Научный журнал

Фундаментальные исследования

ISSN 1812-7339

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 1,674

• Авторы
• Резюме
• Файлы
• Ключевые слова
• Литература

Григорьев И.В. 1 Михайлова Т.А. 1 Мустафина С.А. 1

---

1 Стерлитамакский филиал ФГБОУ ВПО «Башкирский государственный университет»

В статье на основе метода вариаций в пространстве управлений разработан алгоритм и реализована программа для определения оптимального управления в задачах со свободным правым концом. Для иллюстрации метода приводятся результаты численного решения задачи на трех примерах с ограничениями на управление и фазовые переменные. Достоинством данного алгоритма является отсутствие требования к выбору начального приближения параметра управления и фазовых переменных. Алгоритм имеет хорошую сходимость и может быть использован для решения большого класса прикладных задач в различных отраслях народного хозяйства. С помощью разработанного алгоритма определены оптимальные траектории и численные значения параметра управления для тестовых задач. Проведен сравнительный анализ результатов численного решения приведенных примеров при различных значениях начального приближения управления и точности вычислений.

Статья в формате PDF

541 KB

метод вариаций

оптимальное управление

фазовые переменные

1. Мустафина С.А., Балаев А.В., Смирнов Д.Ю., Спивак С.И. Моделирование каталитического процесса дегидрирования метилбутенов // Системы управления и информационные технологии. – 2006. – Т. 23. – № 1. – С. 10–14.

2. Мустафина C.А., Валиева Ю.А., Давлетшин Р.С., Балаев А.В., Спивак С.И. Оптимальные технологические решения для каталитических процессов и реакторов // Кинетика и катализ. – 2005. – Т. 46. – № 5. – С. 749–756.

3. Островский Г.М., Волин Ю.М. Методы оптимизации сложных химико-технологических схем. – М.: Химия. 1970. – 328 с.

4. Степашина Е.В., Мустафина С.А. Формирование математической модели каталитических процессов с переменным реакционным объемом на основе теоретико-графового подхода // Известия Томского политехнического университета. – 2012. – Т. 320. – № 3. – С. 31–36.

5. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. – М.: Наука. 1978. – 488 с.

В настоящее время математическое моделирование многих динамических процессов, которые происходят на практике (экономика, промышленное производство, движение самолетов, экология, химия, биология и т.д.), является основным инструментом для получения знаний об их поведении при различных способах воздействия. Одна из главных целей моделирования – найти такое управляющее воздействие, при котором в некотором смысле достигается «максимальный эффект». Например, минимальные затраты ресурсов (денег, времени) на производство единицы продукции или передачи управляемого объекта из начального состояния в заданное конечное состояние.

Наиболее удобные и популярные средства описания динамических процессов – дифференциальные уравнения. Возникающие проблемы, как правило, хорошо известны в теории оптимального управления. Тем не менее подавляющее большинство из них не имеют простого (аналитического) решения и требуют разработки численных методов.

Данная работа посвящена актуальной проблеме – разработке эффективных алгоритмов численного решения задач оптимального управления.

Постановка задачи. Пусть управляемый процесс представлен системой дифференциальных уравнений:

(1)

где x_i – фазовые переменные, а u_j – переменные управления, u_j ∈ U.

При t = 0 заданы все начальные значения фазовых переменных x_i:

x_i(0) = x_i0, i = 1, ..., n.. (2)

На управление и фазовые переменные наложены ограничения типа

η(u₁, ..., u_r) ≤ 0,4; θ(x₁, ..., x_n) ≤ 0. (3)

Критерий оптимизации пусть задан в терминальном виде

I(x₁(T), ..., x_p(T)) → min, p ≤ n. (4)

Требуется найти такое управление u(t), удовлетворяющее условиям (3), чтобы величина I(x₁(T), ..., x_p(T)) приняла минимальное значение.

Алгоритм метода вариации

Для численного решения данной задачи был составлен алгоритм метода вариации в пространстве управлений:

1. Определить первоначальное приближение управления U₀ (может быть произвольным).

2. Разбить интервал [t₀, t_k] на n частей, образующих равномерную систему узлов.

3. Выбрать начальный узел t₀, с которым будет происходить вариация управлений.

4. Произвести вариацию в т. t₀ в двух направлениях U(t₀) ± δU.

5. Решить систему с начальными условиями x(t₀) = x₀.

6. Зная значения фазовых координат, вычислить значение критерия I для управления, полученного на шаге 4.

7. Перейти к t₁ и повторить процедуру, начиная с шага 4 для всех оставшихся точек t_i.

8. Определить наименьшее значение критерия, вычисленных во всех точках t_i, и определить новое приближение U₁, соответствующее наименьшему значению критерия.

