Научный журнал

Фундаментальные исследования

ISSN 1812-7339

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 1,674

• Авторы
• Резюме
• Файлы
• Ключевые слова
• Литература

Филиппов А.И. 1 Зеленова М.А. 1

---

1 Стерлитамакский филиал Башкирского государственного университета

На примере задачи о температурном поле в тонком слое с источником рассмотрено квазистационарное приближение задачи о распространении тепла в однородном анизотропном пласте, состоящем из тонкого теплопроводящего слоя, окруженного анизотропной средой. При постановке задачи принята трансляционная симметрия в фиксированном горизонтальном направлении. На границах раздела сред заданы равенства температур и тепловых потоков. На основе модификации «в среднем точного» асимптотического метода найдены аналитические формулы для нулевого асимптотического приближения температурных полей в нефтегазовых пластах, возникающих при тепловом воздействии. Показано, что температура тонкого слоя в нулевом приближении не зависит от вертикальной координаты и описывает асимптотически осредненные по толщине слоя значения температуры.

Статья в формате PDF

1169 KB

температурное поле

нефтеносный пласт

асимптотический метод

1. Айдакина Н.А., Гущин М.Е., Зудин И.Ю., Коробков С., Костров А.В., Стриковский А.В. Квазистационарное магнитное поле, возбуждаемое в плазме радиоимпульсом свистового диа пазона частот // Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики. – 2011. – Т. 93. – № 9. С. 555–560.

2. Ахметова О.В., Кабиров И.Ф., Филиппов А.И. Задача о квазистационарном температурном поле в анизотропном слое с источниками при наличии конвекции // Научно-технический вестник Поволжья. – 2011. – № 5. – С. 9–21.

3. Гордеев Ю.Н., Бабаева Д.О., Сандаков Е.Б. Точное квазистационарное решение задачи о гидравлическом разрыве проницаемого пласта // Прикладная механика и техническая физика. – 2013. – Т. 54. – № 6(322). – С. 87–94.

4. Горюнова М.А. Теоретическое исследование температурных полей в стволе действующей скважины: дис. ... канд. физ.-матем. наук. Башкирский гос. университет. – Стерлитамак, 2009.

5. Диткин В.А., Прудников А.П. Справочник по операционному исчислению. – М.: Высшая школа, 1965. – 466 с.

6. Егоров А.Г., Захарова О.С. Оптимальное квазистационарное движение виброробота в вязкой жидкости // Известия высших учебных заведений. Математика. – 2012. – № 2. – С. 57–64.

7. Резник А.Н., Юрасова Н.В. Квазистационарное поле теплового излучения и ближнепольная радиотермометрия // Известия Российской академии наук. Серия физическая. – 2003. – Т. 67. – № 12. – С. 1770–1777.

8. Филиппов А.И., Михайлов П.Н., Ахметова О.В., Горюнова М.А. Построение «в среднем точного» асимптотического решения задачи о радиальном распределении температурного поля в скважине // Теплофизика высоких температур. – 2008. – Т. 46. – № 3. – С. 449–456.

9. Филиппов А.И., Михайлов П.Н., Ахметова О.В. Температурное поле в действующей скважине // Сибирский журнал индустриальной математики. – 2004. – Т. VII. – № 1. – С. 135–144.

10. Филиппов А.И., Михайлов П.Н., Ахметова О.В., Горюнова М.А. Анализ температурного поля цилиндрического потока на основе «в среднем точного» решения // Прикладная механика и техническая физика. – 2010. – Т. 51. – № 3 (301). – С. 84–93.

11. Филиппов А.И., Ахметова О.В., Родионов А.С., Горюнова М.А. Исследование температурных полей в трубах переменного радиуса // Вестник Воронежского государственного технического университета. – 2010. – Т. 6. – № 10. – С. 171–178.

12. Филиппов А.И., Ахметова О.В., Кабиров И.Ф. Температурное поле источников тепла при закачке жидкости в анизотропный неоднородный пласт // Прикладная механика и техническая физика. – 2013. – Т. 54. – № 6 (322). – С. 95–111.

