При управлении рисками здоровью населения целесообразно использовать непрерывный контроль с памятью. Это обусловлено тем, что если при традиционном подходе во время использования [1, 3] планов CSP-1 и CSP-2 при обнаружении дефектного объекта - дефектный объект подлежит замене на годный объект или дефектный объект просто изымается. Когда же речь идет о контроле показателя здоровья, то дефектный показатель здоровья (например, показатель заболеваемости, превышающий заранее определенное значение) просто регистрируется. Дефектный показатель здоровья нельзя изъять или заменить на годный показатель здоровья. Суть контроля с памятью заключается в следующем.
Планом непрерывного статистического контроля с памятью назовем такой план контроля, который после наступления остановки контроля по заранее заданному правилу запоминает последний результат контроля (замера показателя здоровья) в отличие от классических планов контроля, которые после остановки контроля возобновляют контроль с нуля [4]. До начала контроля с памятью формально считается, что наблюдался дефектный объект.
Целью исследования настоящей работы является получение нижней и верхней границы математического ожидания числа проконтролированных объектов до остановки контроля по правилу остановки контроля «из последних r объектов - k дефектных» как для планов контроля без памяти (классический случай), так и для планов контроля с памятью, предложенных автором настоящей статьи.
Материал и методы исследования
На основании теории рекуррентных событий, изложенной в [2], в [4] было показано, что правило остановки контроля представимо в виде рекуррентного события Е, которое состоит в том, что появляется одно из состояний A1, A2, ..., AN, отвечающих этому событию. При этом рекуррентное соотношение для события Е имеет следующий вид:
(1)
где P(E) - вероятность появления события Е; L(Ai) - длина состояния Ai; 
- максимальная длина состояний, соответствующих событию Е; а сh - вероятность перехода за h шагов из состояний A1, A2, ..., AN в эти же состояния; 
c0 = 1, un - вероятность того, что событие Е происходит на n-м шаге контроля; u0 = 1.
Также в [3] были даны следующие определения.
Состояние А1: 
перекрывается с состоянием А2: 
основанием 
, если 
, ...,. Пусть имеются два состояния А1: и А2: и h - некоторое число шагов. Будем говорить, что из состояния A1 с началом 
и основанием 
можно перейти в состояние A2 с окончанием 
за h шагов (
; h0 = max [1, m - n]) с вероятностью 
, если 
.
В результате было показано [4], что математическое ожидание проконтролированных объектов (шагов контроля) до наступления события E равно:
(2)
В [4] было показано, что для правила остановки контроля без памяти «из последних r объектов - k = 2 дефектных объектов», т.е. для события E r,k=2, справедливо равенство:
(3)
где q - вероятность дефектности объекта, а p = 1 - q - вероятность годности объекта.
Легко видеть, что правилу остановки контроля с памятью «из последних r объектов - k = 2 дефектных», т.е. событию 
соответствуют следующие состояния:
Здесь и далее «1» обозначаем дефектный объект, «0» обозначаем годный объект. Следовательно
Тогда
(4)
Результаты исследования и их обсуждение
Параллельно будем проводить общие рассуждения для контроля без памяти и для контроля с памятью. Для контроля без памяти событию E r,k - правилу остановки контроля «из последних r объектов - k дефектных» соответствуют следующие состояния:
С длиной, равной k, будет 
состояний, с длиной (k + 1) будет 
состояний и т.д. С длиной, равной r, будет состояний. Тогда
(5)
Для контроля с памятью событию 
- правилу остановки контроля «из последних r объектов- k дефектных» соответствуют следующие состояния:
С длиной, равной (k - 1), и длиной (r + 1) будет состояний, с длиной k и длиной (r + 2) будет состояний и т.д. С длиной, равной (r - 1), и длиной, равной (2r - k + 1), будет состояний. Тогда
(6)
Как было указано в [3], при невозможности выписать в явном виде выражения для 
можно найти такие 
и 
, что 
. Тогда из выражения (2) будет следовать, что нижняя и верхняя границы математического ожидания проконтролированных объектов (шагов контроля) до наступления события равны
и 
Введем l и lП - максимальные длины состояний, соответствующие событиям E r,k и. Учитывая тот факт, что остановка контроля на j-м шаге происходит обязательно после того, как на этом шаге контроля зафиксировано (Dj = 1), нетрудно видеть, что из основания, равного (Dj = 1), можно попасть в любое состояние из совокупности состояний: А1, А2, ..., АN с одной и той же вероятностью. Это соответствует тому, что за h шагов появится (k-1) дефектный объект и на последнем h-м шаге будет дефектный объект. Тогда для остановки контроля без памяти и контроля с памятью есть сумма вероятностей перехода из основания (Dj = 1)в состояния: А1, А2, ..., АN и они соответственно равны:
(7)
(8)
Для нахождения проведем следующие рассуждения. За h шагов может быть i дефектных объектов, где i изменяется от 1 до (k - 2). При этом количество шагов должно быть не меньше, чем количество дефектных объектов, но не более (r - k + i). Тогда вероятность перехода из всевозможных оснований, отличных от (Dj = 1) в состояния соответствующие событию Er,k, без учета из какого состояния и в какое состояние совершен переход, равна:
Тогда
Иначе
(11)
Для контроля с памятью рассуждения будут аналогичными.
За h шагов может быть i дефектных объектов, где i изменяется от 1 до (k - 2). При этом количество шагов должно быть не меньше, чем количество дефектных объектов, но не более (r - k + i). Тогда вероятность перехода из всевозможных оснований, отличных от (Dj = 1), в состояния соответствующие событию , равна:
Тогда
(12)
Заключение
Понятно, что аналогичным образом можно рассматривать правила остановки классического непрерывного контроля и непрерывного контроля с памятью типа «из последних r1 объектов - k1 дефектных или из последних r2 объектов - k2 дефектных» и так далее. Планы контроля, использующие остановки контроля «из последних r1 объектов - k1 дефектных или из последних r2 объектов - k2 дефектных» направлены на обнаружение как резкого изменения входного качества объектов, так и плавного изменения входного качества объектов.
Рецензенты:
Ясницкий Л.Н., д.т.н., профессор, зав. кафедрой прикладной информатики и искусственного интеллекта ГОУ ВПО «Пермский государственный педагогический университет», г. Пермь;
Пенский О.Г., д.т.н., доцент, профессор кафедры процессов управления и информационной безопасности ГОУ ВПО «Пермский государственный национальный исследовательский университет», г. Пермь.
Работа поступила в редакцию 03.10.2011.