Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,749

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ОПЕРАТОРОМ БЕССЕЛЯ В СИСТЕМЕ КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ MAPLE

Зайцева Н.В. 1
1 ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет» Институт математики и механики им. Н.И. Лобачевского
Рассматривается краевая задача для трехмерного эллиптического уравнения с частными производными второго порядка с оператором Бесселя. Решение уравнения ищется в области трехмерного пространства, представляющей собой параллелепипед, на верхней грани которого задается ненулевое граничное условие, на остальных пяти гранях – однородные граничные условия. Методом разделения переменных или методом Фурье найдено общее решение этой задачи в виде бесконечного ряда по ортогональным системам собственных функций оператора Бесселя и тригонометрических функций. В ходе решения краевой задачи рассматриваются возникающие две спектральные задачи относительно неизвестных функций – задачи Штурма – Лиувилля, собственные значения и собственные функции которых находятся с помощью программы Maple, встроенными командами. Далее исследуется общее решение уравнения Бесселя, с учетом граничных условий, частными решениями которого являются функция Бесселя мнимого аргумента первого рода и функция Макдональда. В работе демонстрируется пошагово программа всех математических вычислений при решении данной задачи математической физики, выполненная командным языком системы компьютерной математики Maple.
эллиптическое уравнение
оператор Бесселя
краевая задача
программа Maple
1. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. Часть первая. – М.: И.Л., 1949. – 799 с.
2. Гарипов И.Б., Мавлявиев Р.М. Краевая задача для одного параболического уравнения с оператором Бесселя с интегральным условием второго рода // Известия ТулГУ. Естественные науки. – 2014. – Вып.1. – Ч.1. – С. 14–21.
3. Денисова М.Ю., Киндер М.И. Краевые задачи для одного сингулярного дифференциального уравнения с оператором Бесселя // Фундаментальные исследования. – 2013. – № 11. – Ч. 7. – С. 1328–1332.
4. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики: учеб. пособие для мех.-мат. фак. ун-тов. – М.: Высшая школа, 1970. – 712 с.
5. Zaitseva N.V. Boundary value problem for a B-hyperbolic equation with an integral condition of the second kind // Journal of Theoretical and Applied Information Technology. – Pakistan, 31 August, 2015. – Vol. 78. – № 3. – P. 497–508.

В настоящее время во многих учебных заведениях мира среди преподавателей и студентов широкое распространение получила система компьютерной математики Maple, разработанная в 1980 году группой исследователей канадского университета Waterloo. С момента появления программа постоянно совершенствуется. Командный язык пакета Maple прост и понятен, следует отметить быстроту в работе и экономное использование памяти, а также пакет Maple работает с большинством операционных систем, чем и объясняется его коммерческий успех.

Работа посвящена исследованию краевой задачи для уравнения эллиптического типа с оператором Бесселя с помощью качественной теории дифференциальных уравнений в частных производных, а также с помощью системы компьютерной математики Maple, которая является незаменимым помощником для преподавателей и студентов физико-математического направления.

Краевые задачи для уравнений в частных производных с оператором Бесселя рассматриваются в работах многих авторов [2; 3; 5] и представляют научный интерес. Результаты настоящей работы являются продолжением исследований задач математической физики для уравнений с оператором Бесселя.

Пусть

zaytseva01.wmf

– область пространства Oxyz. Рассмотрим в области D эллиптическое уравнение вида

zaytseva02.wmf (1)

где zaytseva03.wmf – оператор Бесселя, 0 < k < 1 – заданное действительное число.

Требуется найти функцию U(x, y, z), удовлетворяющую условиям

zaytseva04.wmf (2)

zaytseva05.wmf (x, y, z) ∈ D; (3)

U(0, y, z) = 0; U(a, y, z) = 0; (4)

U(x, 0, z) = 0; U(x, b, z) = 0; (5)

Uz(x, y, 0) = 0; U(x, y, c) = φ(x, y). (6)

Введем уравнение (1) в программе Maple под именем eq:

> restart;

>eq:=diff(u(x,y,z),x$2)+diff(u(x,y,z),y$2)+diff(u(x,y,z),z$2)+(k/z)*diff(u(x,y,z),z)=0.

