Рассмотрим дискретно - импульсную систему управления, математическая модель которой описывается семейством уравнений
(1)
где 
n-мерный вектор состояния объекта; 
k-мерный вектор управления; 
s-мерный вектор выхода объекта;
однородное дискретное состояние цепи Маркова, описывающее процесс смены режима объекта на множестве 
и матрицей вероятностей перехода 
от режима 
до режима 
. Матрицы 
известные матрицы соответствующих размеров. 
постоянная матрица, такая, что 
; эти матрица описывает импульсное изменение вектора состояния объекта управления в момент смены режима на .
Будем предполагать, что вектор выхода 
и процесс смены режима 
доступны наблюдению.
Рассмотрим линейное управление со статической обратной связью по выходу объекта, синхронно переключаемой со сменой режима:
если (2)
такое, что для каждого фиксированного 
выражение (2) стабилизирует управление для детерминированной системы
или, другими словами, такое, что матрица
(3)
является матрицей, собственные значения которой лежат в левой полуплоскости.
Матрица 
может быть получена при помощи известных методов решения проблем управления с детерминированной статической обратной связью по выходу.
Получим условия, которым должны удовлетворять управление (2), чтобы обеспечить стабилизацию в среднем квадратическом системы (1). Такое управление назовем робастным стабилизирующим.
Условия существования стабилизирующего управления с обратной связью по состоянию, т. е. такого управления (2) при котором определить единственное стационарное распределение Марковской цепи 
в пространстве 
, относительно которого существует момент второго порядка можно определить теоремой.
Теорема. 1. Пусть матрица 
положительно полуопределенная матрица, а матрица 
положительно определена и 
. Тогда, если положительно определенная матрица 
удовлетворяет уравнению
где 
, то линейное управление со статической обратной связью по выходу объекта (2), определяемое формулой
является робастным стабилизирующим управлением в среднем квадратическом.
Стабилизация в среднем квадратическом является основной проблемой данной работы. Рассмотрим дополнительно следующую теорему, использующую условия стабилизации системы (1) в среднем квадратическом.
Теорема 2. Если система (1) стабилизируема в среднем квадратическом, то найдутся такие матрицы 
и 
, что для них выполнено неравенство
Обозначим
где 
и 
.
Тогда для данных систем можно получить следующие теоремы:
Теорема 3. Если 
решение уравнения 
, а 
решение неравенства 
при условии, что , то 
.
Рассмотрим множества 
множество решений уравнения 
и 
множество решений неравенства .
Теорема 4. Множество
не пусто, если не пусто множество
и решение 
также принадлежит множеству 
.
Вывод
Для линейной дискретной системы случайной структуры со скачкообразным изменением вектора состояния объекта в момент смены режима получены условие, когда линейное управление со статической обратной связью по выходу объекта, является робастным стабилизирующим управлением по отношению по норме неопределенностям, удовлетворяющим условию (2).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
- Pakshin P.V. Robust output feedback of nonlinear systems with random jumps // Proceedings of the 15th World Congress of IFAC. Barcelona. 2002. (CD ROM).
- De Souza C.E. and Fragoso M.D. control for linear systems with Markovian jump parameters // Control-Theory and Advanced Technology. 1993. V.9. P. 457-466.
- Boyd S., El Ghaoui L., Feron E. and Balakrishnan V. Linear matrix inequalities in control and system theory. Philadelphia.: SIAM, 1994.
- Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002.
Библиографическая ссылка
Зюзина Н.Ю. ДИСКРЕТНО-ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ // Фундаментальные исследования. – 2008. – № 4. – С. 106-108;URL: https://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=2890 (дата обращения: 08.10.2024).