Научный журнал

Фундаментальные исследования

ISSN 1812-7339

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 1,674

• Авторы
• Резюме
• Файлы
• Ключевые слова
• Литература

Гусев А.Л. 1

---

1 ФГУН «Федеральный научный центр медико-профилактических технологий управления рисками здоровью населения» Роспотребнадзора, Пермь

Рассмотрено правило остановки контроля типа «из последних r объектов – k дефектных» для планов непрерывного контроля. Наряду с классическими планами контроля, когда после остановки контроля и переналадки оборудования возобновляют контроль с нуля, рассмотрены планы непрерывного контроля с памятью, когда после наступления остановки контроля запоминается последний результат контроля. В статье получены нижняя и верхняя границы математического ожидания проконтролированных объектов до наступления остановки по правилу «из последних r объектов – k дефектных» для контроля без памяти и с памятью.

Статья в формате PDF

792 KB

непрерывный контроль

план контроля с памятью

остановка контроля

математическое ожидание проконтролированных объектов

1. Беляев Ю.К. Вероятностные методы выборочного контроля. – М.: Наука, 1975.

2. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. I. – М.: Мир, 1984.

3. Dodge H.F. A sampling inspection plan for continuous production // Annals of Mathematical Statistics. – 1943. – №14. – P. 264–279.

4. Gusev A.L. Recurrent events and characteristics of plans of continuous control // Journal of Mathematical Sciences. – 1995. – Vol. 75, (2). – Р. 1571–1575.

5. Dodge H.F., Romig H.G. Sampling Inspection tables single and double sampling. – New York, 1944.

6. Беляев Ю.К., Носко В.П. Основные понятия и задачи математической статистики. – М.: Изд-во МГУ, ЧеРо, 1998. – 192 с.

7. Гусев А.Л. О различных схемах непрерывного контроля // Статистические методы оценивания и проверки гипотез. – Пермь: 1988. – С. 123–128.

8. Гусев А.Л. Характеристики правил остановки контроля // Надежность и контроль качества. – М.: 1989. – № 4. – С. 57–63.

При управлении рисками здоровью населения целесообразно использовать непрерывный контроль с памятью. Это обусловлено тем, что если при традиционном подходе во время использования [1, 3] планов CSP-1 и CSP-2 при обнаружении дефектного объекта - дефектный объект подлежит замене на годный объект или дефектный объект просто изымается. Когда же речь идет о контроле показателя здоровья, то дефектный показатель здоровья (например, показатель заболеваемости, превышающий заранее определенное значение) просто регистрируется. Дефектный показатель здоровья нельзя изъять или заменить на годный показатель здоровья. Суть контроля с памятью заключается в следующем.

Планом непрерывного статистического контроля с памятью назовем такой план контроля, который после наступления остановки контроля по заранее заданному правилу запоминает последний результат контроля (замера показателя здоровья) в отличие от классических планов контроля, которые после остановки контроля возобновляют контроль с нуля [4]. До начала контроля с памятью формально считается, что наблюдался дефектный объект.

Целью исследования настоящей работы является получение нижней и верхней границы математического ожидания числа проконтролированных объектов до остановки контроля по правилу остановки контроля «из последних r объектов - k дефектных» как для планов контроля без памяти (классический случай), так и для планов контроля с памятью, предложенных автором настоящей статьи.

Материал и методы исследования

На основании теории рекуррентных событий, изложенной в [2], в [4] было показано, что правило остановки контроля представимо в виде рекуррентного события Е, которое состоит в том, что появляется одно из состояний A₁, A₂, ..., A_N, отвечающих этому событию. При этом рекуррентное соотношение для события Е имеет следующий вид:

 (1)

где P(E) - вероятность появления события Е; L(A_i) - длина состояния A_i;  - максимальная длина состояний, соответствующих событию Е; а с_h - вероятность перехода за h шагов из состояний A1, A2, ..., A_N в эти же состояния;   c₀ = 1, u_n - вероятность того, что событие Е происходит на n-м шаге контроля; u₀ = 1.

Также в [3] были даны следующие определения.

Состояние А₁:  перекрывается с состоянием А₂:  основанием , если , ...,. Пусть имеются два состояния А₁:  и А₂:  и h - некоторое число шагов. Будем говорить, что из состояния A₁ с началом  и основанием  можно перейти в состояние A₂ с окончанием  за h шагов (; h₀ = max [1, m - n]) с вероятностью , если .