На экране синим цветом появится уравнение в виде

zaytseva06.wmf

Построим систему частных решений уравнения (1), удовлетворяющих условиям (2), (4) и (5). Частное решение уравнения (1), согласно методу Фурье (метод разделения переменных), ищем в виде

U(x, y, z) = X(x)Y(y)Z(z), (7)

где X, Y и Z – пока неопределенные функции.

В программе команда разделения переменных и результат будут выглядеть так

>pdsolve(eq,HINT=X(x)*Y(y)*Z(z));

zaytseva07.wmf

zaytseva08.wmf

Анализируя результат, согласно [4], и подставляя функцию (7) в граничные условия (4) и (5), относительно неизвестной функции X(x) получаем задачу

zaytseva09.wmf (8)

X(0) = 0; X(a) = 0. (9)

Задача (8)–(9) – задача Штурма – Лиувилля, о нахождении нетривиальных решений уравнения (8), удовлетворяющих граничным условиям (9).

Относительно неизвестной функции Y(y) получаем следующую спектральную задачу

zaytseva10.wmf (10)

Y(0) = 0; Y(b) = 0. (11)

А относительно функции Z(z) получили уравнение Бесселя:

zaytseva11.wmf (12)

где переменные разделения в уравнениях (8), (10) и (12) связаны соотношением

zaytseva12.wmf (13)

Найдем в Maple решение уравнения (8), удовлетворяющее первому условию в (9):

>eq1:=diff(X(x),x$2)+(lambda(1))^2*X(x)=0;

zaytseva13.wmf

>dsolve({eq1,X(0)=0},X(x));

zaytseva14.wmf

Так как собственные функции спектральной задачи определяются с точностью до постоянного множителя, примем значение константы C1 равным единице:

>sol1:= %;

zaytseva15.wmf

>subs(_C1=1,sol1);

zaytseva16.wmf

>_EnvAllSolutions:=true:

Теперь нужно найти неизвестный коэффициент λ(1), учитывая второе условие в (9).

>solve(sin(lambda(1)*a)=0,lambda(1));

zaytseva17.wmf

Таким образом, каждому собственному значению ν:

>nu:=n -> pi*n/a;

zaytseva18.wmf

соответствует собственная функция вида

>X:=(x,n) -> sin(x*nu(n));

zaytseva19.wmf

Следует пояснить для дальнейшего решения краевой задачи некоторые шаги вычислений программы. Общее решение уравнения (8) имеет вид

zaytseva20.wmf (14)

Подставив функцию (14) в первое условие из (9), найдем, что C1 = 0, а константу C2, как уже пояснялось, положим равной единице.

С учетом второго граничного условия будем иметь

zaytseva21.wmf

zaytseva22.wmf n = ±1, ±2, ...

Таким образом, собственные значения задачи Штурма – Лиувилля (8)–(9) имеют вид

zaytseva23.wmf n = 1, 2 ... (15)

А каждому собственному значению λ1n соответствует собственная функция

zaytseva24.wmf n = 1, 2 ... (16)

С помощью команд

>eq2:=diff(Y(y),y$2)+(lambda(2))^2*Y(y)=0;

zaytseva25.wmf

>dsolve({eq2,Y(0)=0},Y(y));

zaytseva26.wmf

Следует отметить, что программа опять выводит константу _C1, считая ее уже новой.

>sol2:= %;

zaytseva27.wmf

>subs(_C1=1,sol2);

zaytseva28.wmf

>_EnvAllSolutions:=true:

>solve(sin(lambda(2)*b=0,lambda(2));

zaytseva29.wmf

>mu:=m -> pi*m/b;

zaytseva30.wmf

>Y:=(y,m) -> sin(y*mu(m));

zaytseva31.wmf

Получаем, что собственным значениям задачи Штурма – Лиувилля (10)–(11)

zaytseva32.wmf m = 1, 2 ... (17)

соответствуют собственные функции вида

zaytseva33.wmf m = 1, 2 ... (18)

С учетом равенства (13) найдем

zaytseva34.wmf (19)

Теперь найдем общее решение уравнения (12), подставляя в него zaytseva35.wmf.

