Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,749

ПОЛУГРУППОВЫЕ СВОЙСТВА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГАУССА

Кобрунов А.И. 1 Бурмистрова О.Н. 1
1 ФГБОУ ВПО «Ухтинский государственный технический университет»
На основании полугрупповых свойств решения уравнения диффузии по операции свертки в пространственных координатах, где полугрупповым параметром служит время диффузии, выведены полугрупповые свойства для нормального закона распределения при выполнении операции свертки, описываемого Гауссом, в котором полугрупповым параметром служит дисперсия. Выведено соотношение, связывающее время и скорость диффузии с дисперсией нормального распределения. Приложения результата лежат в методах нечеткого моделирования при выборе аппроксимации функции принадлежности для нечетких величин и их отношений. Технология прогноза основана на использовании принципа Мамдани для композиции отношений в форме функций принадлежности. Сформулирована задача нахождения источников информации, порождающих регистрируемое поле рассеяния данных. Определено решение уравнения диффузии, которое соответствует распределению с максимальной энтропией при фиксированной скорости и времени диффузии.
уравнение диффузии
дисперсия
распределение Гаусса
полугрупповые свойства
1. Бутковский А.Г. Характеристики систем с распределенными параметрами: справочое пособие. – 1979. – 2 с.
2. Кобрунов А.И. Прямые и обратные задачи рассеяния при прогнозе физико-геологических параметров по геофизическим данным // Фундаментальные исследования. – 2014. – № 9–6. – С. 1195–1199.
3. Zadeh L.A. Fuzzy sets // Information and Control. – 1965. – Vol. 8, № 3. – Р. 338–353.
4. Mamdani, E.H. Application of fuzzy algorithms for control of simple dynamic plant. Electrical Engineers // Proceedings of the IEE. – 1974. – № 121(12). – Р. 1585–1588.
5. Sung Y. Park a, Anil K. Bera Maximum entropy autoregressive conditional heteroskedasticity model // Journal of Econometrics. – 2009. – № 150. – Р. 219–230.

При разработке алгоритмов прогнозирования неопределенных параметров по предварительной обучающей выборке на основе принципов нечеткого моделирования [2] возникает задача выбора способа представления исходных данных в виде функции принадлежности для параметров, входящих в обучающую выборку. С этой целью следует каждому измеренному значению связанных параметров из обучающей выборки поставить в соответствие поле распределения информации от отдельного акта измерения – построить аппроксимацию распределения функции принадлежности [3].

Такая же задача возникает и при аппроксимации измеренных данных, по которым ищутся прогнозные значения. Дальнейшая технология прогноза основана на использовании принципа Мамдани для композиции отношений в форме функций принадлежности [4]. Для решения этой задачи необходимо выбрать базисные функции, с помощью которых выполняется заполнение в пространстве значениями информативности от одного отдельно взятого измерения. Естественным выбором в этом вопросе служат два принципа. Во-первых, принимаемое распределение должно иметь максимальную энтропию, что необходимо для того, чтобы не вводить информацию, которой объективно нет. Во-вторых, процесс распространения меры достоверности информации о значении параметра от точки, в которой это значение получено, к точке, в которой эта мера оценивается, должен быть аналогичен диффузии. Это диффузия информации по мере удаления от измеренного объекта. Оказывается, оба эти принципа приводят к одному и тому же результату – выбору аппроксимирующей функции в форме функции Гаусса. Кроме того, между параметрами функции Гаусса, ассоциируемой с дисперсией распределения и параметрами диффузии, существует тесная взаимосвязь, проявляющаяся в совпадении их полугрупповых свойств.

Рассмотрим дифференциальное уравнение:

korbun01.wmf (1)

a ≠ 0; –∞ ≤ x ∞; t ≥ 0;

korbun02.wmf korbun03.wmf

Его решение имеет вид [4]

korbun04.wmf (2)

Отсюда, в частности, следует полугрупповое свойство решения уравнения диффузии в однородном пространстве:

korbun05.wmf (3)

Соотношение (3) представляет собой свертку функций Q(x,t) и korbun06.wmf по переменной x.

