Современное состояние электроэнергетических систем характеризуется активным внедрением различного электронного оборудования [3, 5], применяемого в качестве нагрузок низковольтной электрической сети - компьютеры, телевизоры, электроплиты с питанием от ШИМ преобразователей и другое аналогичное оборудование. Современные электронные устройства различного назначения имеют, как правило, импульсные источники вторичного питания, характер воздействия которых, на синусоидальную форму питающих напряжений, недостаточно точно описывается обычным спектральным Фурье-анализом, который оперирует со спектрами сигналов, определенных единым образом для всего временного интервала анализа. Конечно, и в спектральной области Фурье наблюдаются паразитные гармонические составляющие, но в силу их широкополосности выделение каких-либо особенностей затруднено. Для выделения особенностей при импульсном характере нарушений (просечках) лучшие результаты в решении задач локализации нарушений формы синусоидальной кривой могут быть получены на основе вейвлет-преобразования, которое находит все большее применение в задачах цифровой обработки сигналов[1-3].
Данная работа посвящена решению задач, связанных с обработкой и анализом сложных сигналов, имеющих сложную внутреннюю структуру. Сигналы питающего напряжения содержат разномасштабные локальные особенности. Относительная величина и временная протяженность таких особенностей зависит от природы возмущения.
Естественным и наиболее эффективным способом представления таких сигналов является построение нелинейных адаптивных аппроксимирующих схем на основе экстраполирующих фильтров. Инструментом, позволяющим реализовать такую процедуру для сигналов с подобными особенностями, является вейвлет-преобразование [4]. На основе вейвлет-преобразования в данной работе предложены методы обработки и анализа формы питающих электрических напряжений, которые базируются на следующих операциях:
1) выбор «наилучшего» аппроксимирующего базиса;
2) идентификация структурных компонентов сигнала;
3) локализация особенностей.
Новизна предлагаемого решения состоит в обосновании целесообразности применения вейвлет-разложения с целью определения локальных особенностей в сигнале питающего напряжения. Используя основы современной теории обработки сигналов, выстроена цепочка рассуждений от задач моделирования до эффективных вычислительных решений. Предложенный метод позволяет:
1) выделять изолированные особенности в структуре сложного сигнала;
2) классифицировать локальные особенности;
3) предотвращать сбои работы персональных компьютеров в режиме реального времени при выполнении ими управления различными внешними приборами: коммуникационным оборудованием или технологическими процессами;
4) контролировать качество электрической энергии в точках общего присоединения потребителей к системам электроснабжения;
5) контролировать качество энергии (а в случае необходимости и компенсации возмущений) на тяговых подстанциях 6-35 кВ.
Представим сигнал в виде линейной комбинации разномасштабных компонент fj с различной структурой:
(1)
Когда коэффициенты x1, x2, ..., xr коррелируют между собой, вывод о том, какие аппроксимирующие функции использовать, сделать достаточно трудно, поэтому на функции fj, 
наложим выполнение условия ортогональности относительно величин ti с весовыми коэффициентами
,
где σi2 - дисперсия i-го значения:
Поскольку функции fj имеют разную структуру, подверженную изменению в случайные моменты времени, наиболее эффективным способом их идентификации является применение методов аппроксимации, основанных на разложении функции по базису. Учитывая локальный характер анализируемых особенностей и их разномасштабность, наиболее подходящим пространством для их представления является пространство, натянутое на базис смещенных функций или вейвлет - базис.
Структура разложения L2(R), порождённая ортогональным вейвлетом Ψ∈L2(R), имеет вид:
(2)
где 
Функция f при этом представляется в виде суммы компонент:
(3)
Каждая компонента vj из (3) имеет единственное представление в виде вейвлет-ряда:
где 
- ортонормированный базис пространства Wj. Коэффициенты cj,n определяются из соотношения
Определим функции fj как 
, в силу соотношения (3) получаем представление сигнала в виде
В силу ортогональности базиса Ψ (см. (2)):
если j ≠ l.
Случайный сигнал y представляет зависимость
где f - истинное значение измеряемой величины, - ошибки измерений.
Если e - белый шум, то его коэффициенты не коррелируют с одинаковой дисперсией:
[7].
Тогда компоненты случайного сигнала в пространстве вейвлет-образов имеют вид
Для дискретного сигнала не нарушая общности? примем j = 0. В качестве базовой конструкции для построения отображения будем использовать конструкцию вейвлет-пакетов ВП, имеющую быстрые алгоритмы преобразования и позволяющую идентифицировать различные типы частотно-временных структур [6, 7]. Получим представление сигнала в виде:
(4)
где 
, 
- детализирующие компоненты сигнала; 
- пространства вейвлет-пакета; 
- аппроксимирующая компонента сигнала; 
, 
; φ - скэйлинг-функция.
