmozhnosti mehanizmov kompleksnogo ocenivanija s topologicheskoj interpretaciej matric svertki [Functional abilities of integrated assessment mechanisms with a topological interpretation of matrix convolutions]- Upravlenie bol’shimi sistemami, 2007, Vol. 18. Moscow, Publ. of Control science institute of Russian academy of sciences, pp. 129–140. available at: www.ubs.mtas.ru.

Для решения задач многокритериальной оптимизации и принятия решений в задачах многокритериального выбора применяются различные механизмы комплексного оценивания, предназначенные для агрегирования разнородной информации об объектах сопоставления в единый комплексный (интегральный) показатель. Наличие комплексного показателя позволяет ранжировать любые объекты на всей области определения характеристик, описывающих данные объекты, и определять степень преимущества (недостатка) некоторого объекта перед другими. Это обстоятельство делает возможными описания процедуры выбора (принятия решения) субъекта и обоснования субъектно-оптимальных решений в задачах управления.

Для комплексного оценивания объектов различной природы, описываемых набором характеристик, являющихся по отношению друг к другу гетерогенными, могут использоваться взвешенные уравнения, к которым относятся квалиметрические модели (см., например [6]) модели, предлагаемые в теории важности критериев (см., например [12]). Адекватность данных методов в первую очередь зависит от корректности выбора взвешенных коэффициентов, определяющих важность отдельных критериев. Обзор методов определения коэффициентов важности приводится в работе [3].

В качестве альтернативного подхода к комплексному оцениванию может выступить известный в теории активных систем [4] механизм комплексного оценивания, основанный на деревьях целей (критериев) и бинарных матриц свертки частных критериев. В работе [15] описаны функциональные возможности, которые появляются у матричных механизмов комплексного оценивания, основанных на процедуре нечеткого комплексного оценивания. Матричная процедура нечеткого комплексного оценивания впервые была предложена в работе [2]. Развитие механизмов нечеткого комплексного оценивания описано в работе [1].

Матричные механизмы комплексного оценивания получили широкое распространение в российской литературе [1, 2, 9, 13–15] и практике комплексного оценивания. По этой причине в анализе последних исследований и публикаций представлены преимущественно работы российских ученых, опубликованные на русском языке.

Несмотря на то, что на базе процедуры нечеткого комплексного оценивания, которая будет описана ниже, уже создан ряд программных продуктов класса ДЕКОН (см., например, [13]), изначально предназначавшихся для оценивания объектов недвижимости, из-за чего и было придумано их общее название, сокращено от «Дерево Комплексного Оценивания Недвижимости», данные технологии все же не получили широкого распространения в практике, что и определило цель данной статьи. Следует отметить, что сокращенное название класса программных продуктов сохранило привязку к объектам недвижимости, но все они реализованы как универсальные вычислительные комплексы, где могут оцениваться объекты самой различной природы.

Главной целью данной статьи является разработка алгоритмов процедуры нечеткого комплексного оценивания, доступных для реализации даже на базе электронных таблиц, входящих в состав стандартных офисных программ, например, MS Excel, что в конечном счете позволит сделать данную технологию комплексного оценивания более доступной для исследователей, занимающихся проблемами многокритериальной оптимизации и принятия решений в задачах многокритериального выбора.

Комплексное оценивание осуществляется посредством последовательной свертки аргументов, соответствующих характеристикам, описывающим объект оценивания.

Свертку пары аргументов можно представить в виде матрицы M размерностью m×m, где m – максимальное значение шкалы комплексного оценивания. Для комплексного оценивания, используя матричные свертки, целесообразно использовать шкалу оценивания Х = {1, 2, 3, 4}, что делает размерность матрицы M – 4×4 (рис. 1). Далее при описании алгоритмов процедуры нечеткого комплексного оценивания и самой процедуры будем полагать, что используется именно эта шкала, хотя в некоторых работах, например [5], используется шкала {1, 2, 3}, в других, например [11] – {1, 2, 3, 4, 5}. Эффективность четырехбалльной шкалы описан в работах [9, 14].

pic_1.wmf

Рис. 1. Матрица свертки размерностью 4×4, образованная шкалами оценивания аргументов свертки

Элементы матрицы свертки mij заполнятся экспертно, где i и j номера строк и столбцов матрицы (см. рис. 1), соответственно. В общем случае элементы m11 и m44 полагаются инвариантными и равными 1 и 4, соответственно, так как при наихудшем состоянии сворачиваемых аргументов (Хi = Хj = 1) можно полагать, что свертка также будет описываться наихудшей оценкой (m11 = 1), во втором случае (Хi = Хj = 4) наилучшей (m44 = 4).