В результате было показано [4], что математическое ожидание проконтролированных объектов (шагов контроля) до наступления события E равно:

 (2)

В [4] было показано, что для правила остановки контроля без памяти «из последних r объектов - k = 2 дефектных объектов», т.е. для события E _r,k=2, справедливо равенство:

 (3)

где q - вероятность дефектности объекта, а p = 1 - q - вероятность годности объекта.

Легко видеть, что правилу остановки контроля с памятью «из последних r объектов - k = 2 дефектных», т.е. событию  соответствуют следующие состояния:

Здесь и далее «1» обозначаем дефектный объект, «0» обозначаем годный объект. Следовательно

Тогда

 (4)

Результаты исследования и их обсуждение

Параллельно будем проводить общие рассуждения для контроля без памяти и для контроля с памятью. Для контроля без памяти событию E _r,k - правилу остановки контроля «из последних r объектов - k дефектных» соответствуют следующие состояния:

С длиной, равной k, будет  состояний, с длиной (k + 1) будет  состояний и т.д. С длиной, равной r, будет  состояний. Тогда

 (5)

Для контроля с памятью событию  - правилу остановки контроля «из последних r объектов- k дефектных» соответствуют следующие состояния:

С длиной, равной (k - 1), и длиной (r + 1) будет  состояний, с длиной k и длиной (r + 2) будет  состояний и т.д. С длиной, равной (r - 1), и длиной, равной (2r - k + 1), будет  состояний. Тогда

 (6)

Как было указано в [3], при невозможности выписать в явном виде выражения для  можно найти такие  и , что . Тогда из выражения (2) будет следовать, что нижняя и верхняя границы математического ожидания проконтролированных объектов (шагов контроля) до наступления события равны

 и 

Введем l и l^П - максимальные длины состояний, соответствующие событиям E _r,k и. Учитывая тот факт, что остановка контроля на j-м шаге происходит обязательно после того, как на этом шаге контроля зафиксировано (Dj = 1), нетрудно видеть, что из основания, равного (Dj = 1), можно попасть в любое состояние из совокупности состояний: А1, А2, ..., АN с одной и той же вероятностью. Это соответствует тому, что за h шагов появится (k-1) дефектный объект и на последнем h-м шаге будет дефектный объект. Тогда  для остановки контроля без памяти и контроля с памятью есть сумма вероятностей перехода из основания (Dj = 1)в состояния: А1, А2, ..., А_N и они соответственно равны:

 (7)

 (8)

Для нахождения  проведем следующие рассуждения. За h шагов может быть i дефектных объектов, где i изменяется от 1 до (k - 2). При этом количество шагов должно быть не меньше, чем количество дефектных объектов, но не более (r - k + i). Тогда вероятность перехода из всевозможных оснований, отличных от (Dj = 1) в состояния соответствующие событию Er,k, без учета из какого состояния и в какое состояние совершен переход, равна:

Тогда

Иначе

 (11)

Для контроля с памятью рассуждения будут аналогичными.

За h шагов может быть i дефектных объектов, где i изменяется от 1 до (k - 2). При этом количество шагов должно быть не меньше, чем количество дефектных объектов, но не более (r - k + i). Тогда вероятность перехода из всевозможных оснований, отличных от (Dj = 1), в состояния соответствующие событию , равна:

Тогда

 (12)

Заключение

Понятно, что аналогичным образом можно рассматривать правила остановки классического непрерывного контроля и непрерывного контроля с памятью типа «из последних r1 объектов - k1 дефектных или из последних r2 объектов - k2 дефектных» и так далее. Планы контроля, использующие остановки контроля «из последних r1 объектов - k1 дефектных или из последних r2 объектов - k2 дефектных» направлены на обнаружение как резкого изменения входного качества объектов, так и плавного изменения входного качества объектов.

Рецензенты:

Ясницкий Л.Н., д.т.н., профессор, зав. кафедрой прикладной информатики и искусственного интеллекта ГОУ ВПО «Пермский государственный педагогический университет», г. Пермь;

Пенский О.Г., д.т.н., доцент, профессор кафедры процессов управления и информационной безопасности ГОУ ВПО «Пермский государственный национальный исследовательский университет», г. Пермь.

Работа поступила в редакцию 03.10.2011.

Библиографическая ссылка