Научный журнал
Фундаментальные исследования
ISSN 1812-7339
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,749

РАСЧЕТ ДВИЖЕНИЯ ДИСПЕРСНЫХ МАТЕРИАЛОВ В УСТРОЙСТВАХ С ВРАЩАЮЩИМСЯ РАБОЧИМ ОРГАНОМ

Козлов М.В. 1 Сидоров В.Н. 1 Ширина Н.Ю. 1 Мурашов А.А. 1
1 ГОУ ВПО Ярославский государственный технический университет
Предложен расчет движения дисперсной среды в устройствах с вращающимся рабочим органом. При этом поверхностные силы в дисперсной среде подчиняются закону внутреннего трения Кулона при наличии связности. Предложен симметричный тензор напряжений, удовлетворяющий условию изотропности среды. Используются уравнения движения в напряжениях, которые с учетом тензора напряжений записываются в естественной системе координат в форме Эйлера. Уравнения движения дополняются уравнением неразрывности. Полученная система уравнений в частных производных первого порядка требует для своего решения постановки четырех начальных и граничных условий, которые определяются при решении конкретных задач. В качестве конкретного использования модели рассмотрено движение гранулированного материала во вращающемся горизонтальном цилиндре. При этом уравнения движения, записанные для области проскальзывания, сводятся к одному уравнению, которое дополняется уравнением неразрывности в обычных декартовых координатах. Граничные условия для скоростей ставятся на общей границе различных областей поведения гранулированного материала. Для численного интегрирования системы уравнений в области проскальзывания использован стандартный сеточный метод. Рассчитано поле скоростей гранулированного материала в области проскальзывания. Приведено сопоставление расчетных данных с экспериментальными данными, полученными авторами в более ранних работах.
дисперсная среда
тензор напряжений
уравнения движения
поле скоростей
сеточный метод
1. Жуков В.П.,  Мизонов  В.Е. Оптимальное распределение размеров мелющих тел по длине барабанных мельниц // Теор. основы хим. технологии. – 1995. т.29, №6. – С. 64–650.
2. Мурашов А.А., Сидоров В.Н., Кравцов А.В. Расчет ленточного гранулятора// Интенсификация процессов механической переработки сыпучих материалов: межвуз. сб. науч. тр. – ИХТИ. – Иваново, 1987. – С. 117–120.
3. Овчинников П.Ф., Лисицын Б.М., Михайленко В.М. Высшая математика./– К.: Выща школа, 1989. – 559 с.
4. Таршис М.Ю., Мурашов А.А., Зайцев А.И. К расчету движения сыпучего материала в устройствах с движущейся гибкой лентой // Изв. ВУЗов «Химия и химическая технология». – 1989. т.32, Вып. 1. – С.108–112.
5. Murashov A.A., Bytev D.O., Zaitsev A.I., Severtsev V.A. A continuum theory for the flow of granular materials in a rotary cylinder // Ist. European Symposium on the Stress and Strain Behavior of Particulate Solids. – Chechoslovakia, 1984. – PP. 21–22.

Устройства с вращающимся рабочим органом (барабанные машины, шнековые устройства, ленточные грануляторы и т. д.) широко используются в химической промышленности. При этом рабочей средой является твердый дисперсный материал, обладающий связностью и подчиняющийся закону внутреннего трения Кулона. Целью настоящего исследования является описание движения дисперсных материалов в устройствах с вращающимся рабочим органом.

В работе [1] для описания движения твердой дисперсной среды во вращающемся барабане было предложено использовать тензор напряжений, который учитывает внутреннее трение в соответствии с законом Кулона. Главным недостатком предложенного подхода является несимметричность тензора напряжений, что противоречит условию изотропности среды, и отсутствие учета связности. Этих недостатков лишен тензор напряжений, представленный в виде

koz1.wmf, (1)

где P – среднее нормальное напряжение; τ0 – связность среды; τi, nj – единичные векторы касательной и нормали к линии тока; δij– символ Кронекера.

Уравнение движения сплошной среды в напряжениях записывается в виде

koz2.wmf, (2)

где ρ – плотность среды; Fi – вектор объемных сил; ai - вектор ускорения; xi – вектор координат. Подставляя выражение (1) в уравнение (2), получим уравнения движения в форме Эйлера:

koz3.wmf, (3)

koz4.wmf, (4)

где koz5.wmf,koz6.wmf – производные в направлении соответственно касательной и нормали к линии тока; u – модуль скорости в точке среды; a – угол между вектором скорости и осью Ох, которая расположена горизонтально; f – коэффициент внутреннего трения.

Система уравнений (3)-(4) дополняется уравнением неразрывности, которое может быть записано в форме Эйлера:

koz7.wmf. (5)

Система уравнений (3)-(5) является системой уравнений в частных производных первого порядка. Для ее решения необходимо постановка четырех граничных условий, которые во многом определяют способ решения задачи.

