Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,674

ТЕМПЕРАТУРНЫЕ РАЗОГРЕВЫ В КАНАЛЕ ШНЕК-ВИНТА С УЧЕТОМ ДИССИПАЦИИ ЭНЕРГИИ

Гнеденко В.В., Кудинов В.А.

При переработке полимерных материалов специального назначения методом экструзии очень важным технологическим параметром является температура, которая возникает в материале как за счет тепла, подводимого через корпус, так и за счет внутреннего трения. Для таких материалов верхняя граница, до которой может разогреться материал, определяется безопасностью процесса, т. к. при дальнейшем повышении температуры, начинается химическое разложение, приводящее к взрыву.

Для оценки температурных разогревов рассмотрим движение материала в канале шнек-винта, развернув его на плоскости.

Математическая постановка задачи с учетом линейной зависимости вязкости материала от температуры μ=μ0+βT имеет вид [1]

W (y) •f  = a • f+ ff           (1)

(0 ≤ y ≤ h; 0 ≤ x ≤ ∞);

 T(0,y)=T0;                            (2)

 T(x,0)=T1;                             (3)

 T(x,h)=T2,                             (4)

где W(y)=W0 f - профиль скорости плоскопараллельного течения (течение Куэтта); h - высота канала;m0 - вязкость среды при начальной температуре; β - коэффициент; a= f - коэффициент температуропроводности; λ - коэффициент теплопроводности; C - теплоемкость; r - плотность; W0 - средняя скорость.

Введем следующие безразмерные переменные:

ξ = y / h; x = f f; f= f.

Вначале рассмотрим случай с постоянной вязкостью. С учетом принятых обозначений математическая постановка задачи приводится к виду

 f

Рассмотрим первоначально случай с постоянной вязкостью μ=μ0. Решение краевой задачи (5)-(8), следуя ортогональному методу Л.В. Канторовича, в первом приближении разыскивается в виде [2],[3]

f                      (9)

где f (x) - неизвестная функция; φ1(ξ) = (1- ξ )ξ - координатная функция.

Соотношение (9) точно удовлетворяет граничным условиям (7), (8). Неизвестную функцию f(x) найдем так, чтобы удовлетворялось уравнение (5). Для этого составим невязку уравнения (5) (полагаем, что развитие температуры в потоке жидкости происходит за счет теплоты трения, т. е. T1=T2=T0):

f

Потребуем ортогональность невязки к координатной функции φ1(ξ):

f

Определяя интегралы, приходим к следующему обыкновенному дифференциальному уравнению:

f,                       (10)

где

f.                                      (11)

После определения интегралов уравнение (10) примет вид:

f,                              (12)

Разделяя переменные в уравнении (12), получим:

f

где С - постоянная интегрирования.

Для неизвестной функции f1(x) из (14) получим формулу

 f.     

Постоянная C1 находится из начального условия. Для этого составляется интеграл взвешенной невязки в начальном условии:

f

Решение задачи в первом приближении принимает вид

f.           (17)

Формула (17) полностью совпадает с решением в первом приближении, полученным в работе [1] путём совместного использования интегральных преобразований Лапласа и метода и Бубнова-Галеркина.

Найдём решение задачи (1), (4) для случая, когда вязкость среды является линейной функцией температуры. Составляя невязку уравнения и требуя ортогональность невязки к координатной функции  φ1(ξ), получим

f

Определяя интегралы, будем иметь

f.

где

f

 Решение последнего уравнения имеет вид

f.                                    (18)

Подставляя (18) в (9), получим

f

Формула для определения постоянной интегрирования С1, учитывая начальное условие (2), принимает вид

f.

Решение задачи в первом приближении записывается формулой

f(19)

Если положить β=0, то формула (19) полностью совпадает с формулой (17).

Найдём решение конкретной задачи теплопроводности при следующих исходных данных: r=0,05 м; h=0,02 м; a=10-7 м2/с; λ0=0,17 Вт/м К;  μ0=105 Па с;  W0=ωr; ω=2πn;  l=2πrk=3,14 м,

где r - радиус вала экструдера; n - число оборотов вала; k - число витков вала; ω - угловая скорость.

Результаты расчётов температуры в теплоносителе экструдере представлены на графике 1. Из анализа графиков можно заключить, что температурные разогревы в канале экструдера достаточно велики и могут достигать для некоторых материалов критических значений в зависимости от оборотов шнек-винта.

p 

График 1. Распределения температуры в экструдере с учетом  диссипации энергии

(n - число оборотов экструдера)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

  1. Цой П.В. Методы расчета задач тепломассопереноса. М.: Энергоатомиздат, 1984. 423 с.
  2. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. Л.: Физматгиз, 1962. 708 с.
  3. Кудинов В.А. Способ построения координатных систем при решении задач нестационарной теплопроводности для многослойной пластины //Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1986. № 5. С. 150-154.

Библиографическая ссылка

Гнеденко В.В., Кудинов В.А. ТЕМПЕРАТУРНЫЕ РАЗОГРЕВЫ В КАНАЛЕ ШНЕК-ВИНТА С УЧЕТОМ ДИССИПАЦИИ ЭНЕРГИИ // Фундаментальные исследования. – 2005. – № 8. – С. 62-64;
URL: https://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=6461 (дата обращения: 01.12.2024).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1,674