В современной промышленности экструзия широко используется для изготовления различных изделий из полимеров: труб, листов, пленок, профильных полос, кабельных оболочек и др. Основная сложность управления технологическим процессом экструзии заключается в его необратимости: система управления не может повлиять на выработанный материал, вышедший из профилирующего элемента. В этих условиях особое значение имеет совершенствование технических средств автоматизации и алгоритмов управления технологическим процессом [3].
В большинстве случаев, качество конечного продукта в экструзии зависит от процессов плавления, течения и смещения полимера [4]. Совершенствование оборудования производится либо с помощью предварительного моделирования, либо с помощью экспериментального оборудования, которое предоставляет возможность визуализации потока. Это требует больших затрат времени и средств. При этом система управления экструзией обычно состоит из разрозненных локальных регуляторов, которые не взаимодействуют друг с другом. Даже при сведении всех параметров в единый модуль, например, промышленный компьютер, функциональная схема системы практически не изменяется [2]. В итоге, качество продукции достигается в результате экспериментального подбора коэффициентов и заданий регуляторов. В случае с промышленным компьютером изменение данных параметров автоматизируется, но не достигается качественно новый уровень управления.
Из-за того, что температура экструдата измеряется не в шнеке, а в непосредственной близости от него и от нагревателей, значение температуры отличается от действительной температуры в канале. Если идентифицировать отдельно взятый контур регулирования температуры, то объект будет выглядеть как апериодическое звено первого порядка с запаздыванием, но для формирования управляющего воздействия необходимо учитывать взаимосвязь данного контура управления с другими узлами линии. К параметрам, по которым можно оперативно оценивать состояние технологического процесса, можно отнести давление в зоне экструзии и нагрузку привода шнека, если рассматривать серийные экструдеры.
Цель работы - составление математической и компьютерной моделей процесса преобразования энергии, изменения состояния и движения полимера в экструдере для повышения эффективности управления мехатронным комплексом экструзионного производства.
Математическое моделирование процессов в экструдере
В результате развития вычислительных средств, в настоящее время имеется возможность не только предварительно промоделировать поток полимера в канале шнека на основе существующих математических моделей (для уточнения геометрических форм канала и параметров оборудования), но и сформировать управляющее воздействие на основе рассчитанных параметров [1]. Для оптимального управления необходимо рассматривать процесс, как систему из многих переменных, взаимодействие которых полностью известно и может быть использовано в системе управления. В общем случае, моделирование экструзионного процесса затруднено многообразием конструктивного оформления экструдеров и различными свойствами полимеров, но при отладке модели на одном оборудовании, адаптировать результаты работы для иного оборудования будет проще.
Для моделирования процессов в одношнековом экструдере должны учитываться следующие особенности:
- модель должна быть динамической;
- необходимо моделирование фазового перехода экструдата из твердого в жидкое состояние;
- требуется моделирование потока неньютоновской жидкости;
- необходимо учитывать нелинейную зависимость вязкости полимера от температуры.
В работе использовались предположения, сделанные У. Дарнеллом и Э. Молом [1], которые первыми провели всесторонний анализ движения материала в одношнековых экструдерах:
- отдельные твердые частицы ведут себя подобно сплошной среде;
- твердая пробка находится в контакте со всей стенкой канала, то есть поверхностью цилиндра, телом шнека, активной стороной нарезки и пассивной стороной нарезки;
- глубина канала постоянна;
- твердая пробка движется как поршень;
- зазором между выступом нарезки шнека и цилиндром можно пренебречь.
Материал в шнеке перемещается вперед в результате движения поверхности шнека относительно поверхности цилиндра. Скорость движения полимера в твердой фазе в значительной мере определяется силами, действующими на границах твердых поверхностей. При любом движении со скольжением, когда действуют силы трения, происходит выделение тепла. Средняя температура Т нагрева поверхностного слоя при трении оценивается следующим эмпирическим соотношением:
(1)
где δ - коэффициент распределения теплоты между трущимися телами; f - коэффициент трения; kσ - давление контакта; V - скорость скольжения; ρ - плотность материала; I - теплопроводность.
Скорость выделения тепла, обусловленного трением, равна произведению силы трения Ff на относительную скорость Dυ:
(2)
где Fn - нормальная сила; f - коэффициент трения.
Передача теплоты происходит во всех случаях, когда в теле существует температурный градиент. В данном случае рассматриваем нестационарную задачу. По закону Фурье, который лежит в основе всех расчетов теплопроводности, для изотропных материалов вектор теплового потока q пропорционален температурному градиенту:
(3)
где q - количество теплоты, проходящей через единичную поверхность, перпендикулярную направлению теплового потока; k - коэффициент теплопроводности. Полагая в уравнении энергетического баланса V = 0, получим:
(4)
Уравнение (4) представляет собой уравнение теплопроводности для изотропного твердого тела.
