Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,749

Зюзина Н.Ю.

Рассмотрим дискретно - импульсную систему управления, математическая модель которой описывается семейством уравнений

f                                                            (1)

где f n-мерный вектор состояния объекта; f k-мерный вектор управления; f s-мерный вектор выхода объекта;f  однородное дискретное состояние цепи Маркова, описывающее процесс смены режима объекта на множестве f и матрицей вероятностей перехода f от режима f до режима f. Матрицы f известные матрицы соответствующих размеров. ff   постоянная матрица, такая, что f; эти матрица описывает импульсное изменение вектора состояния объекта управления в момент смены режима f на f.

Будем предполагать, что вектор выхода f и процесс смены режима f доступны наблюдению.

Рассмотрим линейное управление со статической обратной связью по выходу объекта, синхронно переключаемой со сменой режима:

f     если     f            (2)

такое, что для каждого фиксированного f выражение (2) стабилизирует управление для детерминированной системы

f

или, другими словами, такое, что матрица

f                                          (3)

является матрицей, собственные значения которой лежат в левой полуплоскости.

Матрица f может быть получена при помощи известных методов решения проблем управления с детерминированной статической обратной связью по выходу.

Получим условия, которым должны удовлетворять управление (2), чтобы обеспечить стабилизацию в среднем квадратическом системы (1). Такое управление назовем робастным стабилизирующим.

Условия существования стабилизирующего управления с обратной связью по состоянию, т. е. такого управления (2) при котором определить единственное стационарное распределение Марковской цепи f в пространстве f, относительно которого существует момент второго порядка можно определить теоремой.

Теорема. 1. Пусть матрица f положительно полуопределенная матрица, а матрица fположительно определена и f. Тогда, если положительно определенная матрица f f  удовлетворяет уравнению

f

где f, то линейное управление со статической обратной связью по выходу объекта (2), определяемое формулой

f 

является робастным стабилизирующим управлением в среднем квадратическом.

Стабилизация в среднем квадратическом является основной проблемой данной работы. Рассмотрим дополнительно следующую теорему, использующую условия стабилизации системы (1) в среднем квадратическом.

Теорема 2. Если система (1) стабилизируема в среднем квадратическом, то найдутся такие матрицы f и f, что для них выполнено неравенство

f

Обозначим

f

где f и f.

Тогда для данных систем можно получить следующие теоремы:

Теорема 3. Если fрешение уравнения f, а  fрешение неравенства f при условии, что f, то f.

Рассмотрим множества f

 множество решений уравнения f и f множество решений неравенства f.

Теорема 4. Множество

f

 не пусто, если не пусто множество

f

 и решение f также принадлежит множеству f.

Вывод

Для линейной дискретной системы случайной структуры со скачкообразным изменением вектора состояния объекта в момент смены режима получены условие, когда линейное управление со статической обратной связью по выходу объекта, является робастным стабилизирующим управлением по отношению по норме неопределенностям, удовлетворяющим условию (2).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

  1. Pakshin P.V. Robust output feedback of nonlinear systems with random jumps // Proceedings of the 15th World Congress of IFAC. Barcelona. 2002. (CD ROM).
  2. De Souza C.E. and Fragoso M.D. control for linear systems with Markovian jump parameters // Control-Theory and Advanced Technology. 1993. V.9. P. 457-466.
  3. Boyd S., El Ghaoui L., Feron E. and Balakrishnan V. Linear matrix inequalities in control and system theory. Philadelphia.: SIAM, 1994.
  4. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002.