Научный журнал

Фундаментальные исследования

ISSN 1812-7339

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 1,674

• Авторы
• Резюме
• Файлы

Иванов Е.М

Рассмотрена работа перемещения точечного заряда q в поле точечного (сферического) заряда Q. В случае зарядов одного знака заряд q под действием силы Кулона F_k будет удаляться от Q. Работа силы , где r₀1. Для перемещения заряда в обратном направлении работа A сторонней силы F всегда больше A₀. Только в случае действия мгновенной (импульсной) сторонней силы A → A₀. Для перемещения заряда по дуге окружности (эквипотенциальной линии) необходима работа двух сторонних сил: удерживающей (численно равной силе Кулона) и перемещающей.

Статья в формате PDF

130 KB

Рассмотрим взаимодействие двух сферических зарядов Q и q, радиусы которых много меньше расстояния между ними r₀ (рис.1). заряд Q будем считать неподвижным. Сила взаимодействия между зарядами определяется законом Кулона: , где . В случае одноименных зарядов q будет удаляться от Q. Уравнение движения будет иметь вид:

                (1)

Если в точке r₀ начальная скорость V₀=0, то последовательно находим:

                        (2)

               (3)

Работа перемещения q от r₀ до r₁ может быть определена несколькими способами:

                         (4)

где  - потенциал электрического поля. Это же выражение может быть получено на основе соотношения: , где  - кинетическая энергия,  - потенциальная энергия.

В работах [1-4] показано, что работу можно также вычислить, используя импульс силы :

,        где          (5)

Величина dt определяется выражением (2),  t_k- время перемещения от r₀ до r₁. Интегрируя и вычисляя I², получим то же самое выражение (4).

Чтобы переместить заряд q обратно из точки r₁ в r₀, необходимо приложить стороннюю силу F, большую, чем кулоновская сила F_k, и направленную в противоположную сторону.

СЛУЧАЙ I. Сторонняя сила F больше кулоновской на постоянную величину ΔF: , где . Тогда уравнение движения запишется в виде:

                    (6)

Под действием силы ΔF заряд будет совершать равноускоренное движение:

, .

Импульсы сил, действующих на тело:

, ,

где . Суммарная работа, совершаемая всеми силами:

      (7)

Работа, совершаемая кулоновской силой:

                 (8)

Работа, совершаемая сторонней силой:

                       (9)

Отдельные составляющие работы этих сил:

;

;

Работа  имеет минимум, соответствующий значению силы:

                   (10)

ПРИМЕР. Рассмотрим взаимодействие двух точечных зарядов (электронов):  Kл;  кг;  Н·м²/Кл²;  м;  м.

При свободном движении от r₀ до r₁ работа, определяемая выражением (4), будет равна А₀ = 2,3·10^-18 Дж. Сила F₀ = kq²/r  = 0,9216·10^-7H. Для перемещения заряда в обратном направлении приложим стороннюю силу F = F₁+ΔF, где ΔF=1·10^-7 Н. Работа, совершаемая сторонней силой, будет равна, согласно выражению (9):

А₊=(0,4015+3,02+5)·10^-18=8,42·10^-18Дж,                                                       

что в 3,66 раз больше А₀. Работа, совершаемая кулоновской силой (8):

A_-=-5,402·10^-18 Дж.

Суммарная работа (7) А_Σ  = А_- + А₊ = 3,018 · 10^-18Дж,  как и работа А₀, соответствует кинетической энергии, приобретенной зарядом после перемещения. Найдем минимальную работу А₊, соответствующую силе ΔF_*  = 0,3527·10^-7 Н, по формуле (9) А₊^min  = (1,138 + 3,02 + 1,763) · 10^-18 = 5,92 · ·10^-18 Дж, что в 2,57 раз больше А₀.

СЛУЧАЙ 2. Сторонняя сила больше кулоновской на некоторый постоянный коэффициент β. Тогда силы, действующие на заряд q, можно записать в виде F = F_k - F₂ - F₁ = F_k - βF_k - F₁, где F₁ = |F_k|. Под действием силы F₂ = βF_k заряд будет совершать ускоренное движение от r₁ к r₀. При нулевой начальной скорости, решая уравнение движения, последовательно находим:

;                          (11)

                   (12)

               (13)

Импульсы сил при движении заряда q от r₁ к r₀ по модулю следующими выражениями:

;                      (14)

Работа сторонней силы:

               (15)

Работа кулоновской силы:

                                    (16)

Выражение (15) имеет минимум при β=1 (рис.2):

,                    (17)

что в 4 раза больше работы А₀ при свободном движении заряда (4). При этом работа кулоновской силы А _- = -3А₀. При β>>1 работа кулоновской силы стремится к минимальной величине, равной А_- = - 2А₀ (рис.3).

СЛУЧАЙ III. Для перемещения заряда q от r₁ к r₀ на него в течение некоторого времени t_*  (при перемещении до r_* ) действует сила F по схеме, соответствующей случаю II, сообщающая заряду в точке r_* кинетическую энергию:

,                     (18)

которая обеспечивает дальнейшее перемещение заряда q по инерции от r_*  к r₀. Если в левую часть равенства (18) подставить квадрат скорости, определяемый выражением (12):

,                  (19)

то можно определить искомую координату:

                    (20)

и затраченную работу:

Используя данные, приведенные в рассмотренном выше примере, произведем расчет по формулам (18) - (21) для ряда значений β. Результаты сведем в таблицу 1.

Таблица 1.

Из таблицы видно, что с ростом величины β работа сторонней силы А₊, затрачиваемая на возврат заряда q из положения r₁ в начальное положение r₀, стремится к величине А₀, определяемой выражением (4) для случая свободного движения заряда q от r₀ к r₁  под действием кулоновской силы. Идеальным вариантом этого случая является действие мгновенной силы, для чего следует устремит время действия силы t_* → 0, а величину силы F → ∞. Тогда получим мгновенную силу в виде , где  - дельта-функция Дирака [5]. Единичный импульс силы будет равен  , где V₁ определяется выражением (4) для случая нулевой начальной скорости V₀ = 0:

СЛУЧАЙ IV. Рассмотрим переме-щение заряда q по дуге S окружности радиуса r₀. Если использовать выражение для работы (4) с использованием потенциала электрического поля A_s= , то формально получим A_s = 0, так как , где а - начальная точка на дуге S, b - конечная точка на той же дуге. Но это неверное заключение, не работа A_s=0, а ЭТА РАБОТА НЕ МОЖЕТ БЫТЬ СОВЕРШЕНА СИЛАМИ ДАННОГО ПОЛЯ. Для перемещения заряда q по дуге окружности необходимо действие двух сторонних сил: удерживающей силы , которая равна, но противоположно направлена кулоновской силе,  и перемещающей силе F_Т, направленную по касательной. Работа постоянной перемещающей силы F_Т , где t - время перемещения. Поскольку силы F_T и F_у взаимно перпендикулярны, то работы этих сил аддитивны, т.е. суммарная работа .

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Иванов Е.М. Работа и энергия в классической механике и I закон термодинамики. // Фундаментальные исследования, №8,2005,с.11.
2. Иванов Е.М. Работа при движении тел с трением. // Фундаментальные исследования, №6,2005,с.10.
3. Иванов Е.М. Определение работы и работа силы трения. // Успехи современного естествознания, №8,23005, с.10.
4. Иванов Е.М. Работа и энергия в классической механике и первый закон термодинамики. Димитровград, ДИТУД УлГТУ, 2005.
5. Арсенин В.Я. Математическая физика. М.: Наука, 1966.

Библиографическая ссылка