Научный журнал

Фундаментальные исследования

ISSN 1812-7339

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 1,674

• Авторы
• Резюме
• Файлы
• Ключевые слова
• Литература

Михайлов П.Н. 1 Михайлов А.П. 2 Кульсарина Н.А. 1

---

1 Стерлитамакский филиал ФГБОУ ВПО «Башкирский государственный университет»

2 Московский физико-технический институт (государственный университет)

Работа посвящена исследованию температурных полей в действующих добывающих скважинах, математическая постановка для которых приводит к необходимости решения задач сопряжения для уравнений конвективной теплопроводности с источниками. Построить точное решение таких задач удается лишь в достаточно простых случаях. В работе на основе модифицированного асимптотического метода решение сводится к цепочке краевых задач для коэффициентов асимптотического разложения, которые в пространстве Лапласа – Карсона сводятся к последовательности обыкновенных дифференциальных уравнений. В отличие от предыдущих работ авторов, где оригиналы были построены лишь для малых и больших времен, здесь построение оригинала осуществлено численно, что позволило существенно уточнить описание температурного поля в скважине.

Статья в формате PDF

689 KB

температурное поле

скважинная теплофизика

асимптотические методы

преобразование Лапласа – Карсона

численное обращение

Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. – М.: ВИНИТИ, 1966. – 524 с.

Пудовкин М.А., Саламатин А.Н., Чугунов В.А. Температурные процессы в действующей скважине. – Казань: КГУ, 1977. – 166 с.

Филиппов А.И. К теории теплообмена потока жидкости в скважине при компрессорном испытании освоения и опробования // Изв. вузов. Сер. Нефть и газ. – 1986. – № 12. – С. 60–68.

Филиппов А.И., Михайлов П.Н. Асимптотические методы в скважинной теплофизике. – Уфа: Гилем, Башкирская энциклопедия, 2013. – 384 с.

Филиппов А.И., Михайлов П.Н., Ахметова О.В. Основная задача термокаротажа // Теплофизика высоких температур. – 2006. – Т. 44, № 5. – С. 747–755.

Филиппов А.И., Михайлов П.Н., Ахметова О.В. Температурное поле в действующей скважине // Сибирск. журн. индустриальной математики. – 2004. – Т. VII, № 1(17). – С. 135–143.

Чекалюк Э.Б. Термодинамика нефтяного пласта. v М.: Недра, 1965. – 167 с.

Den Iseger P. Numercal transform inversion using Gaussian quadrature // Probability in the Engineering and Informational Sciences. – 2006. – № 20. – P. 1–44.

Mikhaylov P.N., Filippov A.I., Mikhaylov A.P. Filtration of Radioactive Solutions in Jointly Layers // Mass Transfer – Advances in Sustainable Energy and Environment Oriented Numerical Modeling / Edited Hironori Nakajima. – Croatia: In Tech, 2013. – P. 219–263.

Murhy H.D. Enhanced Interpretation of Temperature Surveys Taken During Injection or Production // J. Petrol. Technol. – 1982. – V ol. 34, № 6. – P. 1314–1319.

Исследование температурных полей при течении жидкости и газа по трубам является актуальной задачей для транспорта теплоносителей по трубопроводам и продуктопроводам и имеет большое значение для прогноза температуры в стволах нефтяных скважин. С одной стороны, расчеты температурных полей в скважинах необходимы для определения возможности отложения парафина на стенках скважины; с другой стороны, это задача термокаротажа, которая широко используется на практике для исследования скважин и пластов, поэтому изучение температурных полей в скважине давно интересует исследователей. Нестационарные температурные поля в стволах скважины и окружающей среде оказывают взаимное влияние друг на друга. Естественным граничным условием, определяющими это взаимодействие, является равенство температуры и тепловых потоков на стенке труб. Задачу в такой постановке называют сопряженной [7]. Э.Б. Чекалюк предложил интегральный метод для учета теплообмена потока с окружающими породами, где тепловой поток задавался в виде свертки. В рамках этого же подхода выполнены исследования А.Н. Саламатина [2]. К обсуждаемой проблеме обращались и другие исследователи [3, 10], рассматривающие задачу только для средней температуры в скважине. Между тем использование термических исследований в практике разработки нефтегазовых месторождений привело к необходимости расчета радиальных зависимостей температуры. Попытка построения теории таких тепловых процессов в скважине на основе асимптотических методов [9] предпринята в [6], где удалось построить решение задачи о температурном поле в скважине в пространстве Лапласа – Карсона, оригинал которых построен только для малых и больших времен. В данной работе для инверсии преобразований использован численный метод [8], который позволяет строить оригинал для любого времени.

