Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,749

ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРЫ ПОРТФЕЛЯ НА РЕШЕНИЯ ИНВЕСТОРА

Мочалина Е.П. 1 Иванкова Г.В. 1
1 ФГБОУ ВО «Российский экономический университет имени Г.В. Плеханова»
На практике рассмотрение множества инвестиционных возможностей ценных бумаг и его эффективной границы позволяет принять нужное инвестору решение. Именно такой подход делает рынок ценных бумаг инвестиционно привлекательным и находит своего пользователя, даже если результат принятого решения заранее неизвестен. Основная цель держателя портфеля заключается в правильно принятом решении о достижении определенных соотношений доходности и риска для вложенного капитала. И, как известно, это решение необходимо принять здесь и сейчас, до того, как станут известны действительные количественные показатели пары доходность-риск. В работе представлена задача исследования структуры оптимального портфеля ценных бумаг и его свойств. В таком виде задача в современной литературе практически не освещается, ограничиваясь вычислением соотношения риск/доходность. Представлена точная формула для нахождения весов оптимального портфеля, а также дана оценка риска. Также рассматриваются возможные оценки риска и представлены их свойства, с использованием вероятностных моделей. Приведен реальный пример, в котором построенная авторами модель обоснованно показывает возможности принятия решения инвестором, склонным к разным уровням риска, что иллюстрируется соответствующим примером.
модель Марковица
множество инвестиционных возможностей
оптимальный портфель
эффективная граница
риск
функционал
1. Markowitz H.M. Portfolio selection. The Journal of Finance. 1952. Vol. 7. Issue 1. P. 77–91.
2. Лоренс Дж. Гитман, Майкл Д. Джонк. Основы инвестирования / Пер. с англ. М.: ДЕЛО; 1997. 1008 с.
3. Касимов Ю.Ф., Аль-Натор М.С., Колесников А.Н. Основы финансовых вычислений. Портфели активов, оптимизация и хеджирование. М.: КНОРУС, 2019. 322 с.
4. Ширяев А.Н. Вероятностно-статистические методы в теории принятия решений. МЦНМО, 2020. 144 с.
5. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. МЦНМО, 2016. 900 с.
6. Официальный сайт Московской Фондовой Биржи. [Электронный ресурс]. URL: https://www.moex.com/ (дата обращения: 16.08.2021).
7. Шарп У.Ф., Александер Г.Дж., Бэйли Дж.В. Инвестиции. М.: Инфра-М, 2018. 1028 с.

Основная цель держателя портфеля заключается в понимании и достижении определенных соотношений доходности и риска для вложенного капитала. Инвестиционный портфель в простейшем случае представляет собой совокупность различных видов ценных бумаг (акции, облигации, фьючерсы и т.д.). В 1952 г. Гарри Марковиц опубликовал работу «Portfolio Selection» [1], ставшую впоследствии классикой подхода к портфельным инвестициям. На практике корректная работа с множеством инвестиционных возможностей (рассматриваемых ценных бумаг) помогает принять нужное инвестору решение. Именно такой подход и делает рынок ценных бумаг инвестиционно привлекательным и позволяет расширять круг потенциальных инвесторов, даже если результат принятого решения заранее неизвестен. Сама задача построения инвестиционного портфеля – это фактически две задачи: выбор активов из всего множества инвестиционных возможностей и последующее построение структуры, соответствующей требуемому соотношению риск/доходность [2, с. 807–815; 3, с. 588, 754].

Математические понятия и утверждения являются одним из основных инструментов для исследования области финансов и инвестиций. Метод количественных оценок, применяемый в работе, использует определения, понятия и методы теории вероятностей [4, c. 123]. Рассмотренные теоретические модели основаны на определенных в работе наборах случайных величин и случайных процессов.

Для принятия финансового решения необходимо поставить и решить две задачи. Первая – оценка стоимости, которая вычисляется определенным образом через функцию распределения доходности инвестиции. В итоге величина выражается, например, средним (или каким-либо другим параметром выборки). Вторая задача – измерение риска, для расчета которого используется дисперсия выборки. Для ее вычисления как меры риска введем далее функционал missing image file (который опишем ниже [5, с. 451, 462]). Задача оптимизации портфеля состоит в нахождении структуры портфеля, ограниченного имеющимся бюджетом B, которая приводит к компромиссу между высокой ожидаемой доходностью и низким риском.