>eq3:=diff(Z(z),z$2)+(k/z)*diff(Z(z),z)-lambda^2*Z(z)=0;

zaytseva36.wmf

>dsolve(eq3,Z(z));

zaytseva37.wmf

Таким образом, запишем общее решение уравнения (12) в виде

zaytseva38.wmf (20)

где Anm и Bnm – произвольные постоянные, zaytseva39.wmf – функция Бесселя мнимого аргумента 1-го рода, zaytseva40.wmf – функция Макдональда.

Теперь подставляя (16), (18) и (20) в (7), получим частные решения уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям (4) и (5):

zaytseva41.wmf (21)

А общее решение будем искать в виде следующего ряда:

zaytseva42.wmf (22)

Ряд (22) будет являться решением уравнения (1), удовлетворяющим условиям (4) и (5), если он равномерно сходится и сходятся ряды, полученные из него дифференцированием по переменным x, y, z дважды.

Внесем рассуждения в программу Maple:

>u:=(x,y,z) -> Sum(Sum(Z(z)*X(x,n)*Y(y,m),n=1..infinity),m=1..infinity);

zaytseva43.wmf

Для нахождения неизвестных коэффициентов Anm и Bnm подставим (22) в граничные условия (6). Сначала вычислим производную, запомнив ее под именем, скажем, «ии», и подставим в нее значение z = 0:

>uu:=(x,y,z) -> diff(u(x,y,z),z);

zaytseva44.wmf

>uu(x,y,0);

В результате программа выдает следующее сообщение об ошибке: «Error, (in BesselK) numeric exception: division by zero». Действительно [1], для выполнения первого условия из (6), нужно положить Bnm = 0. Очевидно, что при Bnm = 0 и 0 < k < 1 условие Uz(x, y, 0) = 0 выполняется. Тогда ряд (22) принимает вид

zaytseva45.wmf (23)

>subs(_C2=0,Z(z));

zaytseva46.wmf

>ZZ:=z -> _C1*z^(-(1/2)*k+1/2)*BesselI((1/2)*k-1/2,lambda*z);

zaytseva47.wmf

>u:=(x,y,z) -> Sum(Sum(ZZ(z)*X(x,n)*Y(y,m),n=1..infinity),m=1..infinity);

zaytseva48.wmf

Подставим теперь ряд (23) во второе условие из (6):

zaytseva49.wmf

Умножим обе части последнего равенства на выражение zaytseva50.wmf и проинтегрируем его по переменной х на промежутке от 0 до а, по переменной у на отрезке от 0 до b. При этом будем учитывать равенства [4]:

zaytseva51.wmf

Тогда получим

zaytseva52.wmf

откуда найдем неизвестные коэффициенты:

zaytseva53.wmf (24)

Отметим эти рассуждения в программе и выведем результат.

>u(x,y,c)=phi(x,y):

>assume(n::posint,m::posint);

>subs(_C1=A[n,m], %);

>A[n,m]:=(4*c^((k-1)/2))/(a*b*BesselI((1/2)*k-1/2,lambda*c))*

int(int(phi(x,y)*sin(x*Pi*n/a)*sin(y*Pi*m/b),y=0..b),x=0..a):

>u(x,y,z);

В результате запишем окончательный вид решения краевой задачи (2)-(6):

zaytseva54.wmf (25)

где коэффициенты zaytseva55.wmf определяются по формуле (19).

Заключение

С помощью системы компьютерной математики Maple можно решать самые разнообразные задачи. В работе демонстрируется исследование краевой задачи для трехмерного эллиптического уравнения второго порядка с оператором Бесселя, так как программа позволяет использовать методы решения задач, связанных с уравнениями в частных производных, и избежать рутинных математических вычислений в исследовании задач математической физики.


Библиографическая ссылка

Зайцева Н.В. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ОПЕРАТОРОМ БЕССЕЛЯ В СИСТЕМЕ КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ MAPLE // Фундаментальные исследования. – 2016. – № 4-1. – С. 41-46;
URL: https://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=40123 (дата обращения: 18.10.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074