Отсюда и из уравнения (1) следует, что если

korbun07.wmf (4)

то

korbun08.wmf (5)

Что сокращенно можно записать

korbun09.wmf (6)

Эти результаты обобщаются на двухмерный и трехмерный случай задачи (1):

korbun10.wmf x = {x, y, z}; либо x = {x, y}; a ≠ 0; –∞ ≤ x ∞; t ≥ 0; (7)

korbun11.wmf korbun12.wmf

Δ – оператор Лапласа.

korbun13.wmf (8)

Здесь N – размерность пространства векторов x. Свертка в (8) понимается в пространстве N измерений.

Полагая, что

korbun14.wmf, (9)

получаем аналог (5) и (6)

korbun15.wmf (10)

korbun16.wmf

Это равенство может быть записано в форме

korbun17.wmf (11)

korbun18.wmf

korbun19.wmf

Рассмотрим теперь частный случай соотношения (5).

Запишем

korbun20.wmf

в форме korbun21.wmf

где korbun22.wmf

Тогда, пользуясь соотношением (5), получим

korbun23.wmf (12)

Причем korbun24.wmf.

В краткой записи в виде свертки уравнение (12) перепишется:

korbun25.wmf (13)

Принимая во внимание представление (2) получим обобщение (13) на произвольную функцию korbun26.wmf:

korbun27.wmf (14)

korbun28.wmf

В пространстве двух измерений на основании (8):

korbun29.wmf (15)

korbun30.wmf

E0 = –∞ ≤ ξ = {ξ1, ξ2} ≤ ∞.

Рассмотрим в N-мерном фазовом пространстве X параметров x = {xi, i = 1...N} экспериментально измеренные значения xj ∈ S; j = 1...M, образующие в нем подмножество A ∈ X. Для поля рассеяния Aε(x) в фазовом пространстве, такого, что для каждой подобласти ΔX из разбиения X:

korbun31.wmf (16)

где A(ΔX) – число значений из A ∈ X, целиком лежащее в ΔX, определим функцию принадлежности μA(x) для измеренных значений параметров x ∈ X как нечетких величин, правилом:

korbun32.wmf

На основании (15) может быть сформулирована задача нахождения распределения источников μ(x, σ) информации для μA(x) как обратной задачи для интегрального уравнения:

korbun33.wmf (17)

Решение этого интегрального уравнения требует использования методов решения некорректных задач и позволит проанализировать меру рассеяния источников информации в процессе ее движения по измерительному каналу, в котором она подвергалась диффузии.

Выводы

1. Решение уравнения диффузии в однородном бесконечном пространстве с импульсным источником в начальный момент времени для любого другого большего времени совпадает с нормальным законом распределения вероятностей, стандартное уклонение которого возрастает по мере увеличения времени диффузии по правилу korbun34.wmf.

2. Решение уравнения диффузии соответствует распределению с максимальной энтропией при фиксированной скорости и времени диффузии [5], что следует из его совпадения с нормальным законом распределения.

3. Нормальный закон распределения обладает полугрупповыми свойствами относительно дисперсии D(t) = σ2(t):

korbun35.wmf (18)

Рецензенты:

Сушков С.И., д.т.н., профессор кафедры технологии и машин лесозаготовок, ФГБОУ ВПО «Ухтинский государственный технический университет», г. Ухта;

Павлов А.И., д.т.н., профессор кафедры лесных, деревообрабатывающих машин и материаловедения, ФГБОУ ВПО «Ухтинский государственный технический университет», г. Ухта.

Работа поступила в редакцию 10.04.2015.


Библиографическая ссылка

Кобрунов А.И., Бурмистрова О.Н. ПОЛУГРУППОВЫЕ СВОЙСТВА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГАУССА // Фундаментальные исследования. – 2015. – № 2-14. – С. 3044-3047;
URL: https://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=37687 (дата обращения: 21.09.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074