Материалы и методы исследования

Пусть missing image file – вектор возможных доходностей активов (случайных величин); missing image file – вектор, описывающий структуру портфеля (x1 + x2 +⋯+ xn = 1). Всюду далее предполагается, что инвестируется общий бюджет в размере B, а целевая доходность равна μ. Определим случайную величину, описывающую стоимость портфеля как missing image file

Стандартная задача оптимизации состоит в том, чтобы минимизировать риск портфеля missing image file на множестве инвестиционных возможностей X (то есть с ограничением missing image file), так, чтобы ожидаемая доходность от инвестирования была бы не менее целевой доходности μ. Таким образом, формализация модели выглядит следующим образом:

missing image file

Заметим, что если функционал missing image file представляет собой дисперсию (стандартное отклонение) выборки, то мы получаем хорошо известную модель Марковица.

Обозначим посредством missing image file вектор ожидаемых доходностей активов (то есть missing image file); missing image filemissing image file ковариационную матрицу доходностей активов; (missing image file); missing image file – m-й единичный вектор. Поскольку стандартное отклонение является квадратным корнем из дисперсии, не имеет значения, дисперсия или стандартное отклонение рассматривается в качестве функционала, определяющего риск портфеля [3, с. 40]. Поэтому здесь и далее полагаем минимизацию функционала: missing image file При построении графиков будем использовать зависимость ожидаемой доходности от риска, где в качестве риска рассматривается стандартное отклонение. Таким образом, задача оптимизации портфеля конкретизируется:

missing image file (1)

missing image file

Последнее ограничение добавляется в зависимости от того, запрещены короткие продажи или нет (если нет, то не добавляется). Заметим, что это задача нелинейной, точнее, квадратической оптимизации с линейными ограничениями. Количество переменных при этом равно n. Если короткие продажи запрещены, то все переменные будут неотрицательны, а количество линейных ограничений равно двум.

Будем считать структуру портфеля missing image file эффективной, если она является решением системы (1) для некоторого μ.

Модель Марковица очень популярна среди оптимизационных задач портфельной теории. В основном это происходит из-за того, что она проста в использовании и сложность решения не возрастает с увеличением размера выборки. Фактически, как для теоретических моделей, так и для дискретных или выборочных моделей, все, что нужно сделать для решения задачи – это вычислить ковариационную матрицу и математическое ожидание выборки. Затем использовать эти параметры в самой модели оптимизации. Основной недостаток модели состоит в том, что дисперсия не является достаточно хорошим показателем для измерения риска (это мы покажем далее в подробном примере).

Одним из частных случаев модели Марковица является вариант, который снимает ограничения неотрицательности весов активов и имеет линейные ограничения в виде равенств

missing image file (2)

Для этого случая можно найти явное решение.

Утверждение. В предположении, что матрица C обратима и вектор missing image file не коллинеарен missing image file оптимальное решение missing image file задачи (2) линейно по μ и задается формулой

missing image file

где missing image file

В частности, для эффективной случайной доходности missing image file при заданном ожидаемом доходе missing image file риск портфеля равен

missing image file

где missing image file – квадратичная функция от μ. График эффективной границы множества инвестиционных возможностей в этом случае будет иметь форму параболы.

Доказательство. Для решения задачи нелинейной оптимизации используем метод множителей Лагранжа. Лагранжиан будет иметь вид missing image file Далее, следуя алгоритму, следует найти все частные производные и приравнять их к нулю. Найдем сначала missing image file Для этого сначала запишем лагранжиан в явном виде:

missing image file

Поэтому

missing image file

Здесь δik – символ Кронекера, следовательно:

missing image file

В силу того, что ковариационная матрица симметрична (ckj = cjk), последнее выражение можно записать в виде

missing image file

А это, в свою очередь, есть k-я компонента вектора missing image file По принципу Лагранжа этот вектор должен быть равен нулю. Двойку можно убрать, сделав замену missing image file Таким образом, получаем уравнение: missing image file Теперь найдем оставшиеся частные производные (они также должны быть равны нулю).

