Научный журнал

Фундаментальные исследования

ISSN 1812-7339

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 1,798

• Авторы
• Резюме
• Файлы
• Ключевые слова

Филиппов А.И., Зеленова М.А. 1

---

1 Стерлитамакский филиал Башкирского государственного университета

На примере задачи о температурном поле в тонком слое с источником рассмотрено квазистационарное приближение задачи о распространении тепла в однородном анизотропном пласте, состоящем из тон-кого теплопроводящего слоя, окруженного анизотропной средой. При постановке задачи принята трансляционная симметрия в фиксированном горизонтальном направлении. На границах раздела сред заданы равенства температур и тепловых потоков. На основе модификации «в среднем точного» асим-птотического метода найдены аналитические формулы для нулевого асимптотического приближения температурных полей в нефтегазовых пластах, возникающих при тепловом воздействии. Показано, что температура тонкого слоя в нулевом приближении не зависит от вертикальной координаты и описы-вает асимптотически осредненное по толщине слоя значения температуры.

Статья в формате PDF

1169 KB

температурное поле

нефтеносный пласт

асимптотический метод

Изучение природы температурных процессов в нефтяном пласте и построение аналитических зависимостей между доступными для прямых измерений величинами позволяет определить расчетными способами важнейшие физические параметры залежи и определить оптимальные режимы теплового воздействия. Аналитические решения задач обладают особой ценностью [8, 9], поскольку позволяют исследовать взаимосвязь полей и определяющих физических параметров в максимально широком диапазоне их изменения. Получение простых аналитических зависимостей представляет ценность как для инженерных расчетов [4], так и для качественной проверки (тестирования) более сложных моделей, особенно основанных на использовании конечно-разностных методов.

Применение квазистационарных моделей позволяет существенно расширить круг задач, обладающих аналитическими решениями, и поэтому они широко используется в теплофизике [16, 7], гидродинамике [3, 6], электродинамике [1] и других разделах науки.

В данной статье для исследования квазистационарного температурного поля в тонком слое, окруженном анизотропной средой, использован развитый авторами асимптотический метод решения задач сопряжения [10, 11].

Рассмотрим распределение температурного поля в пласте (θ, _θ1 – температурное поле флюида и окружающей среды соответственно), представленном тремя областями с плоскими границами раздела z_d = ±h. Центральный слой с теплопроводностью толщиной 2h является хорошо проницаемым и в горизонтальном и в вертикальном направлениях. Полагаем, что окружающие породы являются сильно анизотропными, и в них преобладает вертикальная теплопроводность в сравнении с горизонтальной настолько, что можно пренебречь членами со второй производной по горизонтальным координатам в уравнениях для окружающей среды [17, 12]. Предположим также, что свойства покрывающих и подстилающих пород идентичны. На границе x_d = 0 находится источник тепла с заданной температурой θ₀₁ – Γz_d, где θ₀₁ – естественная невозмущенная температура Земли на границе z_d = 0, Γ – геотермический градиент флюида.

На рисунке представлена геометрия задачи в прямоугольной системе координат, ось z_d которой перпендикулярна к границам раздела сред. Задача обладает трансляционной симметрией в горизонтальном направлении (по оси y_d). Средний слой считается тонким, и в его пределах установление температуры происходит за короткий промежуток времени, вследствие чего частной производной по времени по сравнению со вторыми производными по пространственным переменным можно пренебречь . Однако время входит в полученное таким образом стационарное уравнение в виде параметра (квазистационарное приближение).

Геометрия задачи

Запишем постановку задачи в размерном виде [2]

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

С использованием соотношений

(6)

задача (1)–(5) приведена к безразмерному виду. В дальнейшем для простоты положим все коэффициенты в уравнениях равными единице (γ = 1, Λ = 1). Для использования асимптотических методов в задаче добавлен параметр асимптотического разложения путем умножения на 1/e первой и второй производных по z как в уравнениях, так и в граничных условиях.