Рассмотрим на примере движения сыпучего материала во вращающемся цилиндре. В работах [2, 3] указывается, что при движении сыпучего материала во вращающемся цилиндре в режиме переката, существуют две области различного поведения материала: в области, непосредственно примыкающей к стенке цилиндра (область I), проскальзывание между слоями сыпучего материала отсутствует; в верхней области (область II) имеет место проскальзывание слоев сыпучего материала. Общая граница областей при малых скоростях вращения цилиндра может быть представлена в виде плоскости, параллельной поверхности естественного откоса сыпучего материала в неподвижном цилиндре. Расчетная схема представлена на рис. 1.

koz11.tif

Рис. 1. Расчетная схема движения дисперсного материла во вращающемся цилиндре

В выбранной системе координат система уравнений (3)-(4) для области II может быть приведена к виду:

koz8.wmf, (6)

koz9.wmf. (7)

При получении уравнений (6),(7) предполагается, что величины поверхностных сил koz10.wmfи koz11.wmf

малы по сравнению с проекциями силы тяжести. Система уравнений (5),(6) полностью совпадает с уравнениями, приведенными в работе [3].

Система уравнений (6),(7) может быть приведена к одному уравнению и записана в более удобных для решения переменных:

koz12.wmf, (8)

где vx и vy соответственно проекции вектора скорости на координатные оси в выбранной системе координат.

Уравнение (8) замыкается уравнением неразрывности:

koz13.wmf. (9)

Граничные условия для системы уравнений (8),(9) составляются из условия, что в области I сыпучий материал движется как

твердое тело и записываются в виде:

koz14a.wmf; koz15.wmf; koz16.wmf, (10)

где w – угловая скорость вращения цилиндра; R – радиус цилиндра; 2 δ – угол загрузки материала в цилиндре.

Для численного решения системы уравнений (8), (9) с граничными условиями (10) использовался стандартный метод сеток [4]. В соответствии с этим методом значения координат определяются формулами:

koz17.wmf; koz18.wmf; koz19.wmf; koz20.wmf; (11)

где hx, hy – соответственно шаги интегрирования по координатам x и y; n и m соответственно число точек сетки.

Выполним следующие преобразования:

koz21.wmf; koz22.wmf. (12)

Тогда частные производные заменяются приближенными значениями:

koz23.wmf ; koz24.wmf; koz25.wmf; koz26.wmf. (13)

В соответствии с выражениями (11)-(13) система уравнений (8), (9) приводится к виду

koz27.wmf, (14)

где

koz28.wmf; (15)

koz29.wmf; (16)

koz30.wmf; (17)

koz31.wmf. (18)

Уравнение (14) имеет особенность при значении Uij = 0. Это соответствует физике задачи, поскольку данная точка является точкой поворота. Устранение данной особенности производилось стандартным для метода сеток способом [4].

На рис. 2 представлены расчетные зависимости проекции скорости vx от координаты y. Они хорошо согласуются с экспериментальными данными, представленными авторами в более ранней работе [3].

koz33.tif

Рис. 2. Распределение скоростей дисперсной среды во вращающемся барабане R = 0,4; 2 δ = 120 °; w = 1,1 рад/с; f = 0,57. 1 – x = 0; 2 – x = 0,2 м; 3 – x = 0,3 м; 4 – x = 0,4 м

Представленные данные хорошо согласуются с экспериментальными данными, представленными авторами в более ранней работе [3].

Используя полученное распределение скоростей, определим уравнение свободной поверхности материала в области II исходя из равенства расходов в областях I и II.

Расход материала в некотором сечении, определяемым координатой x, записывается в виде

koz34.tif, (19)

где ρ – плотность материала; ymin(x), ymax(x) –соответственно минимальное и максимальное значение координаты y в сечении.

В области I материал совершает вращательное движение и в выбранной системе координат проекция скорости vx определяется выражением:

koz35.tif. (20)

Для сечения с заданной координатой x для величин ymin(x), ymax(x) в области I получим:

koz36.wmf(21)

Для сечения с заданной координатой x для величин ymin(x), ymax(x) в области II получим:

koz37.wmf (22)

где h(x) – уравнение свободной поверхности.

С учетом формул (19) – (22) в результате получим:

koz38.wmf, (23)

где vx (x, y) – проекция вектора скорости в области II, которая определяется из решения уравнения (14). На рис 3. представлена общая картина движения сыпучего материала. Свободная поверхность рассчитана в соответствии с уравнением (23) и близка к реальной картине движения [2].

Решена известная задача в новой постановке. Использован более простой численный метод, позволивший получить решение с хорошей точностью. Полученные данные хорошо согласуются с экспериментальными данными, представленными авторами в более ранних работах.

koz39.tif

Рис. 3. Общая картина движения сыпучего материла во вращающемся цилиндре ω = 1,0 рад/с; R = 1 м; 2 δ = 120 °

Рецензенты:

Бачурин В.И., д.ф.-м.н., профессор кафедры «Высшая и прикладная математика» Ярославского филиала МИИТ, г. Ярославль;

Гвоздев А.А., д.ф.-м.н., доцент Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова, г. Ярославль.

Работа поступила в редакцию 24.06.2014.


Библиографическая ссылка

Козлов М.В., Сидоров В.Н., Ширина Н.Ю., Мурашов А.А. РАСЧЕТ ДВИЖЕНИЯ ДИСПЕРСНЫХ МАТЕРИАЛОВ В УСТРОЙСТВАХ С ВРАЩАЮЩИМСЯ РАБОЧИМ ОРГАНОМ // Фундаментальные исследования. – 2014. – № 9-3. – С. 552-555;
URL: https://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=34885 (дата обращения: 21.09.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074