13. Филиппов А.И., Ахметова О.В., Кабиров И.Ф. Задача о температурном поле в анизотропном слое с источниками при наличии конвекции. Инженерно-физический журнал. – 2012. – Т. 85. – № 4. – С. 738–752.

14. Филиппов А.И., Ахметова О.В., Зеленова М.А., Крупинов А.Г. Исследование температурных полей потока газа в скважине // Инженерно – физический журнал. – 2011. – Т. 85. – № 5. – С. 1052–1064.

15. Филиппов А.И., Ахметова О.В., Зеленова М.А., Крупинов А.Г Расчеты температурного поля в газовой скважине // Электронный научный журнал «Нефтегазовое дело». – Уфа 2011. – № 6. – URL http // www.ogbus.ru / authors / FilippovAI / FilippovAI_1.pdf.

16. Филиппов К.А. Квазистационарное температурное поле в стволе действующей скважины // Инженерно – физический журнал. – 2004. – Т. 77. – № 6. – С. 13–19.

17. Filippov A.I., Akhmetova O.V., Zelenova M.A., Asylbaev M.A. Temperature field in inhomogeneous strongly anisotropic medium with sources // Journal of engineering thermophysics. – 2014. – Vol. 23, № 2. – Р. 158–170.

18. Filippov A.I., Achmetova О.V., Zelenova M.A., Krupinov A.G.. Investigation of the temperature fields of a gas flow in a well // Journal of Engineering Physics and Thermophysics. – 2011. – Vol. 84, № 5. – Р. 1132–1147

19. Filippov A.I., Achmetova О.V., Zelenova M.A., Rodionov A.S.. Thermologging problem with a given radial oil-velocity profile in the well shaft // Journal of Engineering Physics and Thermophysics. – January 2013. – Vol. 86, Issue 1. – Р. 183–204.

Изучение природы температурных процессов в нефтяном пласте и построение аналитических зависимостей между доступными для прямых измерений величинами позволяет определить расчетными способами важнейшие физические параметры залежи и определить оптимальные режимы теплового воздействия. Аналитические решения задач обладают особой ценностью [8, 9], поскольку позволяют исследовать взаимосвязь полей и определяющих физических параметров в максимально широком диапазоне их изменения. Получение простых аналитических зависимостей представляет ценность как для инженерных расчетов [4], так и для качественной проверки (тестирования) более сложных моделей, особенно основанных на использовании конечно-разностных методов.

Применение квазистационарных моделей позволяет существенно расширить круг задач, обладающих аналитическими решениями, и поэтому они широко используется в теплофизике [16, 7], гидродинамике [3, 6], электродинамике [1] и других разделах науки.

В данной статье для исследования квазистационарного температурного поля в тонком слое, окруженном анизотропной средой, использован развитый авторами асимптотический метод решения задач сопряжения [10, 11].

Рассмотрим распределение температурного поля в пласте (θ, _θ1 – температурное поле флюида и окружающей среды соответственно), представленном тремя областями с плоскими границами раздела z_d = ±h. Центральный слой с теплопроводностью толщиной 2h является хорошо проницаемым и в горизонтальном и в вертикальном направлениях. Полагаем, что окружающие породы являются сильно анизотропными, и в них преобладает вертикальная теплопроводность в сравнении с горизонтальной настолько, что можно пренебречь членами со второй производной по горизонтальным координатам в уравнениях для окружающей среды [17, 12]. Предположим также, что свойства покрывающих и подстилающих пород идентичны. На границе x_d = 0 находится источник тепла с заданной температурой θ₀₁ – Γz_d, где θ₀₁ – естественная невозмущенная температура Земли на границе z_d = 0, Γ – геотермический градиент флюида.

На рисунке представлена геометрия задачи в прямоугольной системе координат, ось z_d которой перпендикулярна к границам раздела сред. Задача обладает трансляционной симметрией в горизонтальном направлении (по оси y_d). Средний слой считается тонким, и в его пределах установление температуры происходит за короткий промежуток времени, вследствие чего частной производной по времени по сравнению со вторыми производными по пространственным переменным можно пренебречь . Однако время входит в полученное таким образом стационарное уравнение в виде параметра (квазистационарное приближение).