Каждая компонента (4) единственным образом определяется последовательностями коэффициентов
и
и
Подавление шумовых составляющих , и выделение локальных особенностей сигнала. Имея представление сигнала в виде (4) подавление шума может быть реализовано на основе применения пороговой функции для каждой детализирующей компоненты
(5)
где T - порог.
В вейвлет базисе такая пороговая функция дает адаптированное сглаживание, которое усредняет данные x с ядром, зависящим от гладкости сигнала f [7].
Примем порог T = σ2, где σ2 - дисперсия шума. Следуя работе [7], дисперсию шума σ2 оценим по медиане:
где Med - медиана, j - наименьший масштаб, n - длина сигнала. В работах Donoho D. по минимаксным оценкам сигнала в смеси с шумом показано, что данный способ подавления шума позволяет получить почти оптимальные минимаксные оценки [7].
Выполнив процедуру (5), получим аппроксимирующую схему сигнала в виде:
где IМ - множество индексов, определяемое свойствами функции f, 
- детализирующие составляющие сигнала, f-m - аппроксимирующая компонента.
Погрешность аппроксимации есть:
Из теоремы Жаффара [6] следует, что когда масштаб убывает, амплитуды вейвлет-коэффициентов имеют быстрое убывание до нуля в областях, где сигнал гладкий. Тогда операция выделения локальных особенностей функции f в виде пиков, перегибов и т.п. может быть основана на анализе детализирующих компонентов модели (4) путем определения наибольших значений 
на малых масштабах.
Выбор «наилучшего» базиса. «Наилучшим» базисом будем считать базис, погрешность аппроксимации в котором наименьшая. Выбор «наилучшего» базиса выполним путем реализации следующего алгоритма:
1) построение полного дерева разложения:
есть базис пространства 
;
2) определение ветвей дерева путем минимизации погрешности аппроксимации: наилучший базис 
пространства 
есть базис
где множества индексов 
, l = P, 2P, 2P + 1 определяются следующим образом: индекс 
если 
.
В процессе выполнения данного алгоритма будут подавлены шумовые составляющие сигнала и идентифицированы его структурные компоненты. Выполняя операции (1), (2) для различных видов базисных функций и определяя для каждой из таких функций погрешность в «наилучшем» базисе, мы определим «наилучшую» вейвлет-функцию для данного сигнала. Аппроксимирующую схему сигнала в этом базисе назовем наилучшей аппроксимирующей схемой для данного сигнала.
Для оценки эффективности предложенного метода проведены эксперименты по модельной генерации, обработке и анализу полученных модельных данных рис. 1-2.
Рис. 1. Модель Simulink, на основе ШИМ-инвертора
Рис. 2. Модельный сигнал с просечками
Локализация особенностей
Рис. 3. Локализация просечки
на 3-м масштабном уровне
Полученные результаты моделирования, представленные на рис. 3-5, свидетельствуют о возможности локализации просечек с помощью вейвлет-спектрограмм, в то время как спектрограммы Фурье не выделяют обозначенных в круговых областях особенностей просечек.
Рис. 4. Фурье спектрограмма сигнала, питающего напряжения с просечками
Рис. 5. Вейвлет-спектрограмма сигнала в масштабном уровне, оттенками серого цвета показаны абсолютные значения вейвлет-коэффициентов соответствующих масштабных уровней (значения масштабных уровней отмечены на вертикальной оси, горизонтальная ось - ось времени), более светлым оттенкам серого цвета соответствуют большие значения коэффициентов
Поэтому при построении систем активного подавления влияния просечек необходимо учитывать полученные модельные результаты, что очевидно приведет к усложнению структуры активных фильтров на алгоритмическом уровне, однако постоянно возрастающая производительность микропроцессорных систем позволяет надеяться на аппаратную реализацию методов вейвлет-преобразования.
Рецензенты:
Потапов В.В., д.т.н., зав. лабораторией Научно-исследовательского геотехнологического центра ДВО РАН, г. Петропавловск-Камчатский;
Шулюпин А.Н., д.т.н., зам. директора по научной работе Научно-исследовательского геотехнологического центра ДВО РАН, г. Петропавловск-Камчатский;
Лубенцов В.Ф., д.т.н., доцент, профессор кафедры «Информационные системы, электропривод и автоматика» Невинномысский технологический институт (филиал) ГОУ ВПО «Северо-Кавказский государственный технический университет», г. Невинномысск.
Работа поступила в редакцию 17.10.2011.