Scientific journal
Fundamental research
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,087

APPLICATION OF THE EQUIVALENCE THEOREM FOR SOLVING OPERATOR EQUATIONS AND FINDING THE MINIMUM OF A QUADRATIC FUNCTIONAL ELEMENT

Aldanov E.S. 1 Tleubergenova M.A. 1
1 K. Jhubanov Aktobe Regional State University
Закон переноса физических субстанций описывается с использованием дифференциальных уравнений, где искомые функции подчинены заданным краевым условиям. Эти условия зависят от положения, в которой находится исследуемый объект. Такие уравнения можно рассматривать как операторные уравнения, действующие в конкретных функциональных пространствах. Сведения, полученные из такой постановки, могут быть применены для построения эффективных численных методов решения задач с большой практической значимостью. В данной работе рассматривается связь операторного уравнения, рассматриваемая в банаховом пространстве с квадратичным функционалом, и ее применение для построения одной модификации вариационного метода. Рассматриваемая в работе физическая задача: поперечный изгиб балки с постоянной жесткостью, которая лежит на упругом основании. Математическая модель этого процесса описывается дифференциальным уравнением четвертого порядка с заданными краевыми условиями, рассматриваемая как операторное уравнение с положительным оператором в левой части. Решение такого уравнение исследуется с помощью квадратичного функционала специального вида. Доказывается, что задача нахождения решений данного уравнения с заданными краевыми условиями эквивалентна задаче поиска минимума функционала. Далее, строится вариационный метод по минимизации квадратичного функционала, численный расчет которого дает решения исходной физической задачи. Практической значимостью работы является то, что численный расчет поиска минимума функционала легко осуществляется быстро сходящимся численным алгоритмом основанный минимизацию квадратичного функционала.
Law of transfer physical substances described using differential equations, where the unknown functions are subject to the given boundary conditions. These conditions depend on the position in which the object under study. Such equations can be regarded as the operator equations acting in specific functional areas. Information obtained from this formulation can be used to build an efficient numerical methods for solving problems with great practical importance. In this paper the relationship between the operator equations are considered in a Banach space with a quadratic functional and its application for a modification postreniyavariational method. Considered in the work of the physical problem: transverse bending beams with constant stiffness, which lies on an elastic foundation. A mathematical model of this process is described by a differential equation of the fourth order with the given boundary conditions, regarded as as an operator equation with a positive operator on the left side. A solution of this equation is studied by using a special form of a quadratic functional. It is proved that the problem of finding solutions of this equation with the given boundary conditions, equivalent to the problem of finding the minimum of the functional. Further, the variational method is based on minimization of a quadratic functional, numerical calculation which gives solutions of the original physical problem. The practical significance of the work is that the numerical calculation of finding the minimum of the functional is easily accomplished rapidly convergent numerical algorithm based minimization of a quadratic functional
positive operator
the operator equation
quadratic functional
minimization of the functional
1. Aldanov E.S. Postroenie priblizhennyx reshenij zadach teorii uprugosti i teploprovodnosti na osnove variacionnogo metoda. Avtoreferat na soiskanie uchenoj stepeni kandidata fiziko-matematicheskix nauk. Almaty, 2004.
2. Vlasov E.A., Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N. Priblizhennye metody matematicheskoj fiziki. – M.: Izd-vo MGTU im. N.E’.Baumana, 2001. 700 р.
3. Kolmogorov A.I., Fomin S.V. E’lementy teorij funkcij i funkcional’nogo analiza. M.: Nauka, 1968. 543 р.
4. Leont’ev N.N. Prilozhenie variacionnogo metoda Vlasova V.Z. k raschetu fundamentov gidrotexnicheskix sooruzhenij: Dis. kand, fiz.-mat. nauk. M., 1952. 110 р.
5. Muxambetzhanov A.T., Otelbaev M.O., Smagulov Sh.S. Ob odnom novom priblizhennom metode resheniya nelinejnyx kraevyx zadach: Preprint IA RK. Almaty, 1997. no. 21. 34 р.

Пусть A дифференциальный оператор

aldanov01.wmf (1)

определенный на множестве функций D(A) ∈ L2 [0, 1] и непрерывные на [0, 1] вместе со своими производными до четвертого порядка включительно и удовлетворяют некоторым граничным условиям, например

aldanov02.wmf (2)

И пусть q(x) ≥ 0 на интервале (0, 1).

Такое множество D(A) является линейным многообразием, всюду плотным в гильбертовом пространстве L2[0, 1].

Определение. Линейный симметричный оператор A называется положительным, если для любого u ∈ D(A) выполняется неравенство aldanov04.wmf, причем aldanov05.wmf [1, 2].

Из определения следует, что A –положительно определенный оператор.

Рассмотрим операторное уравнение в гильбертовом пространстве L2 [0, 1] с оператором (1)

aldanov06.wmf. (3)

Теорема. Уравнение (3) с положительным оператором A имеет не более одного решения в D(A).

Доказательство. Допустим, что операторное уравнение (2) имеет два решения u1 и u2. Тогда Au1 = f или

aldanov07.wmf

Аналогично Au2 = f или

aldanov08.wmf

Вычи:

aldanov09.wmf

или

aldanov10.wmf

Из последнего равенства следует, что

aldanov11.wmf

Из приведенного выше определения положительности получаем, что и это равносильно тому что

aldanov12.wmf

Таким образом, u1 = u2.

Уравнением (1) описывается, например, поперечный прогиб u(x) балки [3] под действием распределенной поперечной нагрузки f(x), f(x) ∈ L2(0, 1), где балка имеет постоянную жесткость на изгиб и лежит на упругом основании, реакцию которого определяет слагаемое q(x)u(x), q(x) ≥ 0 на интервале (0, 1).

При таком физическом смысле постановки задачи граничные условия отражают то, как закреплены ее концы. Так, для консольной балки с жестко защемленным левым и свободным правым концами граничные условия имеют вид

aldanov13.wmf

Если балка имеет на концах опоры, допускающие (в отличие от жесткого защемления) поворот ее поперечного сечения, пропорциональный в этом сечении изгибающему моменту, то в этом случае граничные условия принимают следующий вид:

aldanov14.wmf

Из этих уравнений при α = β = 0 вытекают условия жесткого защемления, а при α → ∞ и β → ∞ – шарнирного опирания, и условия принимают вид (2).

Рассмотрим функционал вида

aldanov15.wmf (4)

Справедлива следующая теорема о квадратичном функционале.

Теорема. Для того, чтобы элемент u0 ∈ D(A) был решением операторного уравнения (1) необходимо и достаточно, чтобы квадратичный функционал (4) на u0 принимал свое минимальное значение в D(A), т.е.

aldanov16.wmf

Доказательство: Необходимость. Пусть на элементе u0 функционал (4) принимает минимальное значение в D(A), т.е.

aldanov17.wmf

Используя свойства скалярного произведения и симметричности положительного оператора, получаем:

aldanov18.wmf

При u ≠ 0;

aldanov19.wmf

правая часть полученного выражения является квадратным трехчленом

aldanov20.wmf

Данный трехчлен свое минимальное значение принимает при δ = 0

aldanov21.wmf

Последнее равенство означает, что элемент Au0 – f ∈ L2[0, 1] является нулевым элементом этого пространства, так как оно верно ∀u ∈ D(A) ⊂ L2[0, 1], т.е. Au0 – f = 0, а значит u0 ∈ D(A) является решением (1).

Достаточность. Функционал (4) определен при всех u ∈ D(A). Пусть u0 удовлетворяет (1): Au0 = f. Подставляя это значение вместо f в (4), получаем:

aldanov23.wmf

Отсюда

aldanov24.wmf

и в силу положительности оператора A имеем

aldanov25.wmf

Так как

aldanov26.wmf

Теорема доказана.

При таком раскладе решения операторного уравнения (3) можно построить итерационный процесс [1] со скоростью геометрической прогрессии, с помощью которого можно найти минимальный элемент специального вида функционала, поиск которого является эквивалентным поиску минимального элемента функционала (4).

Введем оператор А0 следующим образом: обозначим

u(4) = v, aldanov27.wmf

или в операторной форме

A0u = ν,

где aldanov28.wmf – оператор однозначно разрешим в пространстве L2(0, 1) с заданными краевыми условиями.

Тогда уравнение (3) примет вид

aldanov29.wmf (5)

Если v найдено, то u вычисляется по формуле

aldanov30.wmf

Обозначим

aldanov31.wmf (6)

При ω = ν, где ν ‒ решение (5), имеем J(ω) = 0 и наоборот.

Будем предполагать, что уравнение (5) для любой правой части f(x) ∈ L2(0, 1) имеет единственное решение. Следовательно, из теоремы Банаха вытекает, что

aldanov32.wmf (7)

где aldanov33.wmf (8)

aldanov34.wmf

и норма aldanov35.wmf – вычисляется явно в пространстве L2(0, 1).

aldanov36.wmf

причем

aldanov37.wmf

Построим итерационный процесс.

Пусть ωn n-е приближенное решение уравнения J(ωn) = 0.

Положим

ω n+1 = ωn – εω,

где ε – положительное число.

Тогда

aldanov38.wmf

Мы воспользовались линейностью интегрального оператора A0.

Выберем

aldanov39.wmf

Тогда

aldanov40.wmf (9)

В силу условия (1.11) имеем

aldanov41.wmf

Поэтому из (1.13) следует

aldanov42.wmf

Выберем

aldanov43.wmf

Тогда получим

aldanov44.wmf (10)

Для разности ωn+1 – ωn имеем

aldanov45.wmf

Это неравенство и (10) дают следующий результат:

Теорема 1.2.1. Пусть для любого f(x) ∈ L2(0, 1) задача (3) имеет единственное решение aldanov46.wmf, причем оператор M, определенный по (5), удовлетворяет условиям aldanov47.wmf, причем справедливо неравенство cd > 1. Тогда для любого ω0 ∈ L2(0, 1) последовательность, определяемая по формулам

aldanov48.wmf,

сходится к решению ω• уравнения (1.9’), причем выполнены оценки

aldanov49.wmf

aldanov50.wmf

где aldanov51.wmf. При этом функция u = A–1 ω будет решением задачи (5).

Доказательство. Из (10) и последующих неравенств следует, что

aldanov52.wmf

aldanov53.wmf

Докажем сходимость приближенного решения к решению исходной задачи:

aldanov54.wmf

n} – фундаментальная последовательность, L2(0, 1) – полное гильбертово пространство, тогда существует такой элемент ω•, что ωn → ω• в L2(0, 1) и из непрерывности оператора M получим J(ωn) → J(ω). Тогда из первого неравенства теоремы следует, что J(ω) = 0, то есть Mω = f и u = A–1ω.

Теорема доказана.

Рецензенты:

Оразбаев Б.Б., д.т.н., профессор, Атырауский институт нефти и газа, академик ИА РК, г. Атырау;

Хасанов А., д.ф.-м.н., профессор, Актюбинский университет им. С. Баишева, г. Актобе.

Работа поступила в редакцию 21.05.2014.