Если внутри изотропного тела имеется источник тепла, то уравнение (4) необходимо дополнить членом, учитывающим тепловыделение:
(5)
где 
- коэффициент температуропроводности; ∇2 - оператор Лапласа в прямоугольной системе координат; G - интенсивность внутренних тепловыделений, отнесенная к единице объема; замена Cv на Cv в уравнении (5) возможна для несжимаемых твердых тел.
(6)
Аналитическая теория нестационарной теплопроводности располагает большим набором решений одномерных задач, к которым принято сводить все многообразие задач, встречающихся в инженерной практике. В настоящее время получены аналитические решения для теплопроводности в плоской стенке, в цилиндре, в корпусе и в сфере.
Связь между компонентами тензора напряжений pij и тензора скоростей деформаций εij определяется выражением:
(7)
В качестве реологического уравнения используется обобщенный степенной закон [2]:
(8)
Здесь ηa - эффективная вязкость, μ0 - значение эффективной вязкости при 
(зависит от материала), T - абсолютная температура, T0 - температура приведения, n - индекс течения (зависит от материала), I2 - квадратичный инвариант тензора деформаций, определяемый следующим образом:
(9)
Уравнение энергетического баланса, составленное для установившегося режима в предположении, что все теплофизические характеристики не зависят от температуры, имеет вид:
(10)
где ρ - плотность расплава; cp - теплоемкость расплава; T - температура расплава; km - коэффициент теплопроводности расплава.
Уравнения (1)-(10) положены в основу компьютерной модели движения полимера в канале экструдера.
Результаты вычислительного эксперимента
Решение уравнений (1)-(10) проводилось методом конечных элементов и методом сеток. На рис. 1 представлены результаты расчетов векторного поля давлений в канале шнека, рассчитанного методом конечных элементов.
Рис. 1. Векторное поле давления полимера в канале шнека
Параметры полимера: коэффициент теплопроводности 0,1817 Вт/(м∙К); температура плавления полимера 110 °С; температура экструзии 149 °С; теплоемкость полимера в расплавленном состоянии 2596 Дж/(кг∙К); теплоемкость полимера в твердом состоянии 2763 Дж/(кг∙К); плотность расплава полимера 791 кг/м3; плотность твердого полимера 915,1 кг/м3. Характеристика процесса: массовый расход 61,7/3600 кг/с; диаметр 0,0635 м; глубина канала 0.009398 м; ширина канала 0,05416 м; угол подъема винтового канала по наружному диаметру червяка 17,65.
Распределение температуры в канале шнека показано на рис. 2 и 3. Расчеты проведены с использованием метода сеток, так как он является наиболее удобным для программирования. Результаты подобных расчетов можно учитывать при формирования управляющего воздействия в системе управления экструдером.
Рис. 2. Распределение температуры в канале шнека
Рис. 3. Результат численного моделирования распределения температуры
в канале шнека в разрезе
Основная часть энергии, которая идет на плавление полимера, выделяется в процессе трения. Это очевидно как при сравнении потребления энергии нагревателями и приводом пресса, так и при рассмотрении результата расчета, представленного на рис. 4. Решение дифференциального уравнения, описывающего выделение тепла в результате действия диссипативных сил, выполнено методом сеток.
Приведенные результаты расчетов служат основой для настройки регуляторов температуры таким образом, чтобы состояние экструдата соответствовало желаемому: была необходимая вязкость, температура. Ввиду инерционности процессов теплораспределения, в период прогрева экструдера измеряемая температура будет отличаться от действительной температуры в зоне на десятки градусов. В процессе производства (в установившемся режиме) разница между измеряемой и действительной температурой будет не более 2 °С.
Рис. 4. Результаты расчётов температуры в теплоносителе экструдере при различной частоте шнека (n, об./мин)
Выводы
Разработанные компьютерные модели для расчета процессов движения экструдата основаны на использовании численных методов решения дифференциальных уравнений с частными производными и позволяют с достаточной точностью рассчитать поля скоростей и давлений (температур) расплава полимера.
Адекватность разработанных математических моделей процесса движения экструдата обоснована идентификацией и верификацией на промышленных установках ПЧ-45, разработанных на основе предложенных структур, аппаратного и программного обеспечения.
Таким образом, приведенные математические модели эффективны для идентификации состояния экструзионных процессов, за счет чего достигается качественно новый уровень управления мехатронной системой.
Статья подготовлена с использованием результатов, полученных при проведении поисковой научно-исследовательской работы в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы, государственный контракт № 16.740.11.0397 от 01.12.2010.
Рецензенты:
Кульчицкий А.Р., д.т.н., профессор, зам. главного конструктора по испытаниям ООО «Владимирский моторно-тракторный завод» г. Владимир;
Гоц А.Н., д.т.н., профессор кафедры тепловых двигателей и энергетических установок Владимирского государственного университета им. А. Г. и Н. Г. Столетовых Министерства образования и науки, г. Владимир;
Малафеева Э.В., д.м.н., профессор кафедры микробиологии с вирусологией и иммунологией ГОУ ВПО «Ярославская государственная медицинская академия» Министерства здравоохранения и социального развития РФ, г. Ярославль.
Работа поступила в редакцию 19.07.2011.