missing image file

Таким образом, получаем следующую систему уравнений:

missing image file

По условию ковариационная матрица является обратимой. Поэтому из первого уравнения системы находим вектор структуры портфеля:

missing image file (3)

Подставим это выражение во второе и третье уравнения системы. Имеем

missing image file

Заметим, что missing image file В силу того, что это выражение является числом, а значит, совпадает с собой транспонированным, имеют место равенства

missing image file (4)

Далее, поскольку ковариационная матрица является симметрической, то и обратная к ней тоже симметрическая матрица, то есть missing image file. Значит, из (4) получаем, что missing image file Перепишем теперь систему в следующем виде:

missing image file

Пусть

missing image file (5)

Система принимает вид

missing image file

Для нахождения множителей Лагранжа λ1 и λ2 используем метод Крамера. Имеем

missing image file

Подставляя эти значения в (3), получаем вектор структуры оптимального портфеля:

missing image file (6)

Теперь найдем дисперсию оптимального портфеля. С учетом (5) и (6) имеем

missing image file

missing image file

missing image file

missing image file

missing image file

missing image file

missing image file

missing image file

missing image file

missing image file

missing image file

missing image file

missing image file

missing image file

+missing image file

missing image file

missing image filemissing image file

Результаты исследования и их обсуждение

Для лучшего понимания результатов рассмотрим следующий реальный пример портфеля, сконструированного на базе российского рынка акций.

Пример. Рассмотрим задачу оптимизации следующего портфеля: WTCMP (ПАО «Центр международной торговли»), VGSB (Волгоградэнергосбыт), TGKA (ПАО ТГК-1), TATNP (Татнефть), SELGP (Селигдар). Вычислим основные показатели и построим эффективную границу. Исходные данные для вычислений взяты с сайта Московской Фондовой Биржи [6] (данные на 16.03.2021). Имеем основные параметры активов портфеля (таблица).

Основные параметры активов портфеля

Параметры активов

WTCMP

VGSB

TGKA

TATNP

SELGP

Риск

0,3537298

0,9027569

0,3520088

0,4142920

0,4825203

Ожидаемая доходность

0,549179468

0,016211624

0,588725112

0,932287324

0,120334357

missing image file

Рис. 1. Эффективная граница

missing image file

Рис. 2. Изменение долей портфеля

На рис. 1 демонстрируется, что объединение активов в портфель значительно эффективнее точечной покупки пусть и очень перспективных отдельных активов. Теперь посмотрим, какой вклад вносит тот или иной актив в рискованную составляющую портфеля (рис. 2). Теперь очевидно, что увеличение доходности портфеля достигается за счет выведения из его состава самого низкодоходного актива (Волгоградэнергосбыт), значительного снижения доли низкодоходной «Селигдар» и практически взрывного роста доли самой перспективной компании – «Татнефть» (за счет снижения всех долей всех остальных активов тоже). Соответственно, инвестору значительно проще теперь сделать выбор.

Заключение

В работе показано, что разделение инвестором выбранного уровня доходности [7, c. 421] и выбранного риска приводит к двузначной проблеме принятия решения. Однако нельзя одновременно максимизировать прибыль и минимизировать риск (поскольку одно есть функция другого). Следовательно, необходимо найти некоторый компромисс между этими целями путем фиксации одного из параметров. И далее исследовать структуру возможного портфеля для достижения приемлемого соотношения риск/доходность. Для иллюстрации на практике приведен конкретный пример, демонстрирующий набор возможных решений инвестора, а именно: при фиксированном (выбранном авторами) наборе ценных бумаг построен оптимальный портфель и исследована структура этого портфеля. Для инвестора с определенным аппетитом к риску такое прочтение задачи оптимизации портфеля является большим подспорьем при принятии решения в моменте (то есть до того, как станут известны действительные количественные показатели пары риск/доходность).


Библиографическая ссылка

Мочалина Е.П., Иванкова Г.В. ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРЫ ПОРТФЕЛЯ НА РЕШЕНИЯ ИНВЕСТОРА // Фундаментальные исследования. – 2021. – № 9. – С. 38-44;
URL: https://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=43091 (дата обращения: 05.12.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074