Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,087

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ РЕШЕНИЯ ОПЕРАТОРНОГО УРАВНЕНИЯ И ПОИСКА МИНИМАЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА КВАДРАТИЧНОГО ФУНКЦИОНАЛА

Алданов Е.С. 1 Тлеубергенова М.А. 1
1 Актюбинский региональный государственный университет им. К. Жубанова
Закон переноса физических субстанций описывается с использованием дифференциальных уравнений, где искомые функции подчинены заданным краевым условиям. Эти условия зависят от положения, в которой находится исследуемый объект. Такие уравнения можно рассматривать как операторные уравнения, действующие в конкретных функциональных пространствах. Сведения, полученные из такой постановки, могут быть применены для построения эффективных численных методов решения задач с большой практической значимостью. В данной работе рассматривается связь операторного уравнения, рассматриваемая в банаховом пространстве с квадратичным функционалом, и ее применение для построения одной модификации вариационного метода. Рассматриваемая в работе физическая задача: поперечный изгиб балки с постоянной жесткостью, которая лежит на упругом основании. Математическая модель этого процесса описывается дифференциальным уравнением четвертого порядка с заданными краевыми условиями, рассматриваемая как операторное уравнение с положительным оператором в левой части. Решение такого уравнение исследуется с помощью квадратичного функционала специального вида. Доказывается, что задача нахождения решений данного уравнения с заданными краевыми условиями эквивалентна задаче поиска минимума функционала. Далее, строится вариационный метод по минимизации квадратичного функционала, численный расчет которого дает решения исходной физической задачи. Практической значимостью работы является то, что численный расчет поиска минимума функционала легко осуществляется быстро сходящимся численным алгоритмом основанный минимизацию квадратичного функционала.
положительный оператор
операторное уравнение
квадратичный функционал
минимизация функционала
1. Алданов Е.С. Построение приближенных решений задач теории упругости и теплопроводности на основе вариационного метода: автореф. дис. ... канд. физ.-матем. наук. – Алматы, 2004.
2. Власов Е.А., Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. – 700 с.
3. Колмогоров А.И., Фомин С.В. Элементы теорий функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1968. – 543 с.
4. Леонтьев Н.Н. Приложение вариационного метода Власова В.З. к расчету фундаментов гидротехнических сооружений: дис. ... канд, физ.-мат. наук. – М., 1952. – 110 с.
5. Мухамбетжанов А.Т., Отелбаев М.О., Смагулов Ш.С. Об одном новом приближенном методе решения нелинейных краевых задач: Препринт ИА РК. – Алматы, 1997. – № 21. – 34 с.

Пусть A дифференциальный оператор

aldanov01.wmf (1)

определенный на множестве функций D(A) ∈ L2 [0, 1] и непрерывные на [0, 1] вместе со своими производными до четвертого порядка включительно и удовлетворяют некоторым граничным условиям, например

aldanov02.wmf (2)

И пусть q(x) ≥ 0 на интервале (0, 1).

Такое множество D(A) является линейным многообразием, всюду плотным в гильбертовом пространстве L2[0, 1].

Определение. Линейный симметричный оператор A называется положительным, если для любого u ∈ D(A) выполняется неравенство aldanov04.wmf, причем aldanov05.wmf [1, 2].

Из определения следует, что A –положительно определенный оператор.

Рассмотрим операторное уравнение в гильбертовом пространстве L2 [0, 1] с оператором (1)

aldanov06.wmf. (3)

Теорема. Уравнение (3) с положительным оператором A имеет не более одного решения в D(A).

Доказательство. Допустим, что операторное уравнение (2) имеет два решения u1 и u2. Тогда Au1 = f или

aldanov07.wmf

Аналогично Au2 = f или

aldanov08.wmf

Вычи:

aldanov09.wmf

или

aldanov10.wmf

Из последнего равенства следует, что

aldanov11.wmf

Из приведенного выше определения положительности получаем, что и это равносильно тому что

aldanov12.wmf

Таким образом, u1 = u2.

Уравнением (1) описывается, например, поперечный прогиб u(x) балки [3] под действием распределенной поперечной нагрузки f(x), f(x) ∈ L2(0, 1), где балка имеет постоянную жесткость на изгиб и лежит на упругом основании, реакцию которого определяет слагаемое q(x)u(x), q(x) ≥ 0 на интервале (0, 1).

При таком физическом смысле постановки задачи граничные условия отражают то, как закреплены ее концы. Так, для консольной балки с жестко защемленным левым и свободным правым концами граничные условия имеют вид

aldanov13.wmf

Если балка имеет на концах опоры, допускающие (в отличие от жесткого защемления) поворот ее поперечного сечения, пропорциональный в этом сечении изгибающему моменту, то в этом случае граничные условия принимают следующий вид:

aldanov14.wmf

Из этих уравнений при α = β = 0 вытекают условия жесткого защемления, а при α → ∞ и β → ∞ – шарнирного опирания, и условия принимают вид (2).

Рассмотрим функционал вида

aldanov15.wmf (4)

Справедлива следующая теорема о квадратичном функционале.