Физическая постановка задачи

Предполагается, что окружающая среда является однородной и анизотропной, температура отдаленных участков пород изменяется по линейному закону с глубиной, рассматривается область глубин, куда не проникают сезонные колебания температуры на поверхности земли. Задача о температурном поле в трубе имеет осевую симметрию, поэтому выбрана цилиндрическая система координат. Из условия симметрии следует, что производная по радиальной координате на оси z_d цилиндрической системы координат, направленной вверх, в центре скважины обращается в ноль. На рисунке представлена геометрия задачи о температурном поле жидкости, текущей в трубе радиуса r₀.

Цилиндрическая система координат ориентирована таким образом, что ось z_d направлена по оси трубы. Труба окружена анизотропным массивом с теплопроводностями λ_r1 и λ_z1 в соответствии с направлениями осей. Поле скоростей жидкости в трубе имеет только одну отличную от нуля составляющую – в направлении оси z_d . Жидкость вследствие своего движения также приобретает фиктивные анизотропные свойства, связанные с воздействием турбулентности (λ_r и λ_z – соответствующие осям теплопроводности жидкости).

Математическая постановка задачи

Система безразмерных уравнений в предположении осевой симметрии включает уравнение теплопроводности в окружающем скважину массиве:

r > 1, t > 0, z > 0, (1)

уравнение конвективной теплопроводности флюида (в общем случае – многофазного) с источниками в скважине:

r < 1, t > 0, z > 0. (2)

На границе скважины и окружающего массива задаются условия равенства температур

(3)

и тепловых потоков

(4)

Начальные условия соответствуют естественной, невозмущенной

(5)

которая совпадает с температурой в удаленных от стенки скважины точках окружающего массива

(6)

В точке z = 0 температура изменяется по заданному закону

(7)

Рис. 1. Геометрия задачи

В уравнении (2) – конвективный параметр,

В такой постановке построить точное решение задачи достаточно трудно. Для получения приближенных решений использован асимптотический метод [5, 6, 9].

В задаче (1)–(7) формальной заменой L на ε·L введен произвольный параметр e асимптотического разложения. Решение задачи ищется в виде ряда

(8)

где j = пробел или 1 – номер области; i – порядковый номер приближения.

Подставив (8) в задачу (1)–(7), выделяются задачи для коэффициентов ряда. Показано, что нулевое приближение позволяет получить новые способы расчета средней по сечению температуры.

Решение уравнения для нулевого коэффициента в пространстве Лапласа – Карсона имеет вид

r < 1, z > 0, (9)

где

Задача для первых коэффициентов асимптотического ряда представится следующим образом:

r > 1, t > 0, z > 0; (10)

r < 1, t > 0, z > 0; (11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

Во-первых, в уравнениях коэффициенты асимптотического ряда взаимосвязаны, поэтому нужна специальная процедура их разделения; во-вторых, задача с указанными начальными и граничными условиями имеет лишь тривиальное решение, что приводит к необходимости замены граничных условий. Указанные процедуры подробно описаны в [10].

Искомое решение для первого коэффициента асимптотического решения примет вид

(17)

Из приведенных решений видно, что нулевое приближение определяет средние значения температуры в скважине, а радиальные зависимости описываются первым приближением.

Как известно, оригиналы функций строятся либо непосредственным интегрированием в комплексной плоскости, либо с помощью различных специальных справочников, например, таких как [1]. Существует достаточно много классов задач, в которых применение метода интегральных преобразований ограничено возможностью построения функции по ее изображению. Рассматриваемая задача является именно такой. Это привело к ограничению исследований и рассмотрению лишь крайних случаев для «больших» (t → ∞) и «малых» (t → 0) времен [6, 4] и породило новую проблему: в каком диапазоне времени можно пользоваться решением, полученным для малых, в каком – для больших времен? Многие исследователи связывают решение указанных выше проблем с численными методами.

Численное обращение обратного преобразования Лапласа и Лапласа – Карсона изучается довольно давно. В [8] определена точность численного обращения некоторых функций с помощью различных алгоритмов и показано, что метод с использованием гауссовских квадратур может инвертировать лапласовские преобразования функций с неоднородностями и особенностями, и результаты имеют более высокую точность, чем в случае применения других методов. Поэтому в работе для численной инверсии преобразования Лапласа – Карсона (9), (17) использован метод, основанный на гауссовских квадратурах.

Результаты расчетов

На рис. 2, 3 представлены графики зависимости температуры в скважине от времени, по формулам, полученным из (9) для малых и больших времен, а также при численной инверсии в нулевом приближении для случая постоянных градиентов (рис. 2) и первом приближении для основной задачи термокаротажа (рис. 3).