В общем случае аргумент свертки и элементы матрицы M могут быть заданы экспертом (группой экспертов) как дискретными значениями шкалы, что соответствует тому, что объект однозначно интерпретируется, а составные правила вывода в матрице формализуются в виде категорических суждений [7], так и значениями непрерывной шкалы, что соответствует модальным суждениям [7], которые можно формализовать, используя теорию нечетких множеств [8].

Под нечетким множеством понимается совокупность пар Х/μХ, в данном случае состоящих из дискретных значений оценок используемой шкалы Х = {1, 2, 3, 4} и значений функции принадлежности μХ (рис. 2), под которыми можно понимать степень уверенности эксперта в том, что оцениваемый объект описывается оценкой Х с соответствующей ей интерпретацией.

Если каждый аргумент свертки представить в виде нечетких множеств, то матрица свертки М может быть также представлена в виде нечеткого множества (рис. 3).

Для определения одного значения функции принадлежности, соответствующей элементу матрицы, необходимо использовать теоретико-множественную операцию пересечения, в соответствии с принципом обобщения Заде [8], который в общем случае для двух произвольных нечетких множеств aleks01.wmf и aleks02.wmf записывается следующим образом (1):

aleks03.wmf (1)

где xi – элемент носителей нечетких множеств aleks04.wmf и aleks05.wmf, aleks06.wmf значения функций принадлежности элемента xi нечеткому множеству aleks07.wmf и aleks08.wmf, соответственно, aleks09.wmf – операция пересечения (объединения). Согласно процедуре нечеткого комплексного оценивания теоретико-множественную операцию объединения необходимо выполнять для элементов матрицы свертки, имеющих одинаковые значения, которые образуют носитель свертки в нечетком виде.

pic_2.wmf

Рис. 2. Модель представления аргумента свертки или свертки в виде нечеткого множества

pic_3.wmf

Рис. 3. Матрица свертки M, где аргументы свертки и элементы матрицы представлены в виде нечетких множеств

Алгоритм операции пересечения нечетких множеств в процедуре нечеткого комплексного оценивания представлен на рис. 4. Алгоритм операции объединения нечетких множеств в процедуре нечеткого комплексного оценивания представлен на рис. 5.

Существует два традиционных подхода к теоретико-множественным операциям объединения и пересечения над нечеткими множествами: максиминный (2)–(3) и вероятностный (4)–(5) подходы, которые сам Л. Заде называл «жесткими» и «мягкими» [8] соответственно и не исключал возможности применения любого из них:

aleks10.wmf (2)

aleks11.wmf (3)

aleks12.wmf (4)

aleks13.wmf (5)

Следует отметить, что по аналогии с теорией вероятностей [10], в случае несвязных событий, вероятность наступления которых определяется простой суммой вероятностей этих событий, можно сформулировать еще один подход к теоретико-множественной операции объединения нечетких множеств:

aleks14.wmf (6)

pic_4.tif

Рис. 4. Алгоритм операции пересечения нечетких множеств в процедуре нечеткого комплексного оценивания

После выполнения нечеткого комплексного оценивания, используя любой подход к теоретико-множественным операциям, свертка будет представлять собой не матрицу в нечетком виде, а обычное нечеткое множество, носителем которого будет шкала комплексного оценивания. Для представления результата свертки в виде числа, принадлежащего множеству действительных чисел, в работах [9, 14, 15] предлагается использовать уравнение центра тяжести:

aleks15.wmf (7)

Авторами доказано, что, используя в процедуре нечеткого комплексного оценивания операцию пересечения (4) и объединения (6) (авторами данный подход предлагается называть аддитивно-мультипликативным), удается матричную свертку на непрерывной области определения аргументов сделать монотонной и гладкой для стандартных функций свертки и кусочно-гладкой на всем множестве определения аргументов свертки, что позволяет расширить применяемый набор инструментов исследования в задачах принятия многокритериальных решений и многокритериальной оптимизации.

В связи с вышесказанным авторы рекомендуют при создании прикладных программных комплексов использовать аддитивно-мультипликативный подход к теоретико-множественным операциям пересечения и объединения нечетких множеств, так как такой подход не обладает погрешностями процедуры нечеткого комплексного оценивания или реализовать все подходы (2)–(6) с возможностью их выбора.

pic_5.tif

Рис. 5. Алгоритм операции объединения нечетких множеств в процедуре нечеткого комплексного оценивания

Статья подготовлена при финансовой поддержке Пермского национального исследовательского политехнического университета.

Рецензенты:

Столбов В.Ю., д.т.н., профессор, декан факультета прикладной математики и механики, Пермский национальный исследовательский политехнический университет, г. Пермь;

Федосеев С.А., д.т.н., доцент, генеральный директор ЗАО «Геликон Про», г. Пермь.

Работа поступила в редакцию 18.02.2014.