Геометрия задачи

Запишем постановку задачи в размерном виде [2]

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

С использованием соотношений

(6)

задача (1)–(5) приведена к безразмерному виду. В дальнейшем для простоты положим все коэффициенты в уравнениях равными единице (γ = 1, Λ = 1). Для использования асимптотических методов в задаче добавлен параметр асимптотического разложения путем умножения на 1/e первой и второй производных по z как в уравнениях, так и в граничных условиях.

Математическая постановка параметризованной температурной задачи в таких предположениях имеет вид

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

Предполагается, что решение является регулярным на бесконечности, т.е. при устремлении пространственных координат в бесконечность искомое решение, а при необходимости и его производная, обращается в нуль. Отметим, что решение исходной задачи может быть получено из решения параметризованной задачи при ε = 1.

Решение представляется функцией температуры T каждой из областей в виде асимптотической формулы по параметру ε [15, 18]

(12)

Подставив выражения (12) в (7)–(11) и сгруппировав слагаемые по степеням параметра разложения ε, получим

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

Уравнение (14) содержит соседние коэффициенты разложения, т.е. является «зацепленным». «Расцепление» уравнения (14) осуществлено с использованием разработанной ранее процедуры [13, 14, 19]. Устремив ε к нулю в уравнении (14), получим . Результат интегрирования, с учетом граничных условий (17), позволяет установить, что в нулевом приближении температура является функцией только от х и параметра Fo T⁽⁰⁾ = T⁽⁰⁾(x, Fo). Следовательно, в нулевом приближении температура одинакова в каждой точке любого сечения, параллельного оси z.

Поскольку , то, поделив (14) на e и устремив его к нулю, получим

(18)

Так как T⁽⁰⁾(x, Fo) не зависит от переменной z, вспомогательная функция E(x, Fo), составленная из слагаемых уравнения (18), содержащих T⁽⁰⁾, также не зависит от z. Тогда (18) можно представить как

(19)

Проинтегрировав (19) по переменной z, найдем выражение для первой производной от первого коэффициента T⁽¹⁾:

Из граничных условий (17) и (15) при сомножителе ε в первой степени имеем соответственно

(20)

Из (20) и (19) найдем уравнение для определения нулевого приближения температурного поля в слое

(21)

Окончательная постановка задачи в нулевом приближении включает также уравнение в окружающей породе

(22)

а также соответствующие граничные и начальные условия

(23)

(24)

Выражения (21)–(24) представляют краевую задачу для нулевого коэффициента разложения T⁽⁰⁾ или нулевого приближения.

Для решения задачи воспользуемся интегральным преобразованием Лапласа – Карсона по переменной Fo:

.

Математическая постановка искомой задачи в нулевом приближении (21)–(24) в пространстве изображений Лапласа – Карсона по переменной Fo запишется как

(25)

(26)

(27)

Из уравнения (25) с учетом граничного условия (27) и ограниченности на бесконечности получим выражения для и его производной при z = 1

(28)

С учетом (28) из уравнения (26) получим обыкновенное дифференциальное уравнение для определения T^(0)u

(29)

откуда, используя условие ограниченности на бесконечности и условие (27), окончательно имеем следующие выражения для решения задачи в пространстве изображений Лапласа – Карсона:

(30)

Применяя обратное преобразование Лапласа – Карсона, с использованием соотношений [5]

(31)

получим следующие выражения для точного решения задачи в нулевом приближении:

(32)

В справедливости полученных выражений нетрудно убедиться прямой подстановкой выражений в указанную задачу. Как видно из (32), температура в слое не зависит от вертикальной координаты z и описывает асимптотически осредненные по толщине пласта значения температуры. Найденные выражения (32) определяют пространственно-временные зависимости асимптотически средней температуры пласта в квазистационарном приближении с учетом пространственной анизотропии и нестационарного теплообмена между слоями и могут быть широко использованы для практических расчетов.

Рецензенты:

Мустафина С.А., д.ф.-м.н., профессор, декан физико-математического факультета, Стерлитамакский филиал Башкирского государственного университета, г. Стерлитамак;

Михайлов П.Н., д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой алгебры, геометрии и методики обучения математике, Стерлитамакский филиал Башкирского государственного университета, г. Стерлитамак.

Библиографическая ссылка