Расчеты проведены при следующих значениях параметров: глубина скважины D = 2000 м; радиус скважины r₀ = 0,1 м; естественный градиент температуры Земли Г = 0,02 K/м; удельные теплоемкости, плотности, коэффициенты теплопроводности окружающих скважину пород и нефти соответственно:

c₁ = 950 Дж/(К∙кг), c = 2000 Дж/(К∙кг);

ρ₁ = 2000 кг/м³; ρ = 800 кг/м³;

λ_1r = 0,67 Вт/(м·К); λ = 0,15 Вт/(м∙К);

z = 0,1; r = 0,1.

Рис. 2. Зависимость температуры в скважине от времени в нулевом приближении в случае постоянных вертикальных градиентов внутри скважины: 1 – построена по формуле, полученной для малых времен; 2 – используя численное обращение; 3 – для больших времен

Рис. 3. Зависимость относительной температуры от времени: 1 – по аналитической формуле, после численного обращения; 2 – для малых времен; 3 – для больших времен

Сравнение графиков позволяет заключить, что малым временам соответствует 0 < t < 0,2, а большим t > 2 (t – безразмерное время, t = 1 соответствует 24,35 мин); в отличие от предыдущих работ, результаты численного обращения позволяют определить значение температуры в любой момент времени. Заметим также, что при 0,2 < t < 2 применение в расчетах формул для малых или больших времен приводит к ошибкам и относительная погрешность составляет 25 %.

С применением численного обращения преобразований Лапласа – Карсона построены зависимости температуры от расстояния до оси скважины, как в скважине, так и окружающем массиве (рис. 4). Перепад температуры между центром и стенкой скважины составляет около 15 %, что может служить основой технологии радиального каротажа скважины.

Рис. 4. Радиальные профили первого приближения температуры для нефти при различных временах: 1 при t = 1, 2 – t = 2, 3 – t = 3, 4 – t = 4

Список обозначений

Латинские:

a_1r – коэффициент температуропроводности окружающей среды в радиальном направлении, м²/с;

c, c₁ – удельная теплоемкость флюида и окружающей среды соответственно, Дж/(К·кг);

D – глубина скважины, м;

g – ускорение свободного падения, м/с²;

H – толщина пласта, м;

k – отношение функций Бесселя K₁(p) и K₀(p);

p – параметр преобразования Лапласа – Карсона;

Pe – аналог параметра Пекле;

q – плотность источников тепла, Вт/м³;

r_d, r – соответственно размерная и безразмерная радиальная координата цилиндрической системы координат, м;

r₀ – внутренний радиус трубы, м;

t – безразмерное время, с;

T, T₁ – безразмерное температурное поле флюида и окружающей среды соответственно;

T₀ – безразмерный температурный сигнал пласта;

– безразмерный радиальный профиль температуры внутри скважины;

v₀ – средняя по сечению трубы скорость, м/c;

z_d, z₀ – соответственно размерная и безразмерная вертикальная координата цилиндрической системы координат, м.

Греческие:

Γ – геотермический градиент Земли, К/м;

ε – параметр асимптотического разложения;

η – адиабатический коэффициент, К/Па;

θ, θ₁ – температурное поле флюида и окружающей среды соответственно, К;

θ₀ – температурный сигнал пласта, К;

θ₀₁ – естественная невозмущенная температура Земли в точке z_d = 0, К;

– радиальный профиль температуры внутри скважины, К;

λ, λ₁ – коэффициент теплопроводности флюида и окружающей среды соответственно, Вт/(м·К);

λ_r, λ_z – коэффициент теплопроводности флюида в радиальном и вертикальном направлении соответственно, Вт/(м·К);

λ_1r, λ_1z – коэффициент теплопроводности окружающей среды в радиальном и вертикальном направлении соответственно, Вт/(м·К);

Λ – отношение теплопроводностей в радиальном направлении окружающей среды и флюида;

ν – отношение радиуса трубы к глубине скважины;

ξ – переменная интегрирования;

ρ, ρ₁ – плотность флюида и окружающей среды соответственно, кг/м³;

τ – размерное время, с;

χ – отношение объемных теплоемкостей окружающей среды и флюида.

Рецензенты:

Шулаев Н.С., д.т.н., профессор, заведующий кафедрой информатики, математики и физики, филиал, ФГБОУ ВПО УГНТУ, г. Стерлитамак;

Гималтдинов И.К., д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой прикладной информатики и программирования, Стерлитамакский филиал ФГБОУ ВПО «Башкирский государственный университет», г. Стерлитамак.

Библиографическая ссылка