Математическая постановка параметризованной температурной задачи в таких предположениях имеет вид

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

Предполагается, что решение является регулярным на бесконечности, т.е. при устремлении пространственных координат в бесконечность искомое решение, а при необходимости и его производная, обращается в нуль. Отметим, что решение исходной задачи может быть получено из решения параметризованной задачи при ε = 1.

Решение представляется функцией температуры T каждой из областей в виде асимптотической формулы по параметру ε [15, 18]

(12)

Подставив выражения (12) в (7)–(11) и сгруппировав слагаемые по степеням параметра разложения ε, получим

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

Уравнение (14) содержит соседние коэффициенты разложения, т.е. является «зацепленным». «Расцепление» уравнения (14) осуществлено с использованием разработанной ранее процедуры [13, 14, 19]. Устремив ε к нулю в уравнении (14), получим . Результат интегрирования, с учетом граничных условий (17), позволяет установить, что в нулевом приближении температура является функцией только от х и параметра Fo T⁽⁰⁾ = T⁽⁰⁾(x, Fo). Следовательно, в нулевом приближении температура одинакова в каждой точке любого сечения, параллельного оси z.

Поскольку , то, поделив (14) на e и устремив его к нулю, получим

(18)

Так как T⁽⁰⁾(x, Fo) не зависит от переменной z, вспомогательная функция E(x, Fo), составленная из слагаемых уравнения (18), содержащих T⁽⁰⁾, также не зависит от z. Тогда (18) можно представить как

(19)

Проинтегрировав (19) по переменной z, найдем выражение для первой производной от первого коэффициента T⁽¹⁾:

Из граничных условий (17) и (15) при сомножителе ε в первой степени имеем соответственно

(20)

Из (20) и (19) найдем уравнение для определения нулевого приближения температурного поля в слое

(21)

Окончательная постановка задачи в нулевом приближении включает также уравнение в окружающей породе

(22)

а также соответствующие граничные и начальные условия

(23)

(24)

Выражения (21)–(24) представляют краевую задачу для нулевого коэффициента разложения T⁽⁰⁾ или нулевого приближения.

Для решения задачи воспользуемся интегральным преобразованием Лапласа – Карсона по переменной Fo:

.

Математическая постановка искомой задачи в нулевом приближении (21)–(24) в пространстве изображений Лапласа – Карсона по переменной Fo запишется как

(25)

(26)

(27)

Из уравнения (25) с учетом граничного условия (27) и ограниченности на бесконечности получим выражения для и его производной при z = 1

(28)

С учетом (28) из уравнения (26) получим обыкновенное дифференциальное уравнение для определения T^(0)u

(29)

откуда, используя условие ограниченности на бесконечности и условие (27), окончательно имеем следующие выражения для решения задачи в пространстве изображений Лапласа – Карсона:

(30)

Применяя обратное преобразование Лапласа – Карсона, с использованием соотношений [5]

(31)

получим следующие выражения для точного решения задачи в нулевом приближении:

(32)

В справедливости полученных выражений нетрудно убедиться прямой подстановкой выражений в указанную задачу. Как видно из (32), температура в слое не зависит от вертикальной координаты z и описывает асимптотически осредненные по толщине пласта значения температуры. Найденные выражения (32) определяют пространственно-временные зависимости асимптотически средней температуры пласта в квазистационарном приближении с учетом пространственной анизотропии и нестационарного теплообмена между слоями и могут быть широко использованы для практических расчетов.

Рецензенты:

Мустафина С.А., д.ф.-м.н., профессор, декан физико-математического факультета, Стерлитамакский филиал Башкирского государственного университета, г. Стерлитамак;

Михайлов П.Н., д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой алгебры, геометрии и методики обучения математике, Стерлитамакский филиал Башкирского государственного университета, г. Стерлитамак.

Библиографическая ссылка