9. С приближением U₁ продолжить процедуру с шага 3 до тех пор, пока не найдется ни одной вариации, при которой значение критерия улучшаться не будет.

10. С целью уточнения приближения процесс можно продолжить, поделив вариацию δU пополам.

Тестирование алгоритма

На основе созданного алгоритма реализована программа на языке Object Pascal в среде Delphi. Рассмотрим работу полученного алгоритма на тестовых примерах, при этом для вычисления погрешностей будем использовать евклидову норму вида

Пример 1

Допустим, что некоторый процесс описывается системой дифференциальных уравнений:

(5)

с начальными условиями

x₁(0) = 0; x₂(0) = 0 (6)

и следующими ограничениями на переменную времени:

0 ≤ t ≤ 2π (7)

и на управление:

(8)

Критерий оптимизации имеет вид

I(x₁, x₂) = x₂(2π) → min. (9)

Требуется найти оптимальное программное управление u*(∙) и соответствующую ему траекторию x*(∙), которые удовлетворяют уравнениям (5)–(6), ограничениям (7)–(8) и условию (9).

Аналитическое решение данной задачи представлено в [2]. На рис. 1, 2 изображено численное решение данной задачи при начальном приближении u₀ = 0,3.

Рис. 1. Графики оптимальных траекторий для примера 1

Рис. 2. График оптимального управления для примера 1

Таблица 1

Сравнительный анализ результатов решения задачи 1

Сравнивая полученные численные и аналитические значения, вычислим погрешности для управления и траекторий. В табл. 1 представлен сравнительный анализ результатов численного решения задачи (5)–(9) при различных значениях начального приближения управления и точности вычислений.

Пример 2

Пусть управляемый процесс описывается системой дифференциальных уравнений:

(10)

с начальными условиями

x₁(0) = –1; x₂(0) = 0 (11)

и следующими ограничениями на переменную времени:

0 ≤ t ≤ 2,5 (12)

и на управление, фазовые переменные:

x2 ≤ 0,5. (13)

Критерий оптимизации имеет вид

(14)

Требуется найти оптимальное программное управление u*(∙) и соответствующую ему траекторию x*(∙), которые удовлетворяют уравнениям (10)–(11), ограничениям (12)–(13) и условию (14).

Аналитическое решение данной задачи представлено в [3]. На рис. 3, 4 изображено численное решение данной задачи, при начальном приближении u₀ = 0,1.

Сравнивая полученные численные и аналитические значения, вычислим погрешности для управления и траекторий. В табл. 2 представлен сравнительный анализ результатов численного решения задачи (10)–(14) при различных значениях начального приближения управления, точности вычислений.

Пример 3

Пусть управляемый процесс описывается системой дифференциальных уравнений:

(15)

с начальными условиями:

x₁(0) = 0; x₂(0) = 0 (16)

и следующими ограничениями на переменную времени:

0 ≤ t ≤ 1 (17)

и на управление:

0 ≤ u ≤ 1 (18)

Критерий оптимизации имеет вид

I(x₁, x₂) = x₁(1) → max. (19)

Требуется найти оптимальное программное управление u*(∙) и соответствующую ему траекторию x*(∙), которые удовлетворяют уравнениям (15)–(16), ограничениям (17)–(18) и условию (19).

Аналитическое решение данной задачи представлено в [3].

На рис. 5 изображено численное решение данной задачи при начальном приближении u₀ = 0,6. При этом расчетное значение параметра управления на интервале 0 ≤ t ≤ 1 принимает постоянное значение, равное 1.

Рис. 3. Графики оптимальных траекторий для примера 2

Рис. 4. График оптимального управления для примера 2

Таблица 2

Сравнительный анализ результатов решения задачи 2

Рис. 5. Графики численного решения примера 3

Таблица 3

Сравнительный анализ результатов решения задачи 3

Сравнивая полученные численные и аналитические значения, вычислим погрешности для управления и траекторий. В табл. 3 представлен сравнительный анализ результатов численного решения задачи (15)–(19) при различных значениях начального приближения управления, точности вычислений.

Заключение

Выполненный сравнительный анализ приближенного и аналитического решения задач показал удовлетворительное согласование и хорошую работу построенного алгоритма. Достоинством данного алгоритма является отсутствие требования к выбору начального приближения параметра управления и фазовых переменных. Алгоритм имеет хорошую сходимость и может быть использован для решения большого класса прикладных задач в различных отраслях народного хозяйства.

Рецензенты:

Муравьева Е.А., д.т.н., профессор, филиал ФГБОУ ВПО «Уфимский государственный нефтяной технический университет», г. Стерлитамак;

Галиев А.Л., д.т.н., профессор, филиал ФГБОУ ВПО «Уфимский государственный авиационный технический университет», г. Стерлитамак.

Библиографическая ссылка