Теорема. Для того, чтобы элемент u0 ∈ D(A) был решением операторного уравнения (1) необходимо и достаточно, чтобы квадратичный функционал (4) на u0 принимал свое минимальное значение в D(A), т.е.

aldanov16.wmf

Доказательство: Необходимость. Пусть на элементе u0 функционал (4) принимает минимальное значение в D(A), т.е.

aldanov17.wmf

Используя свойства скалярного произведения и симметричности положительного оператора, получаем:

aldanov18.wmf

При u ≠ 0;

aldanov19.wmf

правая часть полученного выражения является квадратным трехчленом

aldanov20.wmf

Данный трехчлен свое минимальное значение принимает при δ = 0

aldanov21.wmf

Последнее равенство означает, что элемент Au0 – f ∈ L2[0, 1] является нулевым элементом этого пространства, так как оно верно ∀u ∈ D(A) ⊂ L2[0, 1], т.е. Au0 – f = 0, а значит u0 ∈ D(A) является решением (1).

Достаточность. Функционал (4) определен при всех u ∈ D(A). Пусть u0 удовлетворяет (1): Au0 = f. Подставляя это значение вместо f в (4), получаем:

aldanov23.wmf

Отсюда

aldanov24.wmf

и в силу положительности оператора A имеем

aldanov25.wmf

Так как

aldanov26.wmf

Теорема доказана.

При таком раскладе решения операторного уравнения (3) можно построить итерационный процесс [1] со скоростью геометрической прогрессии, с помощью которого можно найти минимальный элемент специального вида функционала, поиск которого является эквивалентным поиску минимального элемента функционала (4).

Введем оператор А0 следующим образом: обозначим

u(4) = v, aldanov27.wmf

или в операторной форме

A0u = ν,

где aldanov28.wmf – оператор однозначно разрешим в пространстве L2(0, 1) с заданными краевыми условиями.

Тогда уравнение (3) примет вид

aldanov29.wmf (5)

Если v найдено, то u вычисляется по формуле

aldanov30.wmf

Обозначим

aldanov31.wmf (6)

При ω = ν, где ν ‒ решение (5), имеем J(ω) = 0 и наоборот.

Будем предполагать, что уравнение (5) для любой правой части f(x) ∈ L2(0, 1) имеет единственное решение. Следовательно, из теоремы Банаха вытекает, что

aldanov32.wmf (7)

где aldanov33.wmf (8)

aldanov34.wmf

и норма aldanov35.wmf – вычисляется явно в пространстве L2(0, 1).

aldanov36.wmf

причем

aldanov37.wmf

Построим итерационный процесс.

Пусть ωn n-е приближенное решение уравнения J(ωn) = 0.

Положим

ω n+1 = ωn – εω,

где ε – положительное число.

Тогда

aldanov38.wmf

Мы воспользовались линейностью интегрального оператора A0.

Выберем

aldanov39.wmf

Тогда

aldanov40.wmf (9)

В силу условия (1.11) имеем

aldanov41.wmf

Поэтому из (1.13) следует

aldanov42.wmf

Выберем

aldanov43.wmf

Тогда получим

aldanov44.wmf (10)

Для разности ωn+1 – ωn имеем

aldanov45.wmf

Это неравенство и (10) дают следующий результат:

Теорема 1.2.1. Пусть для любого f(x) ∈ L2(0, 1) задача (3) имеет единственное решение aldanov46.wmf, причем оператор M, определенный по (5), удовлетворяет условиям aldanov47.wmf, причем справедливо неравенство cd > 1. Тогда для любого ω0 ∈ L2(0, 1) последовательность, определяемая по формулам

aldanov48.wmf,

сходится к решению ω• уравнения (1.9’), причем выполнены оценки

aldanov49.wmf

aldanov50.wmf

где aldanov51.wmf. При этом функция u = A–1 ω будет решением задачи (5).

Доказательство. Из (10) и последующих неравенств следует, что

aldanov52.wmf

aldanov53.wmf

Докажем сходимость приближенного решения к решению исходной задачи:

aldanov54.wmf

n} – фундаментальная последовательность, L2(0, 1) – полное гильбертово пространство, тогда существует такой элемент ω•, что ωn → ω• в L2(0, 1) и из непрерывности оператора M получим J(ωn) → J(ω). Тогда из первого неравенства теоремы следует, что J(ω) = 0, то есть Mω = f и u = A–1ω.

Теорема доказана.

Рецензенты:

Оразбаев Б.Б., д.т.н., профессор, Атырауский институт нефти и газа, академик ИА РК, г. Атырау;

Хасанов А., д.ф.-м.н., профессор, Актюбинский университет им. С. Баишева, г. Актобе.

Работа поступила в редакцию 21.05.2014.


Библиографическая ссылка

Алданов Е.С., Тлеубергенова М.А. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ РЕШЕНИЯ ОПЕРАТОРНОГО УРАВНЕНИЯ И ПОИСКА МИНИМАЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА КВАДРАТИЧНОГО ФУНКЦИОНАЛА // Фундаментальные исследования. – 2014. – № 8-2. – С. 345-349;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=34557 (дата обращения: